2023-2024学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-05 11:20:15 | ||
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文档简介
2023-2024学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若向量与共线，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别是，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
7.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 若，则或
B. 与是平行向量
C. 若与是共线向量，则，，，四点共线
D. 若，则
11.函数是常数，且，的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
12.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为______．
14.已知，则 ______．
15.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 ______
16.已知向量，，满足，若以向量，为基底，将向量表示成为实数，都有，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，与的夹角为求：
；
；
．
18.本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求函数在区间上的取值范围．
20.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，为边上的一点，，且，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
是的平分线；为线段的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．
21.本小题分
已知．
求函数的最小值以及取得最小值时的集合；
设的内角，，所对的边分别为，，，若且，求周长的取值范围．
22.本小题分
定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．
求出此函数的解析式；
是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
由，利用两角和的余弦公式求解即可．
本题考查了两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：．
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理可得，
所以．
故选：．
利用正弦定理计算即得．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：只需将函数的图象向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据平面向量基底的选取要求，为不共线的非零向量，而选项：为共线向量，则不能作为基底，
故选：．
根据向量基底的定义可选．
本题考查向量基底的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，
平面向量，，
则，，
则在上的投影向量为．
故选：．
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，
因为是的中线，所以．
故选：．
根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误．
故选：．
分别根据辅助角公式，二倍角公式以及两角和的正切公式求解．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，但两向量方向不确定，显然错误；
根据共线向量的定义可知，与方向相反，是共线向量，B正确；
由共线向量的定义可知，当与是共线向量时，也可能与平行，C错误；
当时，显然错误．
故选：．
由已知结合向量的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数图象，易知：，，
所以，
由，．
所以，．
因为，故A错误；
由．
因为，所以函数在上单调递增，故B正确；
将的图象向左平移个单位得：，不是偶函数，故C错误；
因为，故D正确．
故选：．
先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质．
本题主要考查了正弦函数的图象变换及正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
可得，
所以，
即，所以选项正确；
中，，可得，由选项可得，
则，在中，，
可得，则，，所以，即为直角三角形，所以选项正确；
中，因为为锐角三角形，由选项可得，
所以，可得，所以，
所以，
设，
设在单调递减，所以，
所以选项不正确；
中，为锐角三角形中，
，
设，
因为为锐角三角形，所以，可得，
所以，
即，
令，，则函数单调递增，
，而，
即，
所以，
所以，所以D正确．
故选：．
由题意及正弦定理可得，三角形中，由内角之间的关系，分别对所给命题的真假进行判断．
本题考查正弦定理的应用和三角函数的性质的应用，函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在中，，
由余弦定理可得，，
，．
故答案为：．
由已知直接利用余弦定理的推论求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，可得，
可得，
可得．
故答案为：．
利用平方关系和二倍角公式计算即可得出结果．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得：，
解得．
即此山的高度．
故答案为：．
设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，再在中利用正弦定理求得．
本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，正确作出图形是关键，是基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量共线定理的推论及等和线定理，数形结合思想，函数思想，属中档题．
设，，，根据，且得点在直线上或在点与直线之间，当直线与以为圆心，为半径的圆线切时可得取得最小值．
【解答】
解：如图，设，，，
，
，，，点在以为圆心，为半径的圆上，
，且，
根据向量共线定理的推论及等和线定理可得：
点在直线上或点与直线之间，
即直线与以为圆心，为半径的圆相离或相切，
，
，又，
当最大时，最小，取得最小值，
而当最大时，直线与圆相切，切点为，
设，，又，，，，
，，
，，
的最小值为
，
的最小值为．
故答案为：．
17.【答案】解：已知，，与的夹角为，
则；
；
．
【解析】根据数量积概念和运算律可得．
根据数量积概念和运算律可得．
根据数量积概念和运算律可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
18.【答案】解：由，可得，
所以，
由．，可得，
又，
所以，
，
．
【解析】结合同角基本关系先求出，然后利用两角差的余弦公式即可求解；
结合同角平方关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
故；
当时，，
所以，
故在区间上的取值范围为．
【解析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
由已知角的范围，结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的周期公式及取值范围的应用，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理知，，
在三角形中，，
代入上式得，
，
，，
，所以；
若选：由平分得，，，
所以，
即，
在中，由余弦定理得，
又，，即，
所以，
解得舍去，
所以．
所以的面积为．
若选：因为为线段的中点，所以，
两边平方可得，
而，
所以，而，
可得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
．
所以的面积为．
【解析】由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得角的余弦值，进而求出角的大小；
若选由角平分线及的值，可得，两边整理可得，的关系，再由中余弦定理可得，的关系，两式联立，进而求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选由题意可得向量的关系，两边平方可得，的关系，再由余弦定理，的关系，两式联立求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：已知，
则，
当，，
即，时，函数的最小值为，
此时；
已知，
则，
即，
即，
又，
则，
则，，
则，
又，
则
即
则
即周长的取值范围为．
【解析】由平面向量数量积的运算，结合三角函数的性质求解；
由正弦定理，结合三角函数的性质求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查正弦定理及三角函数的性质，属中档题．
22.【答案】解：，，，
又在内只取到一个最大值和一个最小值，
，，
，，
则，又，，
．
假设存在实数，满足题设不等式，
则满足，解得，
，，
同理，
当时，，故在上单调递增，
若有，
只需要，即成立即可，
存在，使成立．
由题意得，
函数与函数均为单调增函数，且，，
当且仅当与同时取得才有的最大值为，
由，得，
则由，得，
，则，，
又，的最小值为．
【解析】先利用三角函数最值与周期的性质求得，，再由求得，从而得解；
先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解；
