2.1等式性质与不等式性质 练习卷1（含解析）

等式性质与不等式性质1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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一、单选题
1．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，真命题的个数有（ ）
（1），，，，则；
（2），，，则；
（3），，，，则；
（4），，．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知a，b为实数，，则M是N的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
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二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用.后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．
10．下列推理正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（ ）
A． B．当时，，，，四点重合
C． D．
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三、填空题
12．已知，则 .（用“>”或“<”填空）
13．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号
14．不等式组的解集为 .
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四、解答题
15．已知a，b，x，y都是正实数，且，比较与的大小.
16．已知，比较与的大小.
17．已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
18．（1）设，证明：；
（2）已知实数满足，，求的取值范围.
19．（1）比较和的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.
【详解】，两边同乘以，，故A错误；
，，故B错误；
两边同乘以，，故C正确；
两边同乘以，，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】ABC可举出反例，D选项利用不等式的性质得到.
【详解】A选项，当时，，A错误；
B选项，当时，，B错误，
C选项，当时，，C错误；
D选项，∵，
∴，
∵，
由不等式性质可得，D正确，
故选：D．
3．B
【分析】利用不等式的基本性质可判断A，采用作差法逐一判断选项B,C,D的正误即可.
【详解】对于选项A：因为，，所以，故A不正确；
对于选项B：由于，因为，，所以，所以，即，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C不正确；
对于选项D：因为，所以，故D不正确.
故选：B.
4．B
【分析】通过反例可说明（1）（2）（4）均为假命题，根据不等式的性质可判断（3）为真命题，故可得正确的选项.
【详解】对于（1），取，则，故（1）为假命题.
对于（2），取，则，故（2）为假命题.
对于（3），因为，，由不等式的性质可得，
因为，故，故（3）为真命题.
对于（4），取，满足，，
但，故（4）为假命题.
所以4个命题中只有一个真命题，
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质，说明一个不等式成立， 利用不等式的性质加以证明，而说明一个不等式不成立，只需一个反例，本题属于基础题.
5．A
【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论.
【详解】若，则，即充分性成立，
令，则，即必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．A
【分析】由不等式的性质，结合充分必要条件的判定，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，因为a，b为实数，由，根据不等式的性质，可得a＜b，
反之，由a＜b，不一定有，如-3＜-2，而无意义．
所以M是N的充分不必要条件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
7．A
【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可.
【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确；
B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误；
C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误；
D项，若，当时，，故D错误.
故选：A.
8．C
【分析】对于A，B，D可以取特殊值验证，对于C，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故B错误；
对于C：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故C正确.
对于D：当，时不成立，故D错误；
故选：C.
9．BD
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】A. 当时，，故错误；
B.因为，所以，故正确；
C. 当，时，，故错误；
D. 因为，故正确；
故选：BD
10．BCD
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，
所以，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，
，
因为，
所以，
所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【解析】根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案.
【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确；
因为正方形的面积为，结合图形可知，且当α=b时，，，四点重合，故BD正确；
但是正方形的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C错误.
故选：ABD
【点睛】本题考查了，，的几何意义，利用图形可得到面积之间的关系，考查了数形结合思想，属于中档题.
12．>
【分析】利用作差法即得.
【详解】∵，
∴>.
故答案为：>
13．①
【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.
【详解】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件；
②当时， ；
③当，时，满足，有 ；
故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
14．
【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集.
【详解】记原不等式组为
解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≥－4.
故原不等式组的解集为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
15．
【分析】平方作差比较可得结论.
【详解】
，
所以，
当且仅当时，等号成立..
【点睛】本题考查了差值比较法，属于基础题.
16．
【分析】作差法，结合完全平方公式，即得解
【详解】由题意，
17．（1）；（2）．
【分析】（1）将代入不等式，满足不等式求解即可.
（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求出，将代入不等式求解即可.
【详解】（1）∵，∴，∴
（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得，解得，
∴不等式，即为：，
其解集为．
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.
18．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）利用差比较法，计算得，由此证明不等式成立.
（2）将转化为，结合不等式的性质，求得的取值范围.
【详解】（1）因为
而
（2）因为，，而，所以，
即.
【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查不等式性质的运用.
19．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）直接利用不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
因为，所以，
故．
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