第10章 三角恒等变换 单元综合测试
一、单选题
1．对于任意，下列等式不能恒成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角的正余弦公式可判断AB，由切化弦的方法可判断C，取特殊值可判断D.
【解析】由二倍角的正弦公式可知A正确；
由可得，由二倍角的余弦公式可知B正确；
当时，由可知C正确；
当取时，左边，右边=，故D不正确a.
故选：D
2．在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值.
【解析】，
，
,
，（其中），
，
，当时等号成立.
的最大值为.
故选：A
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合所求式子的结构特征将分子 分母同时除以，得到，然后结合已知条件和二倍角公式 诱导公式进行求解.
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
【解析】，.
，
，，
，，
又因为，所以，
则，所以
.
.
故选：A
5．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可化简为，当时，恒成立，进而将问题转化为在单调递减，利用正弦函数的单调性即可求解.
【解析】
所以得，
进而，故，
由于对任意的，当时，，恒成立，
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以其中,解得，
故选：B
【点睛】关键点睛：等价变形给定不等式，构造函数借助单调性求解是解题的关键.
6．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
【解析】因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；
7．在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【解析】在中，，
记，则.因为，所以，从而，
所以可化为，
即，恒成立，所以依题有，
化简得，即得恒成立，又由，得或.
故选：A．
【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，属于较难题.
8．已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【解析】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式.
二、多选题
9．设锐角内部的一点O满足，且，则角A的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量的数量积，三角函数关系式的变换，三角函数的值的应用求出结果.
【解析】锐角内部的一点O满足，则O为的外接圆的圆心，
圆心O在内，设外接圆的半径为R，
因为，
所以，
从而，
即，
进而得，
即，
所以，
即，所以，
因为，所以或，所以或．
故选：AD．
10．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C．
D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】先化简函数，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【解析】因为
，
对A，令，则，即的单调增区间为，
则在上单调递增，故选项正确；
对B，图象向左平移个单位长度得到，
，故选项正确；
对C，由于，故选项错误；
对D，若函数在上至少有11个零点，
即与在上至少有11个交点，
令，则或，
即或，
由于函数一个周期由两个点函数值为，
则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确.
故选：ABD
11．已知，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】ACD
【分析】借助二倍角公式及两角和差公式化简，得到，再利用基本不等式得到其取值范围，从而得到答案.
【解析】因为
所以，
，
，
因为，所以，
所以，
，
，又，
所以，即，
所以
，
当时，，
当且仅当，即等号成立；
当时，，
即，当且仅当，即时的等号成立，
综上，，即，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：灵活变换，利用，两角和与差公式化简已知的等式是解本题的关键.
12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D.
【解析】由题知，，是的三个根，
可化为，即，
所以可得或，，
解得或，，
因为，所以或或，
故可取，，，
所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
，
故选项C正确；
而
，
根据积化和差公式：，
所以原式可化为：
，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：
（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；
（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简；
（3）积化和差公式：，，，.
三、填空题
13．记的内角，，，已知，求的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意得，进一步，，由此即可求解.
【解析】因为，
所以，
所以，，
，
又因为，解得，所以，
而单调递减，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，，由此即可顺利求解.
14．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.
【解析】因为为方程的两个实数根，，
所以，解得，或，
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故也不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得
，由方程有解，可知：
，即.
解得：，
则的最大值为.
故答案为：.
15．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时， ；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有 个．
【答案】 1012 4
【分析】（1），数形结合得到不等式，求出的取值范围，结合为正整数，所以；
（2）三角恒等变换，结合换元法得到，而，分三种情况，数形结合得到这样的正整数有4个.
【解析】（1）当时，，当时，，
要想在上恰有2024个零点，则，
解得，
因为为正整数，所以；
（2）由题意知，
令，此时，
而，
则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，
①当时，，其中无解，
对于，在内都有2个零点，
内都有4个零点，则或；
②当时，在有2个零点，在内有3个零点，
在内有5个零点，在内有6个零点，则需要个周期，
故；
③当时，因为，所以，
故当时，有，解得，
因为，，所以，
又，故，
则在内有4个零点，在内有8个零点，故；
综上所述，这样的正整数有4个，分别为，，或1012.
故答案为：1012；4
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
16．某种信号的波形可以用函数的图像来表达.则下列各结论正确的有 .
①最小正周期为；
②对称轴为，；
③在上有9个零点；
④值域.
【答案】①③
【分析】先化简得到，利用求出最小正周期；验证是否，满足来判断对称轴；解和，求出上的零点个数；结合，，，看能否同时取到，判断值域是否是.
