(共30张PPT)
6.3.3 与面积相关的概率（1）
北师大版 七年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1 在具体情境中进一步了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型。（重点）
2 了解一类事件发生概率的计算方法，并进行简单的计算。（难点）
新知导入人们通常用必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）＝1；不可能事件的概率为0，记作P（不可能事件）＝0；如果A为随机事件，那么0＜P（A）＜1.P（摸到红球）摸到红球可能出现的结果数摸出一球所有可能出现的结果数新知讲解
合作学习
有两个不透明的盒子，一个盒子中装有8个黑球，2个白球；
另一个盒子里装有2个黑球，8个白球，这些球除颜色外完全相同.
在哪一个盒子里随意摸出一球，摸到黑球的概率较大？为什么？
在第一个盒子里摸到黑球的概率较大.这是因为，
在第一个盒子里，P（摸到黑球）= = ，
在第二个盒子里，P（摸到黑球）= = .
现在，我们把两个盒子换成两个房间——卧室和书房，把袋子中的黑白球换成黑白相间的地板砖，如图：
卧室
书房
图中的每一块方砖除颜色外完全相同，一个小球分别在卧室和书房中自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，在哪个房间里，小球停留在黑砖上的概率大呢？
卧室
书房
议一议: 观察卧室和书房的地板图，你能发现什么？
（1）卧室中黑砖的面积大，书房中白砖的面积大.
（2）每块方砖除颜色外完全相同，小球在地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，具有不确定性.
由此可知小球停留在任意一块方砖上的可能性是相同的.
议一议: 观察卧室和书房的地板图，你能发现什么？
（3）卧室和书房的面积是相等的，而卧室中黑砖的面积大于书房中黑砖的面积，故在卧室中，小球停留在黑砖上的概率较大.
那么小球在地板上自由滚动，停留在黑砖上的概率为多少呢？如何计算呢？来看下图：
假如小球在如图所示的地板上滚动，并随机停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？（图中每一块方砖除颜色外完全相同）
想法1：方砖除颜色外完全相同，小球在地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球停留在任意一块方砖上的概率_________.
因此，P（小球最终停留在黑色方砖上）= = .
都相同
想法2：这16块方砖，就像16个小球（除颜色外完全相同），其中4块黑砖相当于4个黑球，12块白砖相当于12个白球，小球在地板上自由滚动，相当于把这16个球在盒子中充分搅匀，而最终小球停留在黑砖上，相当于从盒子中随意摸出一球是黑球，
因此，P（小球最终停留在黑色方砖上）= = .
想法3：小球最终停留在黑砖上的概率，与面积大小有关系.
此事件的概率等于小球最终停留在黑砖上所有可能结果组成的图形面积，即________________，除以小球最终停留在方砖上的所有可能结果组成的图形，即_________________.
5块方砖的面积
20块方砖的面积
因此，P（小球最终停留在黑色方砖上）=——————— = .
5块方砖的面积
20块方砖的面积
提炼概念
我们举出了一些不确定事件，它们发生的概率都为 ，其实这样的事件很多。我们不难发现，这些事件叙述不同，但它们的实质是相同的。
由此我们可以对以上问题的处理总结如下：
或
利用图形面积之间的关系求不确定事件的概率，称为几何概率．
典例精讲
日常生活中有许多形式的抽奖游戏，我们可以利用概率的知识计算某些游戏获奖的概率.下面我们就来看看这样的例子.
例2 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被分成20个相等的扇形）.
日常生活中的抽奖游戏要保证对每个参加抽奖者的公平，此题是如何保证的？
转盘被等分成20个扇形，并且每个顾客自由转动转盘，说明指针落在每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购物券的概率相同，获得100元、50元、20元购物券的概率也相同，因此游戏是公平的.
甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
P(获得购物券)＝
P(获得100元购物券)＝
P(获得50元购物券)＝
P(获得20元购物券)＝
归纳概念
该事件A所占区域的面积
所求事件的概率 = ————————————
所有可能结果的总面积
拓展利用此公式求概率时若所给图形能等分成若干份，可按份数直接计算;若不能，则设法求出各自的面积。
课堂练习
必做题
1.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
C
选做题
2、如图A、B、C三个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若干个扇形，转动转盘，指针停止后，指向白色区域的概率分别是（ ）、（ ）、（ ）。
B
A
C
0
1
5
3
综合拓展题
3.小明家的阳台地面铺设着黑、白两种颜色的方砖共18块（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．
（2）（1）中哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变哪块方砖的颜色？
解：小皮球停留在黑色方砖上的概率大．
要使两个概率相等，可改变第2行第4列的方砖颜色，使其变为白色．
课堂总结
与面积相关的等可能事件概率的求法：
事件A的概率等于事件A所包含的图形面积m与图形总面积n的比P(A)= .
作业布置
必做题
1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（ ）
C
选做题
2.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到红色部分的概率.
图①
图②
解：图①，
图②，设圆的半径为a，则
综合拓展题
3.如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？
解：A区域的方格总共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏有1颗地雷.因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ;
B区域方格数为9×9－9=72.其中有地雷的方格数为10－3=7.因此，点击B区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ;
由于 ＞ ，即点击A区域遇到地雷的可能性大于点击B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该点击B区域.
与面积相关的等可能事件概率的求法：
事件A的概率等于事件A所包含的图形面积m与
图形总面积n的比P(A)= .
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分课时教学设计
第6课时《6.3.3 与面积相关的概率（1）》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过问题引发学生的思考,学生能直观初步体验几何概型的概率与图形的面积有关．让学生感知生活,体会数学与现实生活的联系.
学习者分析 指出与几何图形有关的概率与面积有关,从而提出问题:如何计算与几何图形有关的事件发生的概率。.
教学目标 1.了解与面积有关的一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算； 2.能够运用与面积有关的概率解决实际问题．2
教学重点 体会概率的意义,能计算和面积(几何概型)有关的事件发生的概．
教学难点 体会概率的意义,能设计符合要求的简单概率模型．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 下图是卧室和书房地砖的示意图,图中每一块方砖除颜色外完全相同,一个小球分别在卧室和书房中自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上. 【思考1】 问题1：在哪个房间里,小球停留在黑砖上的概率大 卧室 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 提出问题:如何计算与几何图形有关的事件发生的概率．活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.引发学生的思考,学生能直观初步体验几何概型的概率与图形的面积有关．环节二：新课讲解 与几何图形有关的概率与面积有关 【思考2】如何计算与几何图形有关的事件发生的概率。 假如小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率是多少 图中的地板由20块方砖组成，其中黑色方砖有5块，每一块方砖除颜色外完全相同. 因为小球随机地停留在某块方砖上，它停留在任何一块方砖上的概率都相等，所以 利用图形面积之间的关系求不确定事件的概率，称为几何概率．某事件发生的概率等于该事件发生的所有可能的结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的图形的面积的比值，即 【思考3】小球停留在白砖上的概率是多少 小明认为小球停留在黑砖上的概率与下面事件发生的概率相等. 一个袋中装有20个球,其中有5个黑球和15个白球,每个球除颜色外完全相同,从中任意摸出一球是黑球. 你同意他的看法吗 同意 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 通过具体的生活事例,进一步体会概率在生活中的应用,进一步体验几何概型概率的求法．1世活动意图说明： 指导学生建立模型，鼓励学生大胆探索．在几何概率模型中,若是等分图形,则只需求出总的图形的个数与某事件发生的图形个数即可.若是不等分图形,则需要求出两种图形面积的大小.环节三：例题讲解 例2 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成 20个扇形). 甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ 甲顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次转动转盘的机会.转盘被等分成20个扇形，其中1个是红色、2个是黄色、4个是绿色，因此，对于甲顾客来说， P(获得购物券)＝ P(获得100元购物券)＝ P(获得50元购物券)＝ P(获得20元购物券)＝ 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．． 活动意图说明： 会概率的意义,能计算和面积(几何概型)有关的事件发生的概率．能够运用与面积有关的概率解决实际问题．