2023-2024学年广东省深圳外国语学校第二学期七年级数学期中测试（含解析）

202 3 — 2024学年深圳外国语学校七年级(下)期中 数 学 试 卷
一、选择题(共10题，每题3分，共30分)
1. 下列各式的计算中，正确的是( )
A.x ÷x =x B.a +g =q
C.(m-n)2=m -n D.a ·a =q
2. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 买一张彩票， 一定不会中奖
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》,这首咏物诗启示我 们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写 的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m, 将数据0.0000084用科学记数法
表示为( )
A.8.4×106 B.8.4×10~6 C.84×10~7 D.8.4×105
4. 如图，把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°,则∠2的度数为( )
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A.10°
B.15
C.20°
D.25°
5. 弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度(cm) 与所挂物体的质量 (kg) 之间的关系如表，下列说法错误的是
( )
物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度(cm) 10 12.5 15 17.5 20 22.5
A. 在没挂物体时，弹簧的长度为10cm
B. 弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C. 在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg, 弹簧的长度就增加2.5cm
D. 在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm
6. 下列说法中正确的个数有( )
(1)两直线被第三条直线所截，内错角相等.
(2)钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部.
(3)相等的角是对顶角.
(4)锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
7.如图，在△ABC 中，∠A=50°,∠B=70°. 按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分
别交AC 和 BC 的延长线于点 D,E.② 分别以 D,E 为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点 F.③ 作射线
CF. 则∠ECF 的度数为( )
A.60° B.65°
C.70° D.75°
8. 如图，在长方形ABCD中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A→B→C→D→A 方向运动到点A 处停止(提 示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD和 BC). 设点P 运动的路程为x,△PCD 的面积为
y, 如果y 与 x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为( )
A.6 B.9 C.15 D.18
9. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处 ，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上 用力一蹬，妈妈在B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她.若点B 距离地面的高度为1.5m, 点B 到 OA的
距离BD 为1.7m, 点C 距离地面的高度是1.6m,∠BOC=90°, 则点 C 到 OA的距离CE 为 ( )
□地面<
A.1m B.1.6m C.1.4m D.1.8m
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10. 如图，在△ABC 中，∠ABC=60°,AD 平分∠BAC交BC 于点D,CE 平分∠ACB交AB 于点E,AD 、CE 交
于点 F. 则下列说法正确的个数为()
①∠AFC=120°;②S△ABD=S△ADC,③若AB=2AE, 则 CE⊥AB;④CD+AE=AC;⑤S△AEF:S△FDC=AF:FC.
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
二 .填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. 如图所示的计算程序中， y 与x 之间的关系式是
(
输
出
y
) (
×3
) (
输入
x
) (
+2
)取相反数
12. 已知9x2-12x+m 是一个完全平方式，则m 的值是：
13,如图，∠1=∠2,要利用 “SAS” 得到△ABC≌△ABD, 需要增加的一个条件是
14.如图，在△ABC 中，BC 边上的高AD=BD, 点E为AD 上的点，且DE=DC, 若S△ABD-S△ECD=20, 则图中
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阴影部分面积为 _
第 1 3 题 图
第14题图
第15题图
15. 如图，点C 在线段BD上，AB⊥BD于 B,ED⊥BD 于 D.∠ACE=90°, 且AC=5cm,CE=6cm, 点 P 以 2cm/s
的速度沿A→C向终点C 运动，同时点Q 以 3cm/s的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动(即沿 E→C→E→C → …运动),当点P 到达终点C 时 ，P,Q 同时停止运动.过P,Q 分别作BD 的垂线，垂足为M,N. 设运动时
间为 ts, 当以P,C,M 为顶点的三角形与△OCN 全等时， t 的值为
三、解答题(共7题，共55分)
16.(8分)(1)(4分)计算：500 -495×505;
(
其中
a=1,b=-3.
)(2)(4分)先化简，再求值： (a-b) -2a(a+3b)+(a+2b)(a-2b),
17.(7分)如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家，
其中x (分)表示时间，y (千米)表示小华离家的距离.根据图象回答下列问题：
(1)(2分)体育馆距离小华家 千米，小华在体育馆锻炼了 _分钟； (2)(2分)体育馆距离文具店 千米，小华在文具店买笔用了 分钟；
(3)(3分)小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时
18. (8分)如图，E、F 在BD 上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF, 求证： AC 与BD 互相平分，且AB//CD. 补
全下面的解题过程：
证明：∵BF=DE,
∴ —— , 即 BE=DF,
在△ABE和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF( ),
∴∠B=∠D.
