2023-2024学年人教版七年级数学下册第8章 二元一次方程组单元测试（含解析）

2023-2024学年七年级数学下册第8章 二元一次方程组（单元测试）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若，，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
2．若关于x，y的方程组没有实数解，则(　　（
A．ab＝－2； B．ab＝－2且a≠1
C．ab≠－2； D．ab＝－2且a≠2
3．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．由方程组可得x与y的关系式是（　　）
A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2
5．若单项式与是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．3 B．9 C． D．
7．若实数，，满足，且，则的值是（ ）
A．31 B．27 C．29 D．无法确定
8．一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，这样的两位数有（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．8个
9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文对应密文. 例如：明文1,2,3对应的密文5,7,9.当接收方收到密文14,9,15时，则解密得到的明文为( （
A．10,5,2 B．10,2,5 C．2,5,10 D．5,10,2
10．《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若a、b互为相反数，则a-（2-b）的值为
12．已知方程的一个解是，则 ．
13．已知方程组，则 ．
14．对于实数，，定义运算“◆”和“”：a◆b，例如4◆3，因为，所以4◆3，，m，n为常数，若，，则m◆n ．
15．若是方程组的解，则a与c的关系是 ．
16．已知一个等腰三角形的两边长，满足方程组 则此等腰三角形的周长为 ．
17．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝ ；b＝ ．
18．如图，数轴上有A，B，C三点，个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且．动点P， Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程组
（1） （用代入法解方程组） （2）
20．（8分）在中，当时，，当时，．
（1）求和的值．
（2）求当时，的值．
21．（10分）解方程：．
22．（10分）阅读理解：
已知实数x，y满足…①，…②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______．
（2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知，，求的值．
23．（10分）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 120 135
乙 100 120
（1）该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？
24．（12分）【方法感语】阅读下面材料：
点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点表示的分别是1，4则或；
【归纳】若点表示的数分别是，，则或．

【知识迁移】
（1）若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______；
（2）如图2，点表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点与重合，若把向右平移个单位，则点与70重合，那么______，______；
【拓展应用】
（3）一天，美羊羊去问村主任爷爷的年龄，村主任爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要50年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，136岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村主任爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．
参考答案：
1．C
【分析】根据幂的乘方将已知式子整理为，，据此即可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，解得：，
∴.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，二元一次方程组等知识，根据幂的乘方的运算法则将已知式变形是解题的关键．
2．A
【分析】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可求出ab的值．
【详解】 ，
由①得，x=-1-ay，
代入②得，b（-1-ay）-2y+a=0，
即（-ab-2）y=b-a，
因为此方程组没有实数根，所以b-a ≠0且-ab-2=0
解得ab=-2．
故选A．
【点睛】考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法．
3．D
【分析】由可得：，再由，关于k的方程，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键．
4．D
【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．
【详解】解：，
①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，本题用的是加减消元法．
5．D
【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项的定义，列出二元一次方程组，进行解答即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，．
故选：D．
6．A
【分析】由于已知二元一次方程的解，可将其代入方程组中，即可求出、的值，进而利用算术平方根定义可求出的算术平方根．
【详解】解：把代入方程组得，
解得：，
则．
则的算术平方根为3．
故选：A．
【点睛】此题既考查了二元一次方程组的解法，也考查了算术平方根的定义，其中能够根据二元一次方程的解来求得、的值，是解答此题的关键．
7．B
【分析】将已知适当变形后相减，得到的值，即可得到答案．
【详解】解：由两边同时乘以5得：①，
由两边同时乘以3得：②，
①-②得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知变形，构造并求出x-18y+11z的值．
8．D
【分析】可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为7，且x、y为整数，分别讨论两未知数的取值即可，注意不要漏解．
【详解】解：设两位数的个位数为x，十位为y，
根据题意得：x＋y＝8，
∵x，y都是整数，
∴当x＝0时，y＝8，两位数为80；
当x＝1时，y＝7，两位数为71；
当x＝2时，y＝6，两位数为62；
当x＝3时，y＝5，两位数为53；
当x＝4时，y＝4，两位数为44；
当x＝5时，y＝3，两位数为35；
当x＝6时，y＝2，两位数为26；
当x＝7时，y＝1，两位数为17；
则此两位数共8个，
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，注意不要漏掉两位数的个位数可以为0的情况．
9．B
【详解】根据题意可得：，解得：，即明文为：10,2,5.
