深圳南山外国语学校高级中学2023-2024高一第二学期期中考试（图片版含答案）

因为面ABCD⊥面ADDA,面ABCDO面ADDA=AD,PMC面ABCD,
所以PM⊥面ADDA,又ADC面ADDA,所以PM⊥AD,
若DP⊥AD,又PM∩DP=P,故AD⊥面PMD,
又MDC面PMD,所以AD⊥MD,
因为M为线段AD上一点，在直角△ADD中不可能有AD⊥MD,故不存在相应的点P,使DP⊥AD,故B错误：
对于C,如图有平面DAC⊥BD理由如下：连接DB,
由题可得AC⊥DB,AC⊥BB,又DB∩BB,=B,则AC⊥平面DBB
因DB,C平面DBB,则AC⊥DB,
同理可证得AD⊥DB,
又AD∩AC=A,则平面DAC⊥BD,得DPC平面DAC.
故点P轨迹为平面DAC与底面ABCD交线，即为线段AC,又AC=2√2，故C正确：
D
对于D,如图取AB中点为P,连接PP.
B
由题可得DB⊥AC,AA,⊥平面ABCD.
因PP平行于DB,PPC平面ABCD,
D
则PP⊥AC,PP⊥AA.又ACOAA=A,则PR⊥平面ACCA
又取DD中点为Q,则Q2/DB/PP,
有P,P,Q,2四点共面
因为PRC平面PP2g,所以平面PPQg⊥平面ACC,A
则平面PPQg即为平面a.
设平面a分别与DC,BC交于R,R1,
因为面ADDA,∥面BCC,B,面ADD,A∩a=P9,面BCC,B,∩a=QR
所以P2/QR,又P,Q,2,都是中点，故R是B,C中点.
同理可证R是D,C中点，
所以平面α截正方体ABCD-AB,CD所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则PP=V2,
故截面面积为6×
5x=35,故D正确
12.224元
【详解】解：根据题意，设圆台的上、下底面半径和高分别为x、4x、4x,
上底面半径为P,下底面半径为R,高h,
可得母线长为Vh2+(R-r)2=10cm,即V(4x)2+(4x-x)2=10cm,
解之得x=2,所以圆台的上底面半径为r=2cm,下底面半径为R=8cm,高h=8cm.
1
由此可得圆台的体积为V=二πh(r2+R2+rR)=224πcm.
3
故答案为：224π.
13.
.9
2
【详解】由已知可得(a+b+c=a+万+c+26.b+万.c+ca上9+26.万+万-c+ca0,
因此，a-b+i.c+ca=-
9
6故答案为：一2
14.√5-1/-1+V5
【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出
AC2
AB2
后，结合基本不等式即可得解.
【详解】【方法一小：余弦定理
设CD=2BD=2m>0,
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m,
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m,
AC2_4m2+4-4m_4(m2+4+2m）-12(1+m
所以AB2m2+4+2m
4
12
m2+4+2m
(m+1)+3
m+1
12
24
=4-25
3
2(m+1)
m+1
当且仅当m+1=3即m=V5-1时，等号成立，所以当4C取最小值时，m=万-1
m+1
AB
[方法二]：建系法
令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C(2t,0),A(1,√5)，B(-t,0)
4C_(21-+3_4=4+44
12
AB2(t+1)2+32+2+4
3≥425
(t+1)
t+1
当且仅当t+1=√3，即BD=3-1时等号成立。