第9章 平面向量 单元检测
一、单选题
1．已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围.
【解析】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，
若，则，设，
∴，且，
又，
∴，即.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.
2．已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【分析】令，可得，且，设 ，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.
【解析】令，则，故，且，
假设 ，，，
所以根据已知条件有，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A.
3．已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【解析】
当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则
则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，则
（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.
故线段MN的最短长度为
故选：D.
4．已知向量满足，，若向量与向量的夹角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得到两个向量的夹角为.建立平面直角坐标系.得到，根据向量与向量的夹角为判断出在以为圆心，半径为的圆上，根据可知对应的轨迹为，不包括两点，由此可求得的取值范围.
【解析】由于，.以方向为轴建立平面直角坐标系如下图所示.其中.故.由于向量与向量的夹角为，则在以为弦，并且所对应的圆周角为的圆弧上.由于,根据对称性有,，由于直角对的弦为直径，故以为直径的圆圆心为，半径为，根据可知对应的轨迹为，不包括两点.而，所以表示的几何意义是上的点，到的距离.根据可知，最远距离为圆心到的距离再加上半径，即，所以的取值范围是，故选B.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积，考查平面向量的几何意义，考查向量的模，考查数形结合的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
5．如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则的最大值为
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】取中点，交外接圆于，交内切圆于，得到为外接圆劣弧的中点，从而得到取得最大，为内切圆劣弧的中点，取得最小，记的最大值为，的最小值为，从而求得的值，代入求得结果.
【解析】如图，取中点，交外接圆于，交内切圆于，
此时为外接圆劣弧的中点，取得最大；
为内切圆劣弧的中点，取得最小，
记的最大值为，的最小值为，
而，，
故的最大值为，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关向量分解中对应坐标的运算式的最值问题，在解题的过程中，注意思路清晰是解题的关键，注意在什么情况下取得最值.
6．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中：
①有3个不同的值；
②若，则与无关；
③若，则与无关；
④若，，则与的夹角为.
正确的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】排列出所有三种情况得到，根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案.
【解析】可能有三个结果：
；
；
；
，
当且仅当时所有等号成立.
故，故③错误，①、②正确；
设与的夹角为，
，，
，④错误；
所以正确的个数为个.
故答案为：C
【点睛】本题利用了两类不等式，一个是基本不等式，（当时等号成立），一个是数量积有关的不等式：（原因是，同向时等号成立.）
7．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据数量积及建立不等式，即可求出最小值.
【解析】是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是,
故选：B
【点睛】本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.
8．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，由，可知，得到，由，可得，得到，由，可得，得到，连接，可得四点共圆，因此，又，可得∽，又，，可得，即可得出.
【解析】解：如图所示，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以
，所以，
因为，
所以，
所以，
连接，因为，
所以四点共圆，所以，
又因为，所以，
所以，
所以∽，所以,
因为，，
所以，所以，
所以
所以
故选：D
【点睛】此题考查向量垂直和数量积的关系，四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
二、多选题
9．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由，得，从而D0P⊥AB.利于几何关系证明CE∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.
【解析】如图，
在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故.同理，由，得，故DP0⊥AB.
由D为BC的中点，E为AB的中点，且，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.
又E为AB的中点，所以AC=BC.
故选：ABC
10．下列说法中正确的是（ ）
A．对于向量，，，有
B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形
C．若，分别表示的面积，则
D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0
【答案】BCD
【分析】对A，由平面向量乘法的运算律即可判断；
对B，由得出的平分线垂直于BC，进而AB=AC，再根据题意求出即可判断；
对C，通过，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，进而根据重心的性质得到答案；
对D，由和即可判断.
【解析】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误；
对B，因为，所以的平分线垂直于BC，所以AB=AC，
又因为，所以△ABC为等边三角形，B正确；
对C，如图：
因为，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，设的面积分别为，则的面积分别为，由重心性质可知，所以，C正确；
对D，因为，而，所以,
所以，所以λ+μ=0，D正确.
故答案为：BCD.
【点睛】本题难点在于答案C，这里需要对三角形的重心性质比较熟悉，这样才能很好的进行构造，如本题，根据，我们可以构造出使得O为重心，进而解决问题，因此平常要注重对常见结论的总结.
11．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.
【解析】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.
充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，
因为，则，充分性成立；
必要性：因为且，
所以，，即，所以，，
所以，、、三点共线.
本题中，取的中点，连接，如下图所示：
、分别为、的中点，则且，
，，即，
，即，，，
，，
、、三点共线，为直线外一点，则且.
，，则，
所以，，可得，由可得，
由基本不等式可得.
当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为，ABC选项均不满足.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出；
（2）利用基本不等式求出的最小值.
12．点O在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
E．若，则点O是的内心
F．若，则点O是的垂心
【答案】BCDEF
【分析】外心是三角形三边中垂线的交点，内心是三角形角平分线的交点，重心是三角形三边中线的交点，垂心是三角形三边高的交点.
