北师大版八年级下册第5章 分式与分式方程 拔尖练习（含解析）

北师大版八年级下册分式与分式方程拔尖练习
一、单选题
1．在 ， ， ， ，a+ 中，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
3．分式方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．一个水池装有两个进水管，单独开甲管需a小时注满空池，单独开乙管需b小时注满空池，若同时打开两管，那么注满空池的时间是（　　）.
A．()小时 B． C． D．小时
6．已知关于x的分式方程 =1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m 1 B．m 1
C．m -1旦m≠0 D．m -1
7．某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（　　）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
9．若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
10．如果数m使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且关于x的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（　　）
A．8 B．9 C．﹣8 D．﹣9
二、填空题
11．要使分式 有意义，x的取值应满足　 　．
12．若关于的分式方程无解，则的值为 　 　．
13．若，则　 　．
14．已知 ＝ ，则 ＝　 　．
15．若，则的值为　 　．
16．下列一组方程：① ，② ，③ ，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为 ；第②个方程的解为 ；第③个方程的解为 .若n为正整数，且关于x的方程 的一个解是 ，则n的值等于　 　.
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中.
小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
18．先化简，再求值： ，其中 ．
19．某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲．乙 两个工程队完成；已知甲队每天能完成绿化面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲．乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 ．
20．嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　 　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　 　；
（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．
21． 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
22．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式.一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”.
（1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是　 　.
①；②；③.
（2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”.
①求真分式；②当时，求的值.
（3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数.
23．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
（1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为 　 　．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式　 　，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为 　 　．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”　 　．
（3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：
设a、b、c为△ABC三边的长，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：在 ， ， ， ，a+ 中， 、a+ 的上有字母，其他式子分母上都没有字母，所以有两个是分式；
故答案选A.
【分析】根据分式与整式的区分：分母中含有字母的是分式，即可判断哪个是分式.
2．【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：方程两边同乘以（x-2），得： ，
解得： ，
检验：当 时，x-2≠0，
∴ 是原分式方程的解；
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再检验求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由 ，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以 的值为 ，
故答案为：D.
【分析】由 ，可得2y＝5（x﹣2y）即得5x＝12y，从而求出结论.
5．【答案】D
【解析】【分析】单独开放甲管需a小时可注满空池；若单独开放乙管需b小时可注满空池，则甲、乙的工作效率是，则合作的效率是
，总工作是1，利用总工作除以效率即可求解．
【解答】，
故选D．
【点评】本题考查了代数式的列法，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题考查工作时间=工作总量÷工作效率这个等量关系．
6．【答案】C
【解析】【解答】分式方程去分母得：m=x-1，
解得：x=m+1，
由方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m -1旦m≠0，
故答案为：C.
【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求出x的值，根据其解是非负数得出x≥0，再根据此分式方程有解得出x≠1，建立不等式组求解即可得出结论。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，根据“实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等”列出方程即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
10．【答案】C
【解析】【解答】解： ﹣ ＝3，
去分母得：x+m＝3（x﹣1），
解得：x＝ ，
由 ≠1，解得m≠﹣1，
解不等式组 得： ≤x＜4，
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣1＜ ≤0，
解得：﹣6＜m≤0，
由x= 为整数，且m≠﹣1，
解得：m＝﹣5或﹣3，
则符合条件的所有整数m的和是﹣5﹣3＝﹣8.
故答案为：C.
【分析】先求出分式方程的解x= ，由x-1≠0，可得m≠-1.解不等式组可得 ≤x＜4，由不等式组有且只有四个整数解可得﹣1＜ ≤0，即得﹣6＜m≤0，由x= 为整数，求出m的值即可.
11．【答案】x≠-1
【解析】【解答】要使分式有意义，x+1≠0，得x≠-1.
【分析】分式有意义应使分母不等于零，据此列式求x满足的条件。
12．【答案】10或-4或3
【解析】【解答】解：
方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=5（x-2），
化简得：（m-3）x=-14；
当原分式方程有增根时，分式方程无解，
此时整式方程的根为x=-2或x=2，
将x=-2代入（m-3）x=-14，
解得：m=10；
将x=2代入（m-3）x=-14，
解得：m=-4；
当整式方程无解时，原分式方程无解，
此时，m-3=0，
解得：m=3；
综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或-4或3.
