2.2 基本不等式 练习卷1（含解析）

基本不等式1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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一、单选题
1．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．有下列式子：①②③④，其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设函数，若对任意的实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，且有，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
8．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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二、多选题
9．设，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值为9
C．的最小值为 D．的最大值为2
11．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
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三、填空题
12．已知正实数，，满足，则的最小值为 .
13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 .
14．已知，则的最小值为 .
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四、解答题
15．已知正数a，b满足a+3b=2
(1)求ab的最大值，写出取得最大值时a，b的值；
(2)求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.
16．若，且满足，求的最小值．
17．（1）已知，求的最小值﹔
（2）已知，，且，求的最小值.
18．（1）若a、b、m、，利用作差法证明：；
（2）求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．
19．设，求使取得最小值时的的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】A、B利用不等式的基本性质即可判断出；C利用指数函数的单调性即可判断出；D利用基本不等式的性质即可判断出.
【详解】A， ∵,∴ a > b >0,∴，错误；
B，∵,∴，错误；
C， ，错误；
D，，
又因为，，所以，正确，
故选：D.
2．B
【分析】由均值不等式可得答案.
【详解】因为，
由均值不等式可知：，当且仅当时取等号.
故选：B
【点睛】本题考查由均值不等式求最值问题，注意满足“一正二定三相等”，属于基础题.
3．C
【分析】由已知结合不等式的性质可以推理得到（1）不正确，（4）不正确，（3）正确；由基本不等式可判断（2）正确．
【详解】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；
因为，所以（3）正确；
都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．
故选：C
4．C
【分析】根据基本不等式逐项分析即得.
【详解】对于①，由，可得，故①不正确；
对于②，当时，(当且仅当时取“＝”)，当时，(当且仅当时取“＝”)，故②正确；
对于③，若，则，故③不正确；
对于④，(当且仅当，即时取“＝”)，故④正确；
所以正确的个数是2.
故选：C.
5．D
【分析】若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得答案．
【详解】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，
则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，
由对勾函数的图象和性质，可得
y＝x，（x≥2）在x＝2时，取最小值，
故m4，
即实数m的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质，熟练掌握对勾函数的图象和性质，是解答的关键．
6．B
【解析】由题设结合基本不等式可知，即，再结合不等式的性质可知结论.
【详解】，利用基本不等式知，
又，，
即，当且仅当时等号成立．
由不等式的同向可加性知：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，解答本题的关键是利用基本不等式转化已知条件得到，即，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，属于基础题.
7．B
【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
8．B
【分析】分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立.
所以.
故选：B
9．BD
【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可
【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，由已证得，当且仅当时等号成立，因为，，所以，当且仅当时等号成立.所以，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选:BD
10．ABC
【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当， 时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误．
故选：ABC．
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C.
【详解】因为，且，
对于A：，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，
当且仅当，即、时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当、时取等号，故C不正确；
对于D：，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】直接利用基本不等式由可得，再根据基本不等式，当且仅当时取等号，即可得到的最小值．
【详解】因为，即，所以
，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：．
13．
【分析】结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值.
【详解】，
所以三角形的面积
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
14．
【分析】利用乘“”法和基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则当且仅当，即取等号，
故答案为：
15．(1)的最大值为，此时
(2)的最小值为，此时
【分析】（1）利用基本不等式求得的最大值，并求得此时的值.
（2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时的值.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立.
（2）
，
当且仅当，即时等号成立.
16．
【分析】由 ，利用基本不等式可得，结合，从而可求解.
【详解】∵0＜a，b，c＜1，
∴，
∵
＝1
29
当且仅当取等号
∴
又∵
，
∴，
∴，
∴，
（当且仅当）时取等号，
故的最小值.
17．（1）；（2）
【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立
（2），
当且仅当，即，时等号成立.
18．（1）证明见解析；（2）最小值81，此时
【分析】（1）作差，然后通分运算，即可证明；
（2）根据，然后结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1） ∵a，b，m，
∴，又（当且仅当时取等号）
∴，即
（2）当时，
∴
当且仅当，即时取等号
即当时，取得最小值81
19．
【分析】将式子变形为，再根据基本不等式即可求出．
【详解】，
由于，所以，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
，
故最小值为4，且此时
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