2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（7月份）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（7月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定为( )
A. B. ，使得
C. D. ，使得
3.已知曲线在点处的切线为，则实数( )
A. B. C. D.
4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有人，已知此次体检中高二男生身高近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于的概率为，则此次体检中，高二男生身高不低于的人数约为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是双曲线的右焦点，过作垂直于轴的直线，且与双曲线交于，两点，若是直角三角形，其中是坐标原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.根据一组样本数据，，，求得，，经验回归方程为去掉两个误差较大的样本点和，去除后重新求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
D. 变量与具有正相关关系
11.已知，则关于其展开式的结论正确的是( )
A. 常数项是 B. 二项式系数的和为
C. 含项的系数是 D. 所有项的系数和为
12.抛物线：的焦点是，准线与轴相交于点，过点的直线与相交于，两点点在第一象限，，为垂足，，为垂足，则下列说法正确的是( )
A. 若以为圆心，为半径的圆与相交于和，则是等边三角形
B. 若点的坐标是，则的最小值是
C.
D. 两条直线，的斜率之和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则 ______．
14.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当名学生含甲、乙决定参军报国，不负韶华，报名前人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有______种
15.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆某自动驾驶讯车在车前点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域如图所示，在平面直角坐标系中，，直线，的方程分别是，，现有一个圆形物体的圆心为，半径为，圆与，分别相切于点，，则 ______
16.已知数列满足，且，若，则数列的前项和 ______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第三课，并随机抽取名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如表列联表：
性别 有“飞天宇航梦” 无“飞天宇航梦” 合计
男生 _____ _____
女生 _____
合计 _____ _____ _____
若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率；
完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关？
附：，其中．
临界值表：
18.本小题分
已知等差数列的首项为，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式，
若，求数列的前项和．
19.本小题分
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 骨牛排
数量盒
用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，再从抽取的盒牛排中随机抽取盒，求恰好有盒牛排是骨牛排的概率；
若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取盒，若表示抽到的菲力牛排的数量，求的分布列和数学期望．
20.本小题分
如图，在四面体中，，都是等边三角形，为的中点，且平面平面点为线段的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且．
求椭圆的方程；
已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调区间；
设且，若存在，使得，试比较与的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，
故选：．
根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，使得”的否定为“”
故选：．
根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，，
又曲线在点处的切线为，
，解得．
故选：．
求出原函数的导函数，根据切点处的导数值为切线的斜率，即可求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为高二男生身高近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于的人数约为．
故选：．
根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于的概率，即可计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，所以，
即，解得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
利用必要不充分条件判断．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由等比数列的性质可得：，，各项不为成等比数列，
不妨设，由，可得．
，解得，
则．
故选：．
由等比数列的性质可得：，，各项不为成等比数列，即可得出．
本题考查了等比数列的前项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，是直角三角形，
所以由双曲线的对称性可得，，
即为等腰直角三角形，设，
则，解得，
即，又，
所以，则，所以，
解得或舍，
故选：．
由为等腰直角三角形，结合双曲线方程得出，再由，得出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查方程思想和转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，其中，则，
令，，
，所以在上单调递减，
在时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
又，所以．
故选：．
构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出、、的大小关系．
本题考查构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而比较数的大小问题的解题思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，；故A错误，
对于，，故B正确，
对于，故C错误，
对于，，故D正确，
故选：．