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ） 选做题： 2、如图A、B、C三个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若干个扇形，转动转盘，指针停止后，指向白色区域的概率分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【综合拓展类作业】 3.小明家的阳台地面铺设着黑、白两种颜色的方砖共18块（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上． （2）（1）中哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变哪块方砖的颜色？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（ ） 选做题： 2.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到红色部分的概率. 【综合拓展类作业】 3.如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？
教学反思 课堂小结
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 七年级下册 第6章
课标要求 1.了解必然事件和不可能事件发生的概率，体会概率的取值在0~ 1之间。
2.经历“猜测一-试验并收集试验数据--分析试验结果”的活动过程，体会不确定现象的特点，发展随机观念。
3.在经历活动的过程中，培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神．
内容分析 概率在本单元中，学生将在“猜测—试验并收集试验数据——分析试验结果”的活动过程中进一步了解不确定现象的特点，通过具体情境体会概率的意义，在丰富的实际问题中认识到概率是刻划不确定现象的数学模型，同时学习一些计算概率的方法，并通过概率帮助自己作出合理的决策。可能性在0，1 之间等可能性与游戏规则的公平性理解概率的意义两类概率模型（古典概型和几何概型）的简单计算解决实际问题做决策设计符合要求的简单概率模型通过掷硬币的游戏，让学生了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，并在大量做试验的过程中初步了解概率的意义，初步体会可以通过做试验来大致估计事件发生的可能性。通过大量试验在对频率与概率关系初步体验的基础上，学生可能会得出可以用分数刻画事件发生的概率。．
学情分析 本章的主要内容有事件的分类及判断随机事件可能性的大小；随机事件发生频率的稳定性；等可能事件的概率及计算简单事件发生的概率．在认识可能性的基础上，进一步理解事件的分类和随机事件可能性的大小，然后通过试验感受在实验次数很大时，随机事件发生频率的稳定性，进而认识等可能事件的概率，体会概率是描述随机现象的数学模型．
单元目标 教学目标1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结
果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．
2.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率．（二）教学重点、难点教学重点:求等可能事件的概率.教学难点:借助频率的稳定性理解概率，根据事件发生的概率解决实际问题．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：北师大七下的频率与概率教材，是一本全面介绍概率与统计基础知识的教材。该教材从频率和概率的基本概念入手，逐步深入到概率的计算、概率分布、条件概率、随机变量及其期望值等核心内容。同时，该教材还注重实际应用，通过丰富的实例和练习，帮助学生理解和掌握概率与统计的应用．2.本章教学建议：（1）. 使学生能够了解概率的意义，理解现实世界中不确定现象的特点，树立一定的随机观念是教学的重点和难点。教师要引导学生主动地参与对事件发生概率的感受和探索，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验。（2）.学生往往存在着一些生活经验，这些经验是学生学习的基础，但其中也有一些是错误的，逐步消除错误的经验，建立正确的随机观念是概率教学的一个重要目标，要实现这一目标，必须让学生经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自从事“试验——收集试验数据——分析试验结果”，获得事件发生的概率。（3）.对知识的考查应注重理解和应用，避免单纯地套用模式进行计算。本单元的知识主要涉及计算一些简单事件发生的概率，对它的考查要注重理解和在新情境中的应用．3.重视数学思想方法的教学（1）体会和掌握类比的学习方法，如通过类比，学习和区分随机事件、必然事件与不可能事件．（2）体会数形结合思想，如从图表中获取有用信息，从而利用图表解决实际问题；根据几何图形的面积的大小，确定随机事件发生的概率，并解决有关实际问题．（3）体会转化思想．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数 6.1 感受可能性16.2.1 抛图钉试验16.2.2抛硬币试验1 6.3.1 简单概率的计算16.3.2 与摸球相关的概率1 6.3.3 与面积相关的概率（1）16.3.4 与面积相关的概率（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1 感受可能性1.能区分必然事件、不可能事件和不确定事件.2.初步体验有些事件的发生是不确定的，知道不确定事件的发生是有大小的.1.体会事件发生的确定性与不确定性．2.理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，树立一定的随机观念．活动一：通过骰子活动，经历猜测、试验、收集试验结果等过程，体会数据的随机性．活动二：理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，树立一定的随机观念．6.2.1 抛图钉试验1.通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小.2.大量重复试验得到频率的稳定值的分析.3.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力．1通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小．2.大量重复试验得到频率的稳定值的分析.活动一：学生对生活中存在的问题进行猜测,并体会试验结果的可能性有可能不同,开始体会事件发生的可能性有大有小．