2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 82.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-05 11:21:25 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知平面向量，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则( )
A. 的体积为
B. 的体积为
C. 的外接球的表面积为
D. 平面截该正四棱柱所得截面的面积为
11.下列说法正确的是( )
A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B. 设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
C. 设，且，则
D. 若是内的一点，满足，则：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个平行平面截一个半径为的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为______．
13.在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，则面积的最大值为______．
14.在中，角、、所对的边分别为、、，是的角平分线，若，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
若向量与相互垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知复数．
求；
在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
17.本小题分
棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：
求截去的三棱锥的表面积；
剩余的几何体的体积．
18.本小题分
已知为钝角三角形，它的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若的面积为，求的最小值．
19.本小题分
如图：在正方体中，为的中点．
求证：平面；
上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故．
故选：．
根据复数除法运算即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
因为为的中点，
所以，
所以，，．
故选：．
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，底面圆半径为，球的半径为，
则，得，
又圆锥的高为，可得，，
圆锥的底面半径为，母线长为，
．
因此，球的表面积为：．
故选：．
由题中条件得出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径，再利用勾股定理可计算出圆锥的高，进而求出球的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
而，即得，
所以，又，
所以．
故选：．
先求出，再由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量模的坐标表示，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：
连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为或其补角，
又，，
由余弦定理可得：．
则异面直线与所成角的正弦值为．
故选：．
先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：平面向量，，，
所以向量在上的投影向量为．
故选：．
利用向量数量积的坐标运算，向量模的坐标运算，结合投影向量的公式计算．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，，，则，可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案．
本题考查面面平行的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，即，
又为锐角三角形，，
又，，则，
解得，而当时，单调递增，
故，所以．
故选：．
根据正弦定理得到，由为锐角三角形，得到，结合三角函数的单调性得到，从而得解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，
则，，故A正确；
，
则，故B错误；
，，表示以为圆心，为半径的圆，
表示该圆上的点到点的距离，
故的最小值为，故C正确；
是关于的方程的根，
则也是关于的方程的根，
故，解得，故D正确．
故选：．
结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，
连接，，，，，，
由长方体的性质可知：，可知，，，四点共面，
为直三棱柱，其体积为，故A正确；
的体积为，故B错误；
的外接球即为长方体的外接球，
的外接球的半径，
则的外接球的表面积为，故C正确；
平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，故D正确．
故选：．
根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由不共线，与，得，解得，A正确；
对于，由的夹角为锐角，得且不共线，
则，解得且，B正确；
对于，由，得，
由，得，解得，C正确；
对于，由题意可得，，
令，的中点分别为，，则，即，则是线段靠近的等分点，
如图，在中，连接，则是的中位线，
，D错误．
故选：．
根据给定条件，利用共线向量求出判断；利用夹角余弦及向量共线计算判断；利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示计算判断；作出图形，分析三角形面积关系判断．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
12.【答案】或
【解析】解：设这两个截面所在的截面圆的半径分别为和，
由截面面积分别为和，知，，
所以，，
所以两个截面到球心的距离分别为，，
当两个截面在球心的异侧时，这两个平面之间的距离为；
当两个截面在球心的同侧时，这两个平面之间的距离为，
综上，这两个平面之间的距离为或．
故答案为：或．
先求出截面所在的截面圆的半径，再利用勾股定理计算两个截面到球心的距离，然后分两个截面在球心的同侧或异侧，求解即可．
本题考查球中的简单计算，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意由余弦定理可得：，又因为，，
即，
所以当且仅当时等号成立，
所以，
即面积最大值．
故答案为：．
利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：是的角平分线，
，
，
，
，整理得，
即，可得，
，
当且仅当，即时，取等号．
当，时，的最小值为．
故答案为：．
根据三角形的面积公式，化简得到，然后利用“的代换”与基本不等式，求出的最小值．
本题主要考查解三角形及其应用、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：根据题意，，，与的夹角为，
；
根据题意，，，向量与互相垂直，
，
解得；
故的值为．
【解析】由，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．
由向量互相垂直的性质得，由此能求出的值．
本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的模的求法，是基础题．
16.【答案】解：由已知得，
，
又，
所以；
依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以．
【解析】计算出；
得到，利用向量夹角余弦公式求出答案．
本题考查复数的几何意义，属于中档题．
17.【答案】解：正方体的棱长为，
等边三角形的边长为，可得三棱锥的表面积：
；
正方体的体积为，三棱锥的体积为，
剩余的几何体的体积为．
【解析】直接由三角形面积公式求三棱锥的表面积；
由正方体体积减去棱锥体积公式得答案．
本题考查多面体体积与表面积的求法，考查计算能力，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ在中，
，
，又，，
，
；
Ⅱ的面积为，即，
．
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
【解析】Ⅰ利用两角和与差的三角函数可求得，结合题意，可求得的值；
Ⅱ由的面积为，可求得，再利用余弦定理及基本不等式可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连结交于，连结．
因为为正方体，底面为正方形，
对角线、交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，在中，是的中位线，
则，
又平面，平面，
所以平面；
上的中点即满足平面平面．
因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
由知平面，
又因为，
所以平面平面．
【解析】连结交于，连结由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；
上的中点即满足平面平面由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论．
