第9章 平面向量 单元检测
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等
【答案】B
【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．
【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
由于与方向相反，长度相等，故B正确；
因为零向量的模为0，故C错误；
与线段的长度相等，故D错误．
故选：B．
2．设为所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法减法及数乘向量去表示向量
【解析】为线段靠近点的三等分点
，
．
故选：C．
3．已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.
【解析】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
4．已知，为单位向量．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.
【解析】设，的夹角为，
因为，为单位向量,且，
所以，
即，
整理得，
解得或（舍），
因为.
故选:A.
5．已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，设，则，
又，，根据向量的坐标运算知，
所以.
本题选择C选项.
点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
6．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【解析】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；
，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
7．如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及模的坐标运算求得，再根据角的范围利用正弦函数的性质求解最值即可判断.
【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系.
则，，，，（其中），
所以，
因为，所以，所以，
故有最小值为0，无最大值.
故选：A
8．已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，设，根据已知条件得到所设未知数的关系，利用向量模的坐标表示求出的取值范围，代换之后即可逐项判断.
【解析】解：因为向量夹角为，设，
因为，
①
，
若，则由①得，这与矛盾.
∴，代入（1）得
，
由得，
综上：，
，
令，则，所以，
，
又，，故，故A正确；
，令，则，所以
，
，，故，
，则，故B、C、D都错误.
故选：A
【点睛】平面向量的解题思路：
(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题.
二、多选题
9．已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则与夹角的正弦值为
C．若，则 D．若，则或16
【答案】BD
【分析】对A，根据向量共线求出可判断；对B，根据数量积关系求出即可判断；对C，根据垂直关系求出可判断；对D，求出，根据模为13求出可判断.
【解析】对A，因为．所以．解得，A错误；
对B，若，则，，，则，B正确；
对C，因为．所以，解得，C错误；
对D，因为，所以，解得或16，D正确．
故选：BD.
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.
【解析】对于A，因为，所以，所以，A正确；
对于B，因为，所以，所以，B正确；
对于C，因为，所以，所以，C错误；
对于D，因为，所以，所以或，D错误；
故选：AB.
11．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则
【答案】AD
【分析】可求出，，，根据数量积的公式即可求出A项；根据投影向量的计算公式即可判断B项；设出坐标，根据题意列出关系式，解出方程组即可判断C项；分别求出向量与向量的坐标，根据共线向量的坐标表示，即可求出的值.
【解析】由题意知，，，则，A正确；
在方向上的投影向量为，B错误；
设与垂直的单位向量的坐标，则有，
解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，C错误；
显然与不共线.
因为，，
向量与向量共线，
根据共线向量的坐标表示可得，，
整理可得，解得，D正确.
故选：AD.
12．点是的外心，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．若，则为的垂心
D．若，，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由平面向量数量积的定义，即可判断A，由平面向量基本定理，代入计算，即可判断BC，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，即可判断D.
【解析】因为，故A正确；
由可知，三点共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为的角平分线，与不一定相等，故B错误；
若，则点是的中点，又点是的外心，
所以，即为直角顶点，所以为垂心，故C正确；
因为，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，其中，
因为，所以，
得，
，，
则，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及平面向量基本定理的应用，难度较大，解答本题的关键在于应用好平面向量基本定理，以及转化为平面向量坐标运算.
三、填空题
13．已知，，且，则点M的坐标为 .
【答案】
【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.
【解析】解：由题意得，所以.
设，则，
所以，解得 ，
故点M的坐标为.
故答案为：
14．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 km/h.
【答案】20
【分析】根据题意小船实际航行速度，，构建模长关系，解得即可.
【解析】如图，设小船实际航行速度为，则，设船在静水中的速度为km/h，河水的流速为 km/h，
因为，所以，得(10)2＋102，
所以km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
故答案为：20.
15．如图，在四边形中，，，，点是线段的中点.若，，则的值为 .
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，用解析法求数量积即可求得结果.
【解析】延长交于点，以为坐标原点，建立直角坐标系如下所示：
由题可知，，故可得，
结合，故可得；
过作，在中，，
且.
故可得，
则
故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查用解析法求解几何问题，涉及数量积的坐标运算，属中档题.
16．设O为坐标原点，平面内的向量，，，P是直线上一个动点，且，则的坐标为 ，的余弦值为 .
【答案】
【分析】利用平面向量共线、线性运算、数量积、模长、夹角公式的坐标表示进行求解.
【解析】设，∵点P在直线上，∴与共线，
又，∴，∴，
∵，，
∴，
，
∴，
又，∴，解得，则，
此时，，，
∴，，
∴.
故答案为：，.
四、解答题
17．已知向量满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由，代入即可求解.
【解析】（1）解：因为，
可得，解得.
（2）解：因为，所以.
18．在平面直角坐标系中，已知，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数t的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可；
（2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可.
【解析】（1）因为，，
所以，，
因为，
所以，解得.
（2），
因为，所以，
解得.
19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；
（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线.
【解析】（1）∵，，
∴，
；
（2）证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线.
20．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【答案】(1)
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.
【分析】（1）由题意，且与垂直，即，根据数量积的定义即可求解；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，比较和两种情况即可求解.
【解析】（1）解：船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）解：设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
21．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可
（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知：
，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解
【解析】(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得解得
∴＋＝3(定值)．
【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．
22．
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
(1)求的值；
(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)已知的模长与夹角，根据平面向量基本定理以为基底表示,将所求式整理成只含有的向量表达式，根据向量运算法则即可求解；
(2)分析可知算式中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以按照倒序相加法求和；
(3)设出与的关系，以为基底，根据平面向量基本定理写出的表达式，化简求出最终只含参数的表达式，找出最小值情况，进而求出的长.
【解析】（1）设，，因为是边长为1的正三角形，
所以，，
因为为线段的四等分点，
所以，同理可得，
所以
．
（2）根据题意可知是线段的2022等分点，
仿照（1）推导过程可知，，
所以
所以
，
则.
（3）设，则，
所以
整理得．
当时，取最小值，此时，
则，
所以的长为．第9章 平面向量 单元检测
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等
2．设为所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
4．已知，为单位向量．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A． B．
C． D．
6．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
8．已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则与夹角的正弦值为
C．若，则 D．若，则或16
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则
12．点是的外心，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．若，则为的垂心
D．若，，则的取值范围为
三、填空题
13．已知，，且，则点M的坐标为 .
14．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 km/h.
15．如图，在四边形中，，，，点是线段的中点.若，，则的值为 .
16．设O为坐标原点，平面内的向量，，，P是直线上一个动点，且，则的坐标为 ，的余弦值为 .
四、解答题
17．已知向量满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．在平面直角坐标系中，已知，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数t的值.
19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
20．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
21．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
22．
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
(1)求的值；
(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．
