2024北京人大附中高一（下）统练一数学（PDF版含解析）

统练一
一、单选题
1．（2004·安徽·高考真题）已知集合M = a a = (1,2)+ 1 (3,4) , 1 R ，
N = a a = ( 2, 2)+ 2 (4,5) , 2 R ，则M N 等于（ ）
A． (1,1) B． (1,1) ,( 2, 2) C． ( 2, 2) D．
【答案】C
【解析】令 (1,2)+ 1 (3,4) = ( 2, 2)+ 2 (4,5)，由此可构造方程组求得 1, 2 ，代入可得
交点坐标，即为所求结果.
【详解】令 (1,2)+ 1 (3,4) = ( 2, 2)+ 2 (4,5)，即 (1+ 3 1,2 + 4 1) = ( 2 + 4 2, 2 + 5 2 )
1+3 1 = 2+ 4 1 = 12
，解得： M N = ( 2, 2)
2+ 4 1 = 2+ 5 2 2 = 0
故选：C
【点睛】本题考查集合交集的求解问题，关键是能够明确交集的定义，利用坐标相等构
造方程组求得结果.
2．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，
用基底 a,b 表示 c，则（ ）
A． c = 2a 3b B． c = 2a 3b C． c = 3a + 2b D．c = 3a 2b
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、b 和 c ，并设c = ma + nb ，联立方程组求
出m和n即可.
【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为 1，
则 A(1,0),B(2,1),C (0,4), D(7,1)
所以 a = (1,1)，b = ( 2,3)， c = (7, 3)，设向量c = ma + nb ，
则 c = ma + nb = (m 2n,m + 3n) = (7, 3)
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m 2n = 7 m = 3
则 ，
m+3n = 3 n = 2
所以 c = 3a 2b .
故选：D
3．（2006·山东·高考真题）设向量a = (1, 3),b = ( 2,4),c = ( 1, 2)，若表示向量
4a,4b 2c,2(a c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ）
A． (2,6) B． ( 2,6) C． (2, 6) D． ( 2, 6)
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.
【详解】由题可知：4a + 4b 2c + 2a 2c + d = 0，
即 d = 6a 4b + 4c = ( 6,18)+ (8, 16)+ ( 4, 8) = ( 2, 6) .
故选：D.
4．（2023·北京海淀·统考二模）已知a，b 是平面内两个非零向量，那么“ a∥b ”是“存在
0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若a∥b ，则存在唯一的实数 0，使得 a = b ，故 a + b = b+ b = + b ，
而 | a | + | b | = | b | + | b | = ( + ) b ，
存在 使得 + = + 成立，所以“ a∥b ”是“存在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”
的充分条件，
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若 0且 | a + b |=| a | + | b |，则 a 与 b方向相同，故此时a∥b ，所以“ a∥b ”是“存
在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的必要条件，
故“ a∥b ”是“存在 0，使得 | a + b |=| a | + | b | ”的充分必要条件，
故选：C
5．（2024 上·湖南常德·高三统考期末）党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社
会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，
预计2023年人均增加1000元收入，以后每年将在此基础上以10% 的增长率增长，则该
企业每年人均增加收入开始超过3000 元的年份大约是（ ）
（参考数据： ln 3 1.10， ln10 2.30， ln11 2.40 ）
A． 2030年 B． 2032年 C．2033年 D．2035年
【答案】D

【分析】从2023年起，第n (n N )该企业人均增加收入超过3000 元，求出第n年的人
均增加收入，可得出关于n的不等式，解之即可.

【详解】从2023年起，第n (n N )该企业人均增加收入超过3000 元，
因为从2023年起，每年将在此基础上以10% 的增长率增长，
所以，第n年该企业的人均增加收入为1000 1.1n 元，由1000 1.1n 3000，即1.1n 3，
ln 3 ln 3 1.10
可得 ln1.1n = n ln1.1 ln3，所以，n = =11，
ln1.1 ln11 ln10 2.40 2.30
故 2023+12 = 2035年开始，该企业每年人均增加收入开始超过3000 元.
故选：D.
1 1
6．（2019·北京西城·三模）如图，设 P 为 ABC内一点，且 AP = AB + AC，则 ABP
3 4
与 ABC的面积之比为
1 1
A． B．
4 3
2 1
C． D．
3 6
【答案】A
【分析】作 PD / / AC 交 AB 于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出S ADP 与
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S ABC 的比例，再由 S ADP 与 S APB 的比例，可得到结果.
【详解】如图，作 PD / / AC 交 AB 于点D，
1 1
则 AP = AD+DP，由题意， AD = AB ，DP = AC ，且 ADP+ CAB =180 ，
3 4
1 1 1 1 1
所以S ADP = | AD || DP | sin ADP = | AB | | AC | sin CAB = S ABC
2 2 3 4 12
1 1 S APB 1
又 AD = AB ，所以，S = APB = 3S ADP = S ABC ，即 ，
3 4 S ABC 4
所以本题答案为 A.