∴AB//CD(
在△ABO 和△CDO 中，
∴△ABO≌△CDO( ),
∴AO=CO,BO=DO, 即AC 与BD 互相平分.
19.(6分)在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除
了颜色外其他都相同.
(1)(2分)从袋中随机摸出1个球，摸出白球的概率是
(2)(2分)从袋中随机摸出1个球，摸出黑球的概率是
(3)(2分)向袋中加入 个黑球，可以使摸出红球的概率变为
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20.(8分)如图，∠A=∠B,AE=BE, 点D 在AC边上，∠1=∠2,AE 和BD相交于点O
(1)(4分)求证：△AEC≌△BED;
(2)(4分)若∠1=38°,求∠BDE 的度数.
21.(8分)阅读下列材料，解决相应问题：
(
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若
这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.
例如43×68=34×86=2924,所以43和68与34和86都是“友好数对”
.
)
(1)(1分)36和84 “友好数对”.(填“是”或“不是”)
(2)(4分)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a, 个位数字为b, 且a≠b;
另一个数的十位数字为c, 个位数字为d, 且c≠d, 则a,b,c,d 之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如
下，请你将其补充完整：
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d, 将它们各自的十位数字和个位数字交换位
置后两个数依次表示为 和
因为它们是友好数对，所以(10a+b)(10c+d)=
即g,b,c,d 的等量关系为：
(3)(3分)若有一个两位数，十位数字为x+2, 个位数字为 x, 另一个两位数，十位数字为x+2, 个位数字为
x+8. 且这两个数为“友好数对”,求出这两个两位数.
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22.(10分)在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶 点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等
三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”.这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)(2分)如图1,在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40°(AB>AD), 连 接BD, CE, 当点 E 落在 AB 边上，且 D,E,C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD 全等的三角形
是_ , ∠BDC 的度数为
(2)如图2,己知△ABC, 分别以AB、AC 为直角边向△ABC 两侧作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD, 其中
∠BAE=∠CAD=90°, 连接CE 、BD, 线段 CE和 BD交于点 O.
①(4分)证明： CE=BD 且CE⊥BD;
②(4分)若DC 与 BC 在同一直线上，如图3,延长DA 与 CE 交于点F, 连接BF 并延长，BF 的延长线与边AE
交于点G, 且 AF=AG, 若△ABE 和△ACD的面积之和为20,△ABG的面积为6,求线段 EG的长.
图 1
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202 3 — 2024学年深圳外国语学校七年级(下)期中
数 学 试 卷
参考答案与试题解析
一 .选择题(共10小题)
1. 下列各式的计算中，正确的是( )
A.x ÷x =x B.a +a =g
C.(m-n)2=m - D.a ·a =a
【解答】解： A 、x ÷x =1, 故此选项错误；
B 、a +a , 无法合并，故此选项错误；
C 、(m-n) =m -2 mn+n , 故此选项错误；
D 、a ·a =a , 正确；
故选： D.
2. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 买一张彩票， 一定不会中奖
【解答】解： A、打开电视机，正在播放《开学第一课》,是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件，符合题意；
D、买一张彩票， 一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选： C.
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》,这首咏物诗启示我 们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的 “苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m, 将数据0.0000084用科学记数法表示
为 ( )
A.8.4×10 B.8.4×10~6 C.84×107 D.8.4×10~5
【解答】解：0.0000084用科学记数法表示为8.4×10~6.
故选： B.
4. 如图，把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°,则∠2的度数为( )
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A.10° B.15° C.20° D.25°
【解答】解：∵直尺的对边平行，
∴∠3=∠1=35°,
∴∠2=60℃-35°=25°.
故选：D.
5. 弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度 (cm) 与所挂物体的质量 (kg) 之间的关系如表：下列说法错误的是
( )
物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度(cm) 10 12.5 15 17.5 20 22.5
A. 在没挂物体时，弹簧的长度为10cm
B. 弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C. 在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg, 弹簧的长度就增加2.5cm
D. 在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm
【解答】解：根据条件，可列关系式为：y=2.5x+10.
A. 在没挂物体时，弹簧的长度为10cm, 根据图表，当质量x=0 时 ，y=10, 故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项
错误，符合题意；
C. 在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg, 弹簧的长度就增加2.5cm, 故此选项正确，不符合题意；
D、由关系式y=10+2.5xm,x=4, 解得y=20, 在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故选：B.
6. 下列说法中正确的个数有( )
(1)两直线被第三条直线所截，内错角相等.
(2)钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部.
(3)相等的角是对顶角.
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(4)锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解答】解：(1)两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该说法不正确，
(2)钝角三角形三内角的平分线的交点一定在三角形内部，故该说法不正确，
(3)相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确，
(4)锐角三角形的任意两个内角的和大于90°,故该说法正确，
故选： A.