【解析】对于A
设的中点为,则.
所以.
这就说明点共线,即点在边的中线上
同理,可以说明点在另外两边的中线上
所以为三角形的重心
故A错误
对于B
向量分别表示在边和上的单位向量, 设为和,
则它们的差是向是
则当 即时,点在的平分线上,
同理由 ,知点在的平分线上,
故为的内心
故B正确
对于C
由向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义可知表示以 、为邻边的平行四边形是菱形,
即 , 同理有,
所以为的外心
故C正确
对于D
由可得
所以，
即在边的垂线上
同理可证在边的垂线上
所以为三角形的垂心
故D正确
对于E
即
因为
所以
所以
故
因为与分别为和方向上的单位向量,
设, 则平分.
又、共线, 知平分.
同理可证平分, 平分,
所以O点是的内心.
故E正确
对于F
等价于
（设角，，的对边分别为,，）
（由三角形的高得到)
所以, 同理.
所以点是的垂心
故F正确
故选BCDEF
三、填空题
13．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 .
【答案】6
【分析】由已知有为△的旁心且，
法一：作于点，可得，再由，即可求值.
法二：应用特殊处理，假设△为等边三角形，根据已知条件易得且，再由，即可求值.
【解析】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，
又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，
法一：作于点，则，如下图示，
所以，又，
所以.
法二：不妨设△为等边三角形，即，则，
所以，故，而，
所以.
故答案为：6
【点睛】关键点点睛：作于点，利用向量加法的几何意义，结合数量积的运算律求值.
14．已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：
①；
②若，则；
③若，则；
④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．
其中所有真命题的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】①②根据重心的几何性质和向量的线性运算即可判断；
③已知，将化成已知方程形式，对比即可判断；
④结合图形可知，，则由即可表示出，数形结合即可求其最大值.
【解析】对于①，，即，∴①正确；
对于②，由题意，可知O是的重心，∴，∴x＝y＝z＝1，∴②正确；
对于③，可化为：，即，∴，解得，∴③错误；
对于④，∵，，
∴，
∴，
∴，当且仅当点M与点A重合时取等号，∴④正确．
故答案为：①②④．
15．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 .
【答案】
【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，
表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.
【解析】不妨设 ， ，则由题知
又 ，所以
整理得① ，所以
又 ，
所以
而
将①代入整理得：
令 ，
，有最小值，
又 ，当且仅当时等号成立
所以 ，当时有最大值 .
故答案为： .
16．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 .
【答案】2
【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案.
【解析】，变形为，
即，
其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
故在的平分线上，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
故，
因为，所以，故，
故平分，
故点为的内心，
过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点，
则，
因为，所以，
又，所以，
由向量数量积得，
故.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心.
四、解答题
17．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【解析】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
18．记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据集合新定义设，列式化简可得，即可得答案；
（2）先证明中向量都是共线向量，设，根据集合新定义推出，，可得，结合为共线向量，推得，即可证明结论.
【解析】（1）设，由得，
即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，
故中的三个元素为；
（2）先证明中向量都是共线向量，
不妨设，
因为，所以中至少有一个不为0，
若，记，
显然，即，故，
任取，因为，所以，
故，则，
故，则，则问题得证；
若，同理可证明，其中；
故综合上述中向量都是共线向量，
因为，所以不妨设，
则由定义知，即，同理，
故，则，
同理可得，故为共线向量，
即存在实数，使，即，
因为，所以，所以，
记，则，
即一定存在实数，且，使得.
【点睛】难点点睛：本题考查了集合的新定义问题，解答时要注意理解新定义，并能根据该定义去解决问题，难点在于第二问的证明，解答时要首先证明中向量都是共线向量，然后推出，结合为共线向量，推得，即可证明结论.
19．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=
(1)试用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值
(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
（2）由（1），，，
则，，.
则；
（3）由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则.
20．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点.
【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【解析】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.
21．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)3；(3).
【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【解析】(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
22．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.
【解析】（1）解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
（2）解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.第9章 平面向量 单元检测
一、单选题
1．已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
3．已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
4．已知向量满足，，若向量与向量的夹角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则的最大值为
A． B．2 C． D．
6．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中：
①有3个不同的值；
②若，则与无关；
③若，则与无关；
④若，，则与的夹角为.
正确的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2 B．3 C． D．
8．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．对于向量，，，有
B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形
C．若，分别表示的面积，则
D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0
11．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
12．点O在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
E．若，则点O是的内心
F．若，则点O是的垂心
三、填空题
13．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 .
14．已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：
①；
②若，则；
③若，则；
④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．
其中所有真命题的序号为 ．
15．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 .
16．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 .
四、解答题
17．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
18．记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
19．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=
(1)试用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值
(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
20．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
21．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
22．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
