第七章随机变量及其分布 章节练习卷3（含解析）-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）
文档属性
| 名称 | 第七章随机变量及其分布 章节练习卷3（含解析）-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 444.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-05 13:37:32 | ||
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文档简介
第七章随机变量及其分布章节练习卷3-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
3．如果随机变量，且，那么的值为（ ）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
4．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
5．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为. 现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，这两次取出白球数X的均值为（ ）
A．1 B．
C．2 D．3
7．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．随机变量的分布列如下：
-1 0 1
若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
10．从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．D(X)＝ B．D(X)＝
C．m＝2 D．m＝4
11．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量服从二项分布，则
B．已知随机变量服从正态分布且，则
C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
三、填空题
12．某地有，，，四人先后感染了某种病毒，其中只有到过疫区，肯定是受感染的，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是，同样也假设受，和感染的概率都是．在这种假定之下，，，中直接受感染的人数就是一个随机变量，则的均值为 ．
13．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是 ．
14．甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
四、解答题
15．某一射手射击所得环数的分布列如下：
5 6 7 8 9 10
（1）求的值；
（2）求此射手射击所得环数的数学期望.
16．甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.
(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为，求的最大值和此时乙答对每道题的概率；
(2)以（1）中确定的作为p的值，求乙在两轮对战后得到25分的概率.
17．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示：
遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率.
18．我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.
19．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】求出，，即得解.
【详解】由题，，
，
.
故选：C
【点睛】本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
【分析】根据条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以,
故选：C
3．A
【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性得.
【详解】解：已知随机变量，，
则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：A
4．A
【分析】根据题中条件，先得出能取的值为，，，；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果.
【详解】由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型.
5．C
【分析】由全概率公式求解
【详解】设事件“任取一件产品用该设备进行检测，检测结果为合格”，事件“抽取的该产品为正品”，事件“抽取的该产品为次品”，则
，，，，由全概率公式得
.
故选：C
6．A
【分析】
按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】
由题意可得，随机变量的所有可能值为0，1，2．
，
，
．
所以的分布列为：
0 1 2
．
故选：A.
7．D
【详解】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于的等量关系式，最后求得结果.
详解：根据分布列的性质可得，
，
解得，故选D.
点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数所满足的等量关系式，最后求得结果.
8．D
【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果
【详解】由题设可得，
所以随机变量的方差为，
故选：D．
9．AD
【分析】根据题意得:,根据正态分布的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得:,其中,
即正态分布的对称轴为,
所以A正确,C错误,D正确.
因为,方差为,B错误,
故选:.
10．BC
【分析】由题可得，根据均值可求出，即可求出方差.
【详解】由题意，，又，∴m＝2，
则，故.
故选：BC.
11．BC
【分析】对于A，利用二项分布的方差公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用分步计数原理求解.
【详解】设随机变量服从二项分布，
则，，A错误；
∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是．
∵，
∴，
∴，故B正确；
小赵、小钱、小孙，小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，
设事件，事件，
则
，
∴，故C正确；
对于D中，公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，
根据分步计数原理，可得乘客下车的可能方式有种，∴D不正确．
故选：BC．
12．
【分析】由题意可得随机变量的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率求出各自对应的概率即可求出数学期望
【详解】解：因为肯定是受感染的，所以主要考虑，的感染情况，
所以随机变量的可能取值为1，2，3，则
，
，
，
所以，
故答案为：
13．0，1
【分析】随机变量X描述1次试验的成功次数，故，即可得出答案.
【详解】某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，
所以的可能取值为.
故答案为：
14．
【分析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，，
故（其中），
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，即．
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】（1）由分布列的性质可求得；
（2）用数学期望公式可求得结果.
【详解】（1）由分布列的性质得；
（2）此射手射击所得环数的数学期望.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求出乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的各种情况，得到乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题概率的表达式，求导得到的最大值和此时乙答对每道题的概率.
（2）根据乙在两轮对战后得到25分，得到得25分的情况，即可求出乙在两轮对战后得25分的概率.
【详解】（1）由题意
设“乙在第一轮答题中的第i次答题答对”设为事件，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题有三种情况：
，
则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题概率为：，
在中
，
则在单调递增，在单调递减，
∴的最大值为，
此时，；
（2）由题意及（1）得
∵乙在两轮对战后得25分，
∴乙在第一轮必答环节中恰好答对两道，且第二轮抢答环节中甲抢到并答错，
∵以（1）中确定的作为p的值，乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的概率为，
∴故乙在两轮对战后得25分的概率为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据分布列的性质，列出方程，即可求解；
（2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得：
，解得.
（2）解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，
则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，
所以，
所以至少遇到4个红灯的概率为.
18．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）由概率的乘法公式可得，再由二次函数知识可求解；
（2）由二项分布可求解.
【详解】（1）由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，
又因为，所以.
所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.
（2）由（1）知：
甲 乙 丙三队进入决赛的概率均为，
因为进入决赛的队伍数，
所以；
；
；
.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以，.