7. 如图，在△ABC中，∠A=50°,∠B=70°. 按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分
别交AC和BC 的延长线于点D,E.② 分别以D,E 为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点F.③ 作射线CF.则
∠ECF 的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
【解答】解：∵∠A=50°,∠B=70°,
∴∠ACE=∠A+∠B=120°,
由尺规作图可知，CF 为∠ACE的平分线，
∴∠ECF=∠ACF=60°.
故选：A.
8. 如图，在长方形ABCD中，动点P 从 A出发，以一定的速度，沿A→B→C→D→A 方向运动到点A 处停止(提
示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC). 设点P 运动的路程为x,△PCD 的面积为y,
如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为( )
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A.6 B.9 C.15 D.18
【解答】解：由题意可知，当点P 从点A 运动到点B 时，△PCD 的面积不变，结合图象可知AB=6,
当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0,结合图象可知 BC=3,
∴长方形ABCD 的面积为：AB·BC=6×3=18.
故选：D.
9. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处 ，OA 与地面垂直，小丽两脚在地面上 用力一蹬，妈妈在B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她.若点B 距离地面的高度为1.5m, 点B 到 OA的距
离BD为1.7m, 点 C 距离地面的高度是1.6m,∠BOC=90°, 则点 C 到 OA的距离CE 为 ( )
地面
A.lm B.1.6m C.1.4m D.1.8m
【解答】解：∵点B 距离地面的高度为1.5m, 点C 距离地面的高度是1.6m,
∴点 D 距离地面的高度为1.5m, 点E 距离地面的高度是1.6m,
∴DE=1.6-1.5=0.1(m),
∵∠BDO=∠BOC=90°,
∴∠OBD+∠BOE=∠BOE+COD=90°,
∴∠OBD=∠COD,
又由题意可知，OB=OC,
∴△OBD≌△COE(AAS),
∴OE=BD=1.7m,CE=OD,
∴CE=OD=OE+DE=1.7+0.1=1.8(m),
∴点C 到 OA 的距离 CE 为1.8m,
故选：D.
10. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AD 平分∠BAC交 BC 于点D,CE 平分∠ACB交AB 于点E,AD 、CE 交
于点F. 则下列说法正确的个数为( )
①∠AFC=120°;②S△ABD=S△ADC,③若AB=2AE, 则 CE⊥AB;④CD+AE=AC;⑤S△AEF:S△FDC=AF:FC.
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A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【解答】解：①在△ABC 中，∠ABC=60°,
∴∠ACB+∠CAB=120°,
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∵AD平分∠BAC,CE
∴ ,
平分∠ACB,
,故①正确；
②当AD是△ABC的中线时，S△ABD=S△ADC,
而AD平分∠BAC, 故②错误；
③如图，延长 CE至 G, 使GE=CE, 连接BG,
∵AB=2AE,
∴AE=BE,
∵∠AEC=∠BEG,
∴△ACE≌△BGE(SAS),
∴∠ACE=∠G,CE=GE,
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE,
∴∠BCE=∠G,
∴BC=BG,
∵CE=GE,
∴BE⊥CE, 故③正确；
④如图，作∠AFC 的平分线交AC 于点G,
由①得∠AFC=120°,
∴∠AFG=∠CFG=60°,
∴∠AFE=60°,
∴∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°,
∵∠EAF=∠GAF,∠DCF=∠GCF,
∴△AEF≌△AGF(ASA),△CDF≌△CGF(ASA),
∴AE=AG,CD=CG,
∴CD+AE=CG+AG=AC, 故④正确；
⑤过G 作 GM⊥FC,GH⊥AF 于 点G,H,
由④知，FG 为∠AFC的角平分线，
∴GH=GM,
∴S△AGF:S△FGC=AF:FC,
∵△AEF≌△AGF,△CDF≌△CGF,
∴S△AEF:S△FDC=AF:FC, 故⑤正确.
综上所述：正确的有①③④⑤,共4个，
故选：C.
(
G
)
二 .填空题(共5小题)
11,如图所示的计算程序中， y 与x 之间的关系式是 y=-3x+2
【解答】解：根据图示可知，y 与x 之间的函数关系为： y=-3x+2,
故答案为：y=-3x+2.
12. 已知9x -12x+m 是一个完全平方式，则m 的值是： 4
【解答】解：∵9x -12x+m 是一个完全平方式，
∴9x -12x+m=(3x) -2×2×3x+2 ,
∴m=2 =4,
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故答案为：4.
