湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试
高二数学试卷
考试时间：2024年4月29日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240 B．480 C．384 D．1440
5．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A．四名同学的报名情况共有43种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
11．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极小值为
B．函数在点（1，0）处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k等于______．
14．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．（本小题满分15分）
在6名内科医生和4名外科医生中，包含内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）有3名内科医生和2名外科医生；
（2）既有内科医生，又有外科医生；
（3）至少有1名主任参加；
（4）既有主任，又有外科医生．
17．（本小题满分15分）
某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
18．（本小题满分17分）
某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
19．（本小题满分17分）
设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．
2023-2024年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试
高二数学参考答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A A B D C C A BD BCD BCD
填空题
12．2或6 13．e 14．
8．【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，由，得，
令，则，
所以在上递减，所以，
所以由题意得，即实数a的取值范围是
11．【详解】A：，，令，所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数；则函数的极大小值为，故A错误；
B：，又，则函数在点（1，0）处的切线方程为，即，故B正确；
C：因为在上单调递减，所以，即，
所以，则，故C正确；
D：两曲线无交点等价于方程，无解，显然，即无解，即无解，因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确．
故选：BCD．
14．【详解】由题意，原不等式可变形为，
即，设，则当时，恒成立，
因为，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
因为，，则，所以，，因为在上单调递增，
所以要使，只需，在上恒成立，取对数，得，因为，所以．令，，因为，
所以在上单调递增，所以，所以，则．
解答题：
15．【详解】（1）函数的定义域为R．导函数．
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或．列表得：
x 1 （1，3） 3
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值2 单调递减 极小值－2 单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为（1，3）；
的极大值为，极小值为（13分）
16．【详解】（1）先选3名内科医生共有种选法，再选2名外科医生共有种选法，故选派方法共有种（3分）
（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：
内科医生去1，2，3，4人，易得选派方法为：
（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共种
（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，故既有主任，又有外科医生的选派种数为
17．【详解】（1）设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，元
（2）；
所以其来自丙班的可能性最高．（15分）
18．【详解】（1）当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；
（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，
所以，即，
设，则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，
所以，故，因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损
19．【详解】（1）由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值
当，，当，在上有一个零点，
当，，当，在上有一个零点，
所以由可得
（3）证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且．
因为当时，单调递增，所以，即
设，，则，则，即．
所以，．
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即．
综上，