本题考查线面平行和面面平行的判断，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知平面向量，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则( )
A. 的体积为
B. 的体积为
C. 的外接球的表面积为
D. 平面截该正四棱柱所得截面的面积为
11.下列说法正确的是( )
A. 设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B. 设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
C. 设，且，则
D. 若是内的一点，满足，则：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个平行平面截一个半径为的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为______．
13.在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，则面积的最大值为______．
14.在中，角、、所对的边分别为、、，是的角平分线，若，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
若向量与相互垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知复数．
求；
在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
17.本小题分
棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：
求截去的三棱锥的表面积；
剩余的几何体的体积．
18.本小题分
已知为钝角三角形，它的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若的面积为，求的最小值．
19.本小题分
如图：在正方体中，为的中点．
求证：平面；
上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故．
故选：．
根据复数除法运算即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
因为为的中点，
所以，
所以，，．
故选：．
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，底面圆半径为，球的半径为，
则，得，
又圆锥的高为，可得，，
圆锥的底面半径为，母线长为，
．
因此，球的表面积为：．
故选：．
由题中条件得出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径，再利用勾股定理可计算出圆锥的高，进而求出球的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
而，即得，
所以，又，
所以．
故选：．
先求出，再由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量模的坐标表示，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：
连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为或其补角，
又，，
由余弦定理可得：．
则异面直线与所成角的正弦值为．
故选：．
先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：平面向量，，，
所以向量在上的投影向量为．
故选：．
利用向量数量积的坐标运算，向量模的坐标运算，结合投影向量的公式计算．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，，，则，可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案．
本题考查面面平行的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，即，
又为锐角三角形，，
又，，则，
解得，而当时，单调递增，
故，所以．
故选：．
根据正弦定理得到，由为锐角三角形，得到，结合三角函数的单调性得到，从而得解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，
则，，故A正确；
，
则，故B错误；
，，表示以为圆心，为半径的圆，
表示该圆上的点到点的距离，
故的最小值为，故C正确；
是关于的方程的根，
则也是关于的方程的根，
故，解得，故D正确．
故选：．
结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，
连接，，，，，，
由长方体的性质可知：，可知，，，四点共面，
为直三棱柱，其体积为，故A正确；
的体积为，故B错误；
的外接球即为长方体的外接球，
的外接球的半径，
则的外接球的表面积为，故C正确；
平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，故D正确．
故选：．
根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由不共线，与，得，解得，A正确；
对于，由的夹角为锐角，得且不共线，
则，解得且，B正确；
对于，由，得，
由，得，解得，C正确；
对于，由题意可得，，
令，的中点分别为，，则，即，则是线段靠近的等分点，
如图，在中，连接，则是的中位线，
，D错误．
故选：．
根据给定条件，利用共线向量求出判断；利用夹角余弦及向量共线计算判断；利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示计算判断；作出图形，分析三角形面积关系判断．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
12.【答案】或
【解析】解：设这两个截面所在的截面圆的半径分别为和，
由截面面积分别为和，知，，
所以，，
所以两个截面到球心的距离分别为，，
当两个截面在球心的异侧时，这两个平面之间的距离为；
当两个截面在球心的同侧时，这两个平面之间的距离为，
综上，这两个平面之间的距离为或．
故答案为：或．
先求出截面所在的截面圆的半径，再利用勾股定理计算两个截面到球心的距离，然后分两个截面在球心的同侧或异侧，求解即可．
本题考查球中的简单计算，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意由余弦定理可得：，又因为，，
即，
所以当且仅当时等号成立，
所以，
即面积最大值．
故答案为：．
利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：是的角平分线，
，
，
，
，整理得，
即，可得，
，
当且仅当，即时，取等号．
当，时，的最小值为．
故答案为：．
根据三角形的面积公式，化简得到，然后利用“的代换”与基本不等式，求出的最小值．
本题主要考查解三角形及其应用、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：根据题意，，，与的夹角为，
；
根据题意，，，向量与互相垂直，
，
解得；
故的值为．
【解析】由，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．
由向量互相垂直的性质得，由此能求出的值．
本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的模的求法，是基础题．
16.【答案】解：由已知得，
，
又，
所以；
依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以．
【解析】计算出；
得到，利用向量夹角余弦公式求出答案．
本题考查复数的几何意义，属于中档题．
17.【答案】解：正方体的棱长为，
等边三角形的边长为，可得三棱锥的表面积：
；
正方体的体积为，三棱锥的体积为，
剩余的几何体的体积为．
【解析】直接由三角形面积公式求三棱锥的表面积；
由正方体体积减去棱锥体积公式得答案．
本题考查多面体体积与表面积的求法，考查计算能力，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ在中，
，
，又，，
，
；
Ⅱ的面积为，即，
．
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
【解析】Ⅰ利用两角和与差的三角函数可求得，结合题意，可求得的值；
Ⅱ由的面积为，可求得，再利用余弦定理及基本不等式可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连结交于，连结．
因为为正方体，底面为正方形，
对角线、交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，在中，是的中位线，
则，
又平面，平面，
所以平面；
上的中点即满足平面平面．
因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
由知平面，
又因为，
所以平面平面．
【解析】连结交于，连结由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；
上的中点即满足平面平面由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论．
本题考查线面平行和面面平行的判断，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
第1页，共1页