13. 如图，∠1=∠2,要利用 “SAS” 得到△ABC≌△ABD, 需要增加的一个条件是_BC=BD_.
【解答】解：需要增加的一个条件是BC=BD.
∵∠1=Z2,
∴180°-∠1=180°-∠2,
即∠ABC=∠ABD,
在△ABC和△DBC 中，
∴△ABC≌△DBC(SAS).
故答案为：BC=BD.
14. 如图，在△ABC中，BC 边上的高AD=BD, 点E 为AD上的点，且DE=DC, 若S△ABD-S△ECD=20, 则图中
阴影部分面积为 20
【答案】20.
S△ABD-S△ECD=÷BD·AD-÷DE·CD=÷BD -2CD =2(BC-CD) -2CD =-BC -BC·CD+2CD -2CD =2BC
∴S阴影=S△ABD-S△ECD=20,
故答案为：20.
15.
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【解答】解：当点P 在AC 上，点Q 在CE 上时，∵以P,C,M 为顶点的三角形与△OCN 全等，
∴PC=CQ
∴5-2t=6-3t,
∴t=1,
当点P 在AC 上，点Q 第一次从点C返回时，∵以P,C,M 为顶点的三角形与△OCN全等，
∴PC=CQ
∴5-2t=3t-6,
综上所述： t 的值为11
一.解答题(共6小题)
16.(1)(4分)500 -495×505
【解答】解：原式=500 -(500-5)(500+5)=500 -(500 -25)=25;
(2)(4分)先化简，再求值： (a-b)2-2a(a+3b)+(a+2b)(a-2b), 其 中a=1,b=-3.
【分析】原式先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可化简，最后把 a、b
的值代入计算可得，
【解答】解：原式=a -2ab+b -2a -6ab+a -4b =-8ab-3b .
当a=1 、b=-3 时，
原式=-8×1×(- 3)- 3×(- 3)2
=24-27
=-3.
17. 如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中
x (分)表示时间， y (千米)表示小华离家的距离.根据图象回答下列问题：
(1)(2分)体育馆距离小华家 2.5 千米，小华在体育馆锻炼了 15 分钟；
(2)(2分)体育馆距离文具店 千米，小华在文具店买笔用了 20 分钟；
(3)(3分)小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时
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1002/分
【分析】(1)根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间；
(2)根据观察函数图象的横坐标，可得体育馆与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的
时间；
(3)根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间
的关系，可得答案.
【解答】解：(1)由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5;15.
(2)由纵坐标看出体育馆距离文具店2.5-1.5=1(千米),由横坐标看出小华在文具店买笔用了65-45=20(分).
故答案为：1;20.
(3)小华从家跑步到体育馆的速度为2. (千米/小时),
小华从文具店散步回家的平均速度是1 (千米/小时).
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时.
(两个算式各1分，答1分)
18. 已知如图， E 、F 在BD 上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF, 求 证：AC 与 BD互相平分.
【分析】先证△ABE≌△DFC得∠B=∠D, 再证△ABO≌△COD, 根据全等三角形的性质即可证明AC与BD 互
相平分.
【解答】证明：∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF
即 BE=DF
在△ABE 和△DFC 中，
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∴△ABE≌△DFC(SSS),
∴∠B=∠D.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AO=CO,BO=DO,
即 AC与 BD 互相平分.
19. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色
外其他都相同.
(1)(2分)从袋中随机摸出1个球，摸出白球的概率是
(2)(2分)从袋中随机摸出1个球，摸出黑球的概率是
(3)(2分)向袋中加入 个黑球，可以使摸出红球的概率变为
【分析】(1)根据概率公式计算，即可得到答案；
(2)根据概率公式计算，即可得到答案；
(3)设向袋中加黑球的数量为x, 结合概率公式，通过求解分式方程，即可得到答案.
【解答】(每空2分)解：(1)根据题意，小球共3+3+2=8个，
∴从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵白球3个，
:.从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概
;
(2)结合(1)的结论，得：从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵黑球2个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概 :
(3)设向袋中加黑球的数量为x,
∴从袋中随机地摸出1个球，共(8+x) 种情况，
∵”摸出红球的概率) 且红球3个，
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∴x=4,
∵x=4 时，8+x≠0,
∴x=4 是方程的解，
∴向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变)
20.(2024·天河区校级一模)如图，∠A=∠B,AE=BE, 点 D 在AC边上，∠1=∠2, AE 和BD相交于点O
(1)求证：△AEC≌△BED;
(2)若∠1=38°,求∠BDE的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】几何图形.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED;
(2)由(1)可知： EC=ED,∠C=∠BDE, 根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE的
度数；
【解答】(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
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∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中，
∵EC=ED,∠1=38°,
∴∠C=∠EDC=71°,
∴∠BDE=∠C=71°.
