2.2 基本不等式 练习卷2（含解析）

基本不等式2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．已知，则取得最小值时的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
2．下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象最低点横坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数，，，则的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
5．函数（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．最大值为，最小值为 D．无最值
6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
8．已知实数，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
评卷人得分
二、多选题
9．设正实数，满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为 D．的最小值为
10．下列各式中，最小值为2的有（ ）
A． B． C． D．
11．若正数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
三、填空题
12．的最大值为
13．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 .
14．已知正实数满足， 则 的最小值为 .
评卷人得分
四、解答题
15．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．
16．（1）当时，求的最大值；
（2）设，求函数的最小值.
17．已知正数，满足．
(1)求的最大值，并写出取最大值时，的取值；
(2)求的最小值，并写出取最小值时，的取值．
18．已知，且，求的最小值.
19．（1）已知，求函数的最大值．
（2）已知，，且，求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.
【详解】，则，当且仅当，即时等号成立.
故选：A
2．A
【分析】根据基本不等式，以及基本的应用条件一正二定三相等，即可判断．
【详解】对于A，ex＞0，所以ex+≥4，当且仅当x＝ln2时取等号，故A成立；
对于B，， ，当且仅当取等号，故B不成立；
对于C，当时，得，当且仅当取等号，
当时，得，，当且仅当取等号，故C不成立；
对于D， ，，得，当且仅当取等号，又，故D不成立.
故选：A
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握一正二定三相等，属于基础题．
3．B
【分析】利用基本不等式的方法求解即可.
【详解】.当且仅当时取得最小值,
即函数的图像最低点横坐标为.
故选：B
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最最小值的问题,属于基础题.
4．D
【分析】利用基本不等式计算可得答案.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故选：D.
5．C
【分析】由题意，分，，三种情况，利用基本不等式求最值，即可得出结果.
【详解】因为，
当时，；
当时，，且，
当且仅当，即时，等号成立；因此；
当时，，且，
当且仅当，即时，等号成立；因此；
综上，函数的值域为，
即函数有最大值，最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
6．D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
7．C
【分析】先判断是上的奇函数，可得，再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】因为，
所以，
可得：是上的奇函数，
因为，
所以，
所以，
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最小值，涉及奇函数的定义，属于中档题.
8．C
【分析】 ，化简后再利用基本不等式可求得其最小值
【详解】因为，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2，
故选：C
9．BD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则错误；
对于选项，，当且仅当时取等号，则正确；
对于选项，，当且仅当时取等号，即，则错误；
对于选项， ，即，当且仅当时取等号，则正确．
故选：．
10．AC
【解析】选项ABC直接利用基本不等式求解判断；选项D用对勾函数的性质求解判断；
【详解】A. ，当且仅当，即 时取等号，所以其最小值为2，故正确；
B. ，当且仅当 ，即时取等号，所以求最大值为-2，无最小值，故错误；
C. ，当且仅当，即时，取等号，所以求最小值为2，故正确；
D. 由，令 ，则函数在 递增，所以 ，故其最小值为，故错误；
故选：AC
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及对勾函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
12．
【分析】由题意得，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】因为，所以 ，
由均值不等式可得： ，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
13．
【分析】利用基本不等式，分类讨论与即可得解.
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，显然；
综上，，所以，即实数的最小值为.
故答案为：.
14．4
【分析】由，得到，从而 ，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为正实数满足，
所以 ，
则，
，
，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4
15．长为，宽为时，菜地的面积最大值为
【解析】设矩形菜地的长为，宽为，则，由此利用基本不等式，求得的最大值，，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.
【详解】设矩形菜地的长为，宽为，由题意可知．
由均值不等式，得，即，当且仅当时，等号成立．
故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【解析】（1），利用基本不等式求解.
（2）设 ， ,利用基本不等式求解.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为.
（2）由题意，设 ，则，
则 ，
，
当且仅当时，即时，即时取等号，
所以函数的最小值为.
17．(1)的最大值为，取最大值时
(2)的最小值为，取最小值时
【分析】（1）根据基本不等式求解即可；
（2）根据，展开根据基本不等式求最小值即可.
【详解】（1）因为，为正数，故，即，，
当且仅当时取等号，此时的最大值为.
（2），
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为，此时.
18．
【分析】首先利用条件变形，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】解：因为，且，
所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
19．（1）；（2）．
【分析】（1），再利用基本不等式求最大值即可．
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解．
【详解】（1）已知，则，，
当且仅当，即时等号成立，
则，
得的最大值为．
（2）已知,，，
故有
，
当且仅当且，即，时等号成立，
综上，的最小值为．
答案第1页，共2页
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