先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的确定，正弦型函数的性质，存在性问题的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若向量与共线，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别是，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
7.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 若，则或
B. 与是平行向量
C. 若与是共线向量，则，，，四点共线
D. 若，则
11.函数是常数，且，的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
12.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为______．
14.已知，则 ______．
15.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 ______
16.已知向量，，满足，若以向量，为基底，将向量表示成为实数，都有，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，与的夹角为求：
；
；
．
18.本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求函数在区间上的取值范围．
20.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，为边上的一点，，且，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
是的平分线；为线段的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．
21.本小题分
已知．
求函数的最小值以及取得最小值时的集合；
设的内角，，所对的边分别为，，，若且，求周长的取值范围．
22.本小题分
定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．
求出此函数的解析式；
是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
由，利用两角和的余弦公式求解即可．
本题考查了两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：．
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理可得，
所以．
故选：．
利用正弦定理计算即得．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：只需将函数的图象向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据平面向量基底的选取要求，为不共线的非零向量，而选项：为共线向量，则不能作为基底，
故选：．
根据向量基底的定义可选．
本题考查向量基底的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，
平面向量，，
则，，
则在上的投影向量为．
故选：．
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，
因为是的中线，所以．
故选：．
根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误．
故选：．
分别根据辅助角公式，二倍角公式以及两角和的正切公式求解．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，但两向量方向不确定，显然错误；
根据共线向量的定义可知，与方向相反，是共线向量，B正确；
由共线向量的定义可知，当与是共线向量时，也可能与平行，C错误；
当时，显然错误．
故选：．
由已知结合向量的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数图象，易知：，，
所以，
由，．
所以，．
因为，故A错误；
由．
因为，所以函数在上单调递增，故B正确；
将的图象向左平移个单位得：，不是偶函数，故C错误；
因为，故D正确．
故选：．
先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质．
本题主要考查了正弦函数的图象变换及正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
可得，
所以，
即，所以选项正确；
中，，可得，由选项可得，
则，在中，，
可得，则，，所以，即为直角三角形，所以选项正确；
中，因为为锐角三角形，由选项可得，
所以，可得，所以，
所以，
设，
设在单调递减，所以，
所以选项不正确；
中，为锐角三角形中，
，
设，
因为为锐角三角形，所以，可得，
所以，
即，
令，，则函数单调递增，
，而，
即，
所以，
所以，所以D正确．
故选：．
由题意及正弦定理可得，三角形中，由内角之间的关系，分别对所给命题的真假进行判断．
本题考查正弦定理的应用和三角函数的性质的应用，函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在中，，
由余弦定理可得，，
，．
故答案为：．
由已知直接利用余弦定理的推论求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，可得，
可得，
可得．
故答案为：．
利用平方关系和二倍角公式计算即可得出结果．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得：，
解得．
即此山的高度．
故答案为：．
设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，再在中利用正弦定理求得．
本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，正确作出图形是关键，是基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量共线定理的推论及等和线定理，数形结合思想，函数思想，属中档题．
设，，，根据，且得点在直线上或在点与直线之间，当直线与以为圆心，为半径的圆线切时可得取得最小值．
【解答】
解：如图，设，，，
，
，，，点在以为圆心，为半径的圆上，
，且，
根据向量共线定理的推论及等和线定理可得：
点在直线上或点与直线之间，
即直线与以为圆心，为半径的圆相离或相切，
，
，又，
当最大时，最小，取得最小值，
而当最大时，直线与圆相切，切点为，
设，，又，，，，
，，
，，
的最小值为
，
的最小值为．
故答案为：．
17.【答案】解：已知，，与的夹角为，
则；
；
．
【解析】根据数量积概念和运算律可得．
根据数量积概念和运算律可得．
根据数量积概念和运算律可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
18.【答案】解：由，可得，
所以，
由．，可得，
又，
所以，
，
．
【解析】结合同角基本关系先求出，然后利用两角差的余弦公式即可求解；
结合同角平方关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
故；
当时，，
所以，
故在区间上的取值范围为．
【解析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
由已知角的范围，结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的周期公式及取值范围的应用，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理知，，
在三角形中，，
代入上式得，
，
，，
，所以；
若选：由平分得，，，
所以，
即，
在中，由余弦定理得，
又，，即，
所以，
解得舍去，
所以．
所以的面积为．
若选：因为为线段的中点，所以，
两边平方可得，
而，
所以，而，
可得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
．
所以的面积为．
【解析】由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得角的余弦值，进而求出角的大小；
若选由角平分线及的值，可得，两边整理可得，的关系，再由中余弦定理可得，的关系，两式联立，进而求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选由题意可得向量的关系，两边平方可得，的关系，再由余弦定理，的关系，两式联立求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：已知，
则，
当，，
即，时，函数的最小值为，
此时；
已知，
则，
即，
即，
又，
则，
则，，
则，
又，
则
即
则
即周长的取值范围为．
【解析】由平面向量数量积的运算，结合三角函数的性质求解；
由正弦定理，结合三角函数的性质求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查正弦定理及三角函数的性质，属中档题．
22.【答案】解：，，，
又在内只取到一个最大值和一个最小值，
，，
，，
则，又，，
．
假设存在实数，满足题设不等式，
则满足，解得，
，，
同理，
当时，，故在上单调递增，
若有，
只需要，即成立即可，
存在，使成立．
由题意得，
函数与函数均为单调增函数，且，，
当且仅当与同时取得才有的最大值为，
由，得，
则由，得，
，则，，
又，的最小值为．
【解析】先利用三角函数最值与周期的性质求得，，再由求得，从而得解；
先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解；
先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的确定，正弦型函数的性质，存在性问题的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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