【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型.
21. 阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若 这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例如43 ×68=34×86=2924,所以43和68与34和86都是“友好数对” .
(1)(1分)36和84 是 “友好数对”.(填“是”或“不是”)
(2)(4分)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a, 个位数字为b, 且a≠b;
另一个数的十位数字为c, 个位数字为d, 且c≠d, 则 a,b,c,d 之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如
下，请你将其补充完整.
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b 和10c+d, 将它们各自的十位数字和个位数字交换位
置后两个数依次表示为 10b+a 和_ 10d+c
因为它们是友好数对，所以(10a+b)(10c+d)=_
即a,b,c,d 的等量关系为： ac=bd _.
(3)(3分)若有一个两位数，十位数字为x+2, 个位数字为x, 另一个两位数，十位数字为 x+2, 个位数字为
x+8. 且这两个数为“友好数对”,直接写出这两个两位数.
【分析】(1)计算36×84和63×48,根据定义判断；
(2)利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并化
简；
(3)根据 “ac=bd” 得 (x+2)(x+2)=x(x+8), 解方程得到x, 写出两个两位数.
【解答】解：(1)∵36×84=3024,63×48=3024,
∴36×84=63×48,
∴36和84是友好数对.
故答案为：是.
(2)∵一个数的十位数字为a, 个位数字为b; 另一个数的十位数字为c, 个位数字为d,
∴交换后十位数字为 b, 个位数字为a, 另一个的十位数字为d, 个位数字为c,
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∴两个数依次表示为10b+a,10d+c,
∵这两个数是友好数对，
∴(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c),
化简得：ac=bd.
故答案为：10b+a,10d+c,(10b+a)(10d+c),ac=bd.
(3)由(2)得：(x+2)(x+2)=x(x+8),
解得：x=1,
∴两个两位数为：31和39.
22.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰 三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，
我们把这种模型称为“手拉手模型”.这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1,在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40°(AB>AD), 连 接BD,CE, 当点E 落在AB边上，且D,E,C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是
∠BDC的度数为
(2)如图2,已知△ABC, 分别以AB、AC 为直角边向△ABC 两侧作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD, 其中
∠BAE=∠CAD=90°, 连接CE 、BD,线 段CE 和 BD交于点O.
①证明：CE=BD 且CE⊥BD;
②若DC 与 BC 在同一直线上，如图3,延长DA与 CE 交于点F, 连 接BF 并延长， BF 的延长线与边AE交于点
G, 且AF=AG, 若△ABE和△ACD的面积之和为20,△ABG的面积为6,求线段 EG 的长.
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图 1
【解答】解：(1)如图1中，
图 2
图1
在△DAB 和 △EAC 中 ，
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠DEB=∠AEC,
∴∠BDC=∠BAC=40°,
故答案为：△ACE,40°;
(2)①∵△ABE 和△ACD均为等腰直角三角形，∠BAE=∠CAD=90°
∴,AB=AE,AC=AD,
∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
∴∠CAE=∠BAD,
在△CAE 和 △DAB 中 ，
∴△CAE≌△DAB(SAS),
∴CE=BD,∠ACE=∠ADB
∴∠DOE=∠DCE+∠BDC
=∠CDB+∠ACE+∠ACD
=∠CDB+∠ADB+∠ACD
=∠ADC+∠ACD=90°
∴CE⊥BD
②∵△ABE和△ACD的面积之和为20,△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，
∴AB +AC =40,∠ACD=∠D=45°,∠BAE=∠CAD=90°,AB=AE,AC=AD,
∴∠CAF=180°-90°=90°,
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∵△CAE≌△DAB(SAS),
∴∠ACE=∠D=45°,
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=45°+45°=90°,
∴∠CFD=90°-∠D=45°,
∴∠CFD=∠ACE,
∴AF=AC,
**AF=AG,
∴AG=AC,
∵△ABG 的面积为6,∠BAG=90°,
即AB·AG=12, ∴AB·AC=12,
∴(AB+AC) =AB +AC +2AB·AC=40+24=64,
∵AB+AC>0,
∴AB+AC=8,
∵(AB-AC) =AB +AC -2AB·AC=40-24=16,
∴|AB-AC|=4,
∵∠ACB=180°-45°=135°,
∴∠ACB>∠ABC,
∴AB>AC,
∴AB-AC=4,
∴AB=6,AC=2,
∴AE=6,AG=2,
∴EG=AE-AG=6-2=4.
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