根据基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将，代入，得，解得，故A正确；
去掉两个误差较大的样本点和，此时，，
，，得样本的中心点不变，将，代入，
得，解得，故B正确；
，去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变慢，故C错误；
经验回归直线方程的斜率大于，变量与具有正相关关系，故D正确．
故选：．
利用样本中心点在经验回归直线方程上及平均数定义，结合经验回归直线的特点即可求解．
本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为的展开式的通项为，
对于，令，得，所以常数项为，故A错误；
对于，二项式的系数和为，故B正确；
对于，令，得，所以含项的系数是，故C正确；
对于，令，得所有项的系数和为，故D正确．
故选：．
求得展开式的通项公式为，令，可求得常数项，即可判断选项；
利用二项式系数和公式即可判断选项；
令，可求得含项，即可判断选项；
令，得所有项的系数和为，即可判断选项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以，又所以为等边三角形，故A正确；
因为等号当且仅当，，三点共线时成立，所以当三点，，共线时，取最小值，故B错误；
设直线：，代入并消去得，
设，，则，．
由，，得，所以，即，故C错误；
，，所以
，故D正确．
故选：．
根据抛物线的焦半径即可判断，又三点共线即可判断，利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解．
本题考查抛物线的定义及几何性质，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确转化及利用韦达定理是关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意，得，，所以．
故答案为：．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：先将不含甲、乙的人排列，有种，
再在这人所形成的个空挡中任选个空挡安排甲、乙，有种，
则由乘法原理可知，甲、乙两人不相邻的不同的排法有种．
故答案为：．
先将不含甲、乙的人排列，再在这人所形成的个空挡中任选个空挡安排甲、乙，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：连接，，由题意可设，又圆与相切，
则，解得，由题意可得，，
在中，，所以，
同理，，又，
所以，即．
故答案为：．
应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
以上各式相乘，得，因为，则，
当时，，满足上式，所以，
因为，
则，
所以．
故答案为：．
利用累乘法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求得的值．
本题考查累乘法求数列通项，考查数列裂项相消法求和，属中档题．
17.【答案】解：由题可知被调查的男、女学生都是人，其中有“飞天宇航梦”的男生有人，女生有人，一共人，所以学生有“飞天宇航梦”的频率为，
因此从全市中小学生中随机选择名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率为．
列联表如下：
性别 有“飞天宇航梦” 无“飞天宇航梦” 合计
男生
女生
合计
零假设为：学生性别和有“飞天宇航梦”无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关联，此推断犯错误的概率不大于．
【解析】由古典概型的计算公式求解即可；
完成列联表，根据卡方公式求解，对比临界值表即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，成等比数列，
所以，
又，所以，
又，设的公差为，
所以，解得，
所以．
由题知，，
因为数列是首项为，公比为的等比数列，
且数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
【解析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可求解公差，即可由等差数列的通项求解，
根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式的应用，还考查了等差与等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，
其中骨牛排有盒，非骨牛排有盒，
再从中随机抽取盒，设恰好有盒牛排是骨牛排为事件，
则；
这盒牛排中菲力牛排有盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的事件为，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取盒，抽到的菲力牛排的数量满足，
又，
．
所以的分布列为：
所以．
【解析】先根据分层抽样分别求出骨牛排和非骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
先求出从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．
20.【答案】证明：因为是等边三角形，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
连接，
因为是等边三角形，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，所以分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，结合线面角与向量的夹角的关系即可求解．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：点在椭圆上，且．
，即，则，
，则，
则，即，
则，
即椭圆方程为．
，，
若直线的斜率不存在，此时：，，，则以为直径的圆过点，满足条件，此时，
若存在，则直线方程为，代入得，
设，，
则，
，，
若为直径的圆过点，则，
即，即，
即，
即，
，
，即，
即
即，
即，得满足判别式，此时：，
综上直线的方程为或．
【解析】利用点在椭圆上，且求出和，即可．
设出直线方程，联立方程根据圆直径性质得到，利用设而不求思想进行转化求解即可．
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用，联立方程组，利用韦达定理以及设而不求思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：由题意得的定义域为，且．
若，在上恒成立，故在上单调递增；
若，因为，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意得，
，
，
设，设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，即，
又，且，所以，所以，即，
又在上单调递增，所以，即．
【解析】先求导函数，再分和两种情况讨论判断正负确定单调区间；
根据已知设，把二元问题转化为关于的函数，结合单调性得证．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用函数性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
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