【解析】因为，
所以
设的周期为，则，
即
则满足题意，故当时，为最小正周期，故①正确；
因为，
，
当时，，
，
则，此时满足题意；
当时，
，
显然此时，故对称轴不为，，②错误；
令，则或
由得：，所以，
因为，所以，
解得：，则，
由得：，或，
因为，所以或，
解得：，，
以上零点经检验，均不相同，综上：在上有9个零点，③正确；
由于，，，
故，且当时，等号成立，故最大值为3
但由于，当且时，不可能等于-1，故最小值不是-3，故④错误.
故答案为：①③
【点睛】对于三角函数性质问题，要通过三角恒等变换，得到相对来说熟悉的三角函数，进行求解.
四、解答题
17．已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同．
(1)求的单调递减区间；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且．
【答案】(1)，.
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，在结合最小正周期及对称性求出、，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可得，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理说明有且只有一个零点，且，从而得到，再结合函数的单调性证明即可.
【解析】（1）
，
因为函数最小正周期与函数相同，且函数的最小正周期为，
所以，解得.
又因为函数的图象关于直线对称，
所以，，即，，
因为，所以，
所以，
由，，解得，，
所以函数的单调递减区间是，.
（2）由（1）可得，定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时, 因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且.
因为，
所以，
所以，
在上单调递减，
，所以.
【点睛】思路点睛：证明函数的零点个数问题，通常是通过说明函数的单调性，再结合零点存在性定理证明.
18．已知函数，（其中，）
(1)当时，求函数的严格递增区间；
(2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）；
(3)若函数为常值函数，求的值.
【答案】(1)，；
(2)
(3).
【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可；
（2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可；
（3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可.
【解析】（1）当时，
由，，得，.
故的严格递增区间为，.
（2）由（1）可知，当时，，
则，
令，当时，则，所以，
则，即.
于是，
①当时，，当且仅当时，最大值为；
②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为，
综上所述，
（3）由函数为常值函数，令，则原式，
令，则原式（为正整数）；
令，则原式，即，
因为（为正整数），即为正奇数，所以，
即，则，
解得或，
又因为（为正整数），所以.
当时，原式为
.
所以当时，函数为常值函数.
【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可.
19．已知函数，其中．
(1)若，求的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.
【解析】（1）函数，
若，则与是相邻的最小值点和最大值点，
的最小正周期为，由，解得，得，
令，解得，此时，
所以的对称中心为.
（2），
，
，所以或
解得或，又， 得，
所以，函数最小正周期，
令，即，解得或，
若在上恰好有8个零点，则，
要使最小，则恰好为的零点，
的最小值为.
（3）由（2）知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则，
当， ，，则，
当，，，则，
由可得，又，解得，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点；
2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集.
20．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围；
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)或.
(2)
(3)当时，且；当时，.
【分析】（1）首先根据三角恒等变换化简得，则，根据即可解出的值；
（2）对不等式化简得，利用换元法再分离参数即可求出的范围；
（3）根据正弦函数的有界性结合题目条件解出，分和讨论即可.
【解析】（1）∵，
又∵，即，
∴或，
∵，∴或.
（2）
令，，，
∴，∴，，
即，
令，
设，，
任取，且，
则
，，，，
，即，
在上单调递减，，
∴，解得：.
（3）∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，成立，
在上的值域为，则在上的值域为，∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．
所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，,即，
当时，且；
当时，.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用正弦函数的值域以及函数定义域为时，函数左右平移不改变其值域的性质，再结合题目条件求出或，然后再分类讨论即可,
21．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)是
(3)
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
【解析】（1）根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
（2）若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为
22．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)，或，
【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解，
（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解，
（3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解.
【解析】（1）依题意得，；
（2）证明：由“余弦方差”定义得：
，
则分子
，
为定值，与的取值无关．
（3）分子
．
要使是一个与无关的定值，
则，
，
与终边关于轴对称或关于原点对称，
又，得与终边只能关于轴对称，
又
则当时，
当时，．
故，或，
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．
【点睛】关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简.第10章 三角恒等变换 单元综合测试
一、单选题
1．对于任意，下列等式不能恒成立的（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设锐角内部的一点O满足，且，则角A的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C．
D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
11．已知，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．8
12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．记的内角，，，已知，求的取值范围为 .
14．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
15．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时， ；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有 个．
16．某种信号的波形可以用函数的图像来表达.则下列各结论正确的有 .
①最小正周期为；
②对称轴为，；
③在上有9个零点；
④值域.
四、解答题
17．已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同．
(1)求的单调递减区间；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且．
18．已知函数，（其中，）
(1)当时，求函数的严格递增区间；
(2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）；
(3)若函数为常值函数，求的值.
19．已知函数，其中．
(1)若，求的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
20．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围；
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
22．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