19．（1）0.0125；（2）答案见解析.
【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
【点睛】关键点睛：熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
3．如果随机变量，且，那么的值为（ ）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
4．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
5．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为. 现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，这两次取出白球数X的均值为（ ）
A．1 B．
C．2 D．3
7．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．随机变量的分布列如下：
-1 0 1
若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
10．从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．D(X)＝ B．D(X)＝
C．m＝2 D．m＝4
11．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量服从二项分布，则
B．已知随机变量服从正态分布且，则
C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
三、填空题
12．某地有，，，四人先后感染了某种病毒，其中只有到过疫区，肯定是受感染的，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是，同样也假设受，和感染的概率都是．在这种假定之下，，，中直接受感染的人数就是一个随机变量，则的均值为 ．
13．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是 ．
14．甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
四、解答题
15．某一射手射击所得环数的分布列如下：
5 6 7 8 9 10
（1）求的值；
（2）求此射手射击所得环数的数学期望.
16．甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.
(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为，求的最大值和此时乙答对每道题的概率；
(2)以（1）中确定的作为p的值，求乙在两轮对战后得到25分的概率.
17．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示：
遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率.
18．我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.
19．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】求出，，即得解.
【详解】由题，，
，
.
故选：C
【点睛】本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
【分析】根据条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以,
故选：C
3．A
【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性得.
【详解】解：已知随机变量，，
则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：A
4．A
【分析】根据题中条件，先得出能取的值为，，，；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果.
【详解】由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型.
5．C
【分析】由全概率公式求解
【详解】设事件“任取一件产品用该设备进行检测，检测结果为合格”，事件“抽取的该产品为正品”，事件“抽取的该产品为次品”，则
，，，，由全概率公式得
.
故选：C
6．A
【分析】
按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】
由题意可得，随机变量的所有可能值为0，1，2．
，
，
．
所以的分布列为：
0 1 2
．
故选：A.
7．D
【详解】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于的等量关系式，最后求得结果.
详解：根据分布列的性质可得，
，
解得，故选D.
点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数所满足的等量关系式，最后求得结果.
8．D
【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果
【详解】由题设可得，
所以随机变量的方差为，
故选：D．
9．AD
【分析】根据题意得:,根据正态分布的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得:,其中,
即正态分布的对称轴为,
所以A正确,C错误,D正确.
因为,方差为,B错误,
故选:.
10．BC
【分析】由题可得，根据均值可求出，即可求出方差.
【详解】由题意，，又，∴m＝2，
则，故.
故选：BC.
11．BC
【分析】对于A，利用二项分布的方差公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用分步计数原理求解.
【详解】设随机变量服从二项分布，
则，，A错误；
∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是．
∵，
∴，
∴，故B正确；
小赵、小钱、小孙，小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，
设事件，事件，
则
，
∴，故C正确；
对于D中，公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，
根据分步计数原理，可得乘客下车的可能方式有种，∴D不正确．
故选：BC．
12．
【分析】由题意可得随机变量的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率求出各自对应的概率即可求出数学期望
【详解】解：因为肯定是受感染的，所以主要考虑，的感染情况，
所以随机变量的可能取值为1，2，3，则
，
，
，
所以，
故答案为：
13．0，1
【分析】随机变量X描述1次试验的成功次数，故，即可得出答案.
【详解】某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，
所以的可能取值为.
故答案为：
14．
【分析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，，
故（其中），
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，即．
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】（1）由分布列的性质可求得；
（2）用数学期望公式可求得结果.
【详解】（1）由分布列的性质得；
（2）此射手射击所得环数的数学期望.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求出乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的各种情况，得到乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题概率的表达式，求导得到的最大值和此时乙答对每道题的概率.
（2）根据乙在两轮对战后得到25分，得到得25分的情况，即可求出乙在两轮对战后得25分的概率.
【详解】（1）由题意
设“乙在第一轮答题中的第i次答题答对”设为事件，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题有三种情况：
，
则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题概率为：，
在中
，
则在单调递增，在单调递减，
∴的最大值为，
此时，；
（2）由题意及（1）得
∵乙在两轮对战后得25分，
∴乙在第一轮必答环节中恰好答对两道，且第二轮抢答环节中甲抢到并答错，
∵以（1）中确定的作为p的值，乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的概率为，
∴故乙在两轮对战后得25分的概率为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据分布列的性质，列出方程，即可求解；
（2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得：
，解得.
（2）解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，
则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，
所以，
所以至少遇到4个红灯的概率为.
18．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）由概率的乘法公式可得，再由二次函数知识可求解；
（2）由二项分布可求解.
【详解】（1）由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，
又因为，所以.
所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.
（2）由（1）知：
甲 乙 丙三队进入决赛的概率均为，
因为进入决赛的队伍数，
所以；
；
；
.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以，.
19．（1）0.0125；（2）答案见解析.
【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
【点睛】关键点睛：熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.
答案第1页，共2页
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