【分析】根据原分式方程存在增根或原方程约去分母后，整式方程无解时，分式方程均无解，分类讨论即可得出答案.
13．【答案】或
【解析】【解答】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，；
当a2+3a+1=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为0或.
故答案为：0或.
【分析】先将已知方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而得出a=0或a2+3a+1=0，从而分两种情况求值；当a=0时易得所求式子的 值为零；当a2+3a+1=0时，等式的两边同时除以a得，再将该式两边同时平方得，进而可求出待求式子的倒数，即可解决此题.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
15．【答案】或
【解析】【解答】∵，
∴ac+a2=b2+bc，
∴若a-b≠0，那么-c=a+b，
∴原式=；
∵当a=b=c时，已知条件是成立的，
∴原式=，
综上，的值为或，
故答案为：或.
【分析】分类讨论：①先求出-c=a+b，再将其代入计算；②当a=b=c时，再将其代入计算即可.
16．【答案】10或9
【解析】【解答】由① =1+2得x=1或x=2；
由② =2+3得x=2或x=3；
由③ =3+4得x=3或x=4，
可得第n个方程为：x+ =2n+1，
解得：x=n或x=n+1，
将 变形，(x+3)+ =2n+1，
∴x+3=n或x+3=n+1，
∴方程的解是x=n-3，或x=n-2，
当n-3=7时，n=10，
当n-2=7时，n=9，
∴n的值是10或9．
【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解．
17．【答案】步骤①有错.
原式；
当时，原式.
【解析】【分析】第1步是通分，运算依据是分式的基本性质，第2步是合并同类项并约分，据此可判断错误的步骤.然后按照上述运算顺序运算即可.
18．【答案】解：原式=
a=5代入得：原式=2×5+1=11
【解析】【分析】先利用分式的加法运算方法化简，再将a的值代入计算即可。
19．【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是x ，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2x ，
根据题意得： ，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且正确，
甲工程队每天能完成的绿化的面积是50×2=100（ ），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 ，50 .
【解析】【分析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是x ，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2x ，根据题意列出方程求解即可．
20．【答案】（1）；
（2）解：同意淇淇的说法，
理由：∵
当x是大于3的正整数时，，∵，
∴，所以淇淇说的对．
【解析】【解答】解：（1）∵x+1＜x+2＜x+3，
∴ 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是；
∵x-3＜x-2＜x-1，
∴ 淇淇组成的分式中值最大的分式是；
故答案为：，.
（2） 同意淇淇的说法，
理由：∵，
当x是大于3的正整数时，，
∵，
∴，所以淇淇说的对．
【分析】（1）三个式子中组成的分式中，分子最大，分母最小时分式就最大，据此解答即可；
（2）比较与的大小即可判断.
21．【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
22．【答案】（1）②
（2）解：①∵，
∴
②∵，
∴.
当时，
（3）解：，0，1，3，4，6
【解析】【解答】】解：（1）①∵
，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
②∵，
则该分式与假分式的和是整式，
∴该分式与假分式互为“和整分式”；
③∵，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
故答案为：②；
（2）①∵，
又∵存在一个真分式与互为“和整分式”，
∴；
②∵，
∴，
当时，；
（3）∵与均与真分式互为“和整分式”，
设，，
∴，都是整式，且，
∵的值为整数，
∴为整数，
∴能被整除，且即，
∴或或，
解得：或或或或或，
∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数．
【分析】（1）根据“和整分式”的定义结合题意进行判断即可求解；
（2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据得到，进而代入计算即可求解；
（3）先根据“和整分式”的定义可得出为整数，进而即可求解；
23．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：在△ABC中，a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，且a＞0，b＞0，c＞0，
∴，，，
由糖水不等式得，，，，
∴＝2，
∴．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
加入m克水后，糖水的浓度为：
∵加水后，糖水浓度会变淡
∴
故答案为：，
（2）由题意可得：
加入m克糖后，糖水浓度为：
∵糖水加糖后，糖水会变甜
∴
故答案为：，
【分析】（1）根据题意列式表示，再根据“糖水加水后会变淡”即可求出答案.
（2）根据题意列式表示，再根据“糖水加糖后会变甜”即可求出答案.
（3）根据三角形三边关系可得a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，且a＞0，b＞0，c＞0，即，，，再根据糖水不等式即可求出答案.
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