【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅
助线是本题的关键.
7．（2023·北京朝阳·二模）在 ABC 中，M，N分别是 AB，AC的中点，若
AB = CM + BN ( , R) ，则 + =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】将CM , BN 分别用 AB, AC 表示，根据平面向量基本定理即可求解.
1 1
【详解】CM = AM AC = AB AC , BN = AN AB = AC AB ,
2 2
1 1
故 AB = CM + BN = AB AC + AC AB
2 2
1 1
= AB + ，
2 2
1 2
=1 = 2 3
故 ，解得 .
1 4 = 0 =
2 3
2 4
所以 + = = 2 .
3 3
故选:A.
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8．（2003·天津·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动
AB AC
点 P满足OP =OA+ + ， [0,+ )，则 P的轨迹一定通过 ABC 的（ ）
| AB | | AC |
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
AB AC AB AC
【分析】根据 + 是以A 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对
| AB | | AC | | AB | | AC |
应的向量，可知 P 点轨迹，据此可求解.
AB AC
【详解】 OP OA = AP， AP = ( + )
| AB | | AC |
AB AC
令 + = AM ，
| AB | | AC |
AB AC
则 AM 是以A 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
| AB | | AC |
→
即 AM 在 BAC 的平分线上，
AP = AM ， AP, AM 共线，
故点 P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
9．（2022 上·全国·高三校联考阶段练习）在平行四边形 ABCD中，BE = 2ED，

AF = AC + 2AB，若EF = AB+ AD( , R)，则 =（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
8 1
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得EF = AB + AD，从而得解.
3 3
【详解】 AF = AC + 2AB = AB + AD + 2AB = 3AB + AD ，
AE = AB + BE = AB + 2ED = AB + 2(AD AE)，
2 1
AE = AD + AB，
3 3
2 1 8 1
EF = AF AE = 3AB + AD AD AB = AB + AD，
3 3 3 3
EF = AB + AD ，
8 1
= ， = ， = 8．
3 3
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故选：D．
10．（2013·广东·高考真题）设a是已知的平面向量且a 0，关于向量a 的分解，有如
下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使 a = b + c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数 和 ，使a = b + c ；
③给定单位向量b 和正数 ，总存在单位向量c 和实数 ，使a = b + c ；
④给定正数 和 ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a = b + c ；
上述命题中的向量b ， c 和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定
理，易知正确；以a的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一
定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，
即必须 b + c = + a ，所以④是假命题．综上，本题选 B．
考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．
二、填空题
11．（2008·浙江·高考真题）已知a 0，若平面内三点 A（1， a），B（2，a2 ），C（3，
a3 ）共线，则a= ．
【答案】1+ 2 / 2 +1
【详解】 AB = (1,a2 3 2+ a)，BC = (1,a a ) ，
a2 + a = a3 a2 (a 0) a2 2a 1= 0, a =1+ 2 (舍负)．
故答案为：1+ 2 .
12．（2011·湖南·高考真题）设向量a,b 满足 a = 2 5,b = (2,1),且a与b 的方向相反，则 a
的坐标为 ．
【答案】 ( 4, 2)
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x 20 + y
2
0 = (2 5)
2
x0 = 4 x0 = 4
【详解】设a的坐标为 (x0 , y0 )，则{ x y , 解得{ 或{ ，又a 与b0 = 0 y = 2 y0 = 20
2 1
的方向相反，所以，a的坐标为 ( 4, 2) .
考点：平面向量的坐标运算，平面向量的模，共线向量.
13．（2019·北京朝阳·校联考一模）在平面内，点A 是定点，动点 B ，C 满足 | AB = AC | =1，
AB AC = 0，则集合{P | AP = AB + AC,1 2}所表示的区域的面积是 .
【答案】3
【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，根据 AB AC = 0设出B,C 两点的坐标，利用
向量运算求得 P 点的坐标，化简后可求得 P 点的轨迹也即 P 表示的区域，由此计算出区
域的面积.
【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系，由于 | AB = AC | =1，AB AC = 0，即 AB ⊥ AC ,
π π
故设B (cos ,sin ) ,C cos + ,sin + ，即C ( sin ,cos )，设P (x, y)，由
2 2
AP = AB + AC 得 (x, y) = ( cos sin , sin + cos )，即
x = cos sin , y = sin + cos ，则 x2 + y2 = 2 +1，故 P 表示的是原点在圆心，半
径为 2 +1的圆，由于1 2，故 P 点所表示的区域是圆心在原点，半径为 2, 5 的
两个圆之间的扇环，故面积为π 5 π 2 = 3π .