考点：三元一次方程组的应用
10．A
【分析】根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量=16两，②4只雀的重量+1只燕的重量=1只雀的重量+5只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键．
11．-2
【分析】根据题意可先求出a=-b的关系式，然后代入计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴a=-b，
∴a-（2-b）=-b-2+b=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了代数式求值、相反数的概念，根据相反数的概念得到a=-b是解题的关键．
12．
【分析】把代入方程得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：把代入方程，得
，
解得：．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程．根据方程解的意义得出关于a的方程是解题的关键．
13．
【分析】方程组两方程相减求出的值，第一个方程乘以减去第二个方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：，
得：，
得：，
则原式．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
14．
【分析】根据新定义运算法则，得出，解出、的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，m，n为常数，若，，
∴可得：，
解得：，
又∵，
∴，
∴m◆n．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算、解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则．
15．9a－4c＝23
【分析】把解代入方程组中，得关于a、b、c的方程组，消去b即得a与c的关系式．
【详解】把代入方程组中，得：
，得：9a－4c＝23
故答案为：9a－4c＝23
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及消元法的应用，关键是应用消元法消去b．
16．5
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系解答即可．
【详解】解：解方程组，
解得：，
所以等腰三角形的两边长为2，1，
若腰长为1，底边长为2，由1＋1＝2知，这样的三角形不存在，
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5，
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为5．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，三角形三边关系，等腰三角形的性质有关知识．
17． ﹣5 ﹣2
【分析】分别按甲、乙错误的说法得出2b﹣3a＝11①和2b+a＝﹣9②，联立方程求解即可求出a，b的值．
【详解】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号
∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10
∴2b﹣3a＝11①
∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数
∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
∴2b+a＝﹣9②
由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2
故答案为：﹣5，﹣2．
【点睛】本题考查了整式乘法的计算问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18．或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解二元一次方程组，根据题意易得，则，得出，和，联立求解得出，进而得出，设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q标示的数为，根据数轴上两点之间距离的表示方法得出，，根据，列出方程求出t的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴联立得：，
解得：，
∴，
设运动时间为t，
∴点P表示的数为，点Q标示的数为，
∴，，
∵，
∴，
即或，
解得：或，
∴点Q标示的数为，或，
故答案为：或．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）分别把两方程记作①和②，然后由①，用含x的式子表示出y记作③，将③代入②得到一个关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值，把x的值代入③即可得到y的值，写出方程组的解即可；
（2）先把原方程组的两方程化简后，分别记作①和②，然后①×6+②把x消去得到关于y的一元一次方程，求出方程的解即可得到y的值，然后把y的值代入②即可求出x的值，写出方程组的解即可；
【详解】解：（1），
由①得：y=2x+5③，
将③代入②得：3x+8(2x+5（=2，
即19x=-38，
解得x=-2；
把x=-2代入③，解得y=1，
所以此方程组的解为；
由可化为：，
①×6+②得：19y=114，
解得y=6，
把y=6代入②，解得x=-7，
所以原方程组的解为.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，用代入法或加减法消元化为一元一次方程是解题关键．
20．（1）k=6，b=-2；（2）-14．
【分析】（1）由题意可得关于k、b的方程组，解方程组即可求得k、b的值；
（2）将x=-2以及k、b值代入y=kx+b进行计算即可得．
【详解】解：（1）因为在中，当时，，当时，，
所以，
②-①得：k=6，
把k=6代入①得：6+b=4，
解得：b=-2，
所以方程组的解为，
所以k=6，b=-2；
（2）由（1）知y=6x-2，
当x=-2时，y=6×（-2）-2=-14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并正确求解是解题的关键．
21．或．
【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
①，
，
，
，
②，
，
，
，
③，
①②得：，
④，
把④代入③得：，
解得：或，
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
原方程组的解为：或．
22．(1（-1，
(2（8
【分析】（1）利用① ②可求出x y的值，利用①＋②进行计算可求出x＋y的值；
（2）根据题意可得，然后利用整体的思想求出a＋b＋c＝8，即可解答．
【详解】（1）解：，
① ②得：x y＝-1，
①＋②得：5x＋5y＝17，则x＋y＝，
故答案为：-1，；
（2）根据题意得：，
①×2得：4a＋6b＋2c＝24③，
③ ②得：a＋b＋c＝8，
∵1*1＝a＋b＋c＝8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
23．(1（商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件
(2（乙种商品打九折销售的
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙商品打m折出售，根据总利润单价利润销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件．
根据题意得：，
解得：．
答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件．
（2）解：设乙商品打m折出售．
根据题意得：，
解得：．
答：乙种商品打九折销售的．
24．(1（2；
(2（，30
(3（村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁
【分析】（1）根据最大的负整数是和，根据题意，可得，即可求得的值；
（2）由题意可得，，解方程即可；
（3）设美羊羊现在岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上表示的数为，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意，列出二元一次方程组．即可求解．
【详解】（1）解：点表示的数是最大的负整数，
点表示的数是，
，
，
解得：或，
故答案为：2；；
（2）解：点表示的数分别是，，
，
当向左平移个单位，则，
当向右平移个单位，则，
解得：，，
故答案为：，30；
（3）解：设美羊羊现在岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上表示的数为，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意得：，
解得：，
答：村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，解二元一次方程组是解题的关键．