活动二：引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法．6.2.2抛硬币试验1.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力；2.通过对问题的分析,理解并掌握用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法．1.通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此初步估计出某一事件发生的可能性大小．2．大量重复试验得到频率的稳定值的分析．活动一：使学生回顾学过的三类事件,让学生体验数学来源于生活,既复习了之前所学习的知识,也为本节课知识的．活动二：通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此初步估计出某一事件发生的可能性大小．活动三：巩固例题．6.3.1 简单概率的计算1 了解计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义，根据已知的概率设计游戏方案。2 体验数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力． 1.概率的意义及其计算方法的理解与应用以及根据已知的概率设计游戏方案．2.灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题．活动一：先复习上节课初步认识的概率的概念,并解决活动内容2,讨论公平的理由,初步体会试验结果的等可能性.活动二：学习例题，通过摸球活动,让学生感受古典概型的特点．6.3.2 与摸球相关的概率1.通过小组合作、交流、试验，初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.2.灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题.1.概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用.2.概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用.活动一：通过小组合作、交流、试验，初步理解游戏的公平性.活动二：使学生真正理解等可能事件发生的概率的求法和意义.6.3.3 与面积相关的概率（1）1.了解与面积有关的一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算；2.能够运用与面积有关的概率解决实际问题.1.体会概率的意义,能计算和面积(几何概型)有关的事件发生的概率.2.体会概率的意义,能设计符合要求的简单概率模型.活动一：通过具体的生活事例,进一步体会概率在生活中的应用,进一步体验几何概型概率的求法.活动二：学生能直观初步体验几何概型的概率与图形的面积有关．活动三：巩固例题.6.3.4 与面积相关的概率（2） 1.理解等可能事件的意义；2.理解等可能事件概率的意义；3.学会利用等可能事件的概率解决实际概率问题.1.了解另一类(几何概率)事件发生的概率的计算方法,并能进行简单计算.2.设计符合要求的简单数学模型.活动一：通过复习古典概型、几何概型的计算方法,使学生在学习本节知识前扫清障碍.活动二：引导学生举出与本例叙述不同但本质相同的概率模型,使学生从中体会到概率模型的思想.
《第6章 频率与概率》单元教学设计
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分课时学案
课题 6.3.3 与面积相关的概率（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.了解与面积有关的一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算；2.能够运用与面积有关的概率解决实际问题．
重点 体会概率的意义,能计算和面积(几何概型)有关的事件发生的概．
难点 体会概率的意义,能设计符合要求的简单概率模型．
教学过程
导入新课 【引入思考】教育下图是卧室和书房地砖的示意图,图中每一块方砖除颜色外完全相同,一个小球分别在卧室和书房中自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上.【思考1】问题1：在哪个房间里,小球停留在黑砖上的概率大 卧室
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容 问题2：你觉得小球停留在黑砖上的概率大小与什么有关 与几何图形有关的概率与面积有关【思考2】如何计算与几何图形有关的事件发生的概率。假如小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率是多少 【思考3】小球停留在白砖上的概率是多少 小明认为小球停留在黑砖上的概率与下面事件发生的概率相等.一个袋中装有20个球,其中有5个黑球和15个白球,每个球除颜色外完全相同,从中任意摸出一球是黑球.你同意他的看法吗 提炼概念（本节课主要内容提炼）在几何概率模型中,若是等分图形,则只需求出总的图形的个数与某事件发生的图形个数即可.若是不等分图形,则需要求出两种图形面积的大小.；典例精讲 例2 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形).甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
课堂练习 巩固训练1.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）2、如图A、B、C三个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若干个扇形，转动转盘，指针停止后，指向白色区域的概率分别是（ ）、（ ）、（ ）。3.小明家的阳台地面铺设着黑、白两种颜色的方砖共18块（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．（2）（1）中哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变哪块方砖的颜色？【知识技能类作业】必做题：1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（ ）选做题：2.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到红色部分的概率. 【综合拓展类作业】3.如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？
课堂小结
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