【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与
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转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.
14．（2020 上·浙江台州·高三统考期末）如图，已知正方形 ABCD，点 E，F分别为线段
BC ，CD上的动点，且 BE = 2 CF ，设 AC = xAE + yAF（x， y R ），则 x + y 的最大
值为 .
2 +1
【答案】
2
【分析】设边长为 1， CF = a，建立直角坐标系，求得 AC, AE, AF 的坐标，根据题设
用 a表示出 x + y ，再利用函数的性质，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为 1， CF = a，
则 A(0,0),C(1,1), E(1,2a), F(1 a,1)，可得 AC = (1,1), AE = (1,2a), AF = (1 a,1)，
由 AC = xAE + yAF , (x, y R) ，
x + (1 a)y =1 a 1 2a 1
可得 ，解得 x = , y = (其中0 a ) ，
2ax + y =1 2a
2 2a +1 2a2 2a +1 2
1 a
所以 x + y = 2 ， 2a 2a +1
t 1 1 2 +1
1 x + y = = =
令 t =1 a [ ,1]，则 2t2 2t +1 1 2 2 2 2 ， 2 2t + 2
t
2 2
当且仅当 t = 时，即a =1 时取等号，
2 2
所以 x + y
2 +1
的最大值为 ．
2
2 +1
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式
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求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，
着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
15．（2022·北京顺义·统考二模）向量集合S = a a = (x, y) , x, y R ，对于任意a ，b S ，
以及任意 0,1 ，都有 a + (1 )b S ，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
2
①集合M = a a = (x, y) , y x 是“凸集”；
② 若S为“凸集”，则集合N = 2a a S 也是“凸集”；
③若 A1, A2 都是“凸集”，则 A1 A2也是“凸集”；
④若 A , A A A1 2 都是“凸集”，且交集非空，则 1 2也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】理解新定义，对结论逐一判断
【详解】由题意得，若对于任意OA,OB S ，线段 AB 上任意一点C ，都有OC S ，则
集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析
2 2 2
对于①，M = a a = (x, y) , y x ，若对于任意 A(x1, y1), B(x2 , y2 )满足 y1 x1 , y2 x2 ，
则OA M ,OB M ，
2
由函数 y x2 的图象知，对线段 AB 上任意一点C(x3, y3)，都有 y3 x3 ，即OC M ，故
M 为“凸集”，①正确
对于②，若S为“凸集”，则对于任意 , N ，此时 = 2a, = 2b，其中a,b S
对于任意 0,1 ， + (1 ) = 2( a + (1 )b) N ，故N 为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若 A1 ={a | a = (x, y), y = x}， A2 ={a | a = (x, y), y = x}
易知 A1, A2 都是“凸集”，而 A1 A2不是“凸集”，故③错误
对于④，若 A1, A2 都是“凸集”， 则对于任意 , A 0,11 A2，任意
则 + (1 ) A1，且 + (1 ) A2，
故 + (1 ) A1 A A A2 ，故 1 2也是“凸集”
故答案为：①②④
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三、解答题
16（．2021上·高一单元测试）已知e ，e AB = 2e + e1 2 是平面内两个不共线的非零向量， 1 2 ，
BE = e1 + e A 2 ，EC = 2e1 + e2 ，且 ，E ，C 三点共线．
(1)求实数 的值；
(2)若e1 = (2,1)，e2 = (2, 2)，求 BC 的坐标；
(3)已知D (3,5)，在（2）的条件下，若四边形 ABCD是平行四边形，求点A 的坐标．
3
【答案】(1) =
2
(2) ( 7, 2)
(3) (10,7) .
【分析】（1）利用向量线性运算以及向量共线定理求解；
（2）利用向量的坐标运算求解；
（3）利用共线向量的坐标运算求解.
【详解】（1） AE = AB + BE = (2e1 + e2 )+ ( e1 + e2 ) = e1 + (1+ )e2 ．
因为A ， E ，C 三点共线，
所以存在实数 k ，使得 AE = kEC ，
即 e1 + (1+ )e2 = k ( 2e1 + e2 )，得(1+ 2k )e1 = (k 1 )e2 ．
因为e1 ， e2 是平面内两个不共线的非零向量，
1+ 2k = 0 1 3
所以 ，解得 k = ， = ．
k 1 = 0 2 2
3 1
（2）BC = BE + EC = e1 e2 2e1 + e2 = 3e1 e2 = ( 6, 3)+ ( 1,1) = ( 7, 2)．
2 2
（3）因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AD = BC ,
设 A(x, y)，则 AD = (3 x,5 y)，
因为BC = ( 7, 2)，
3 x = 7 x =10
所以 ，解得 ，
5 y = 2 y = 7
即点A 的坐标为 (10,7)．
17．（2023 上·北京·高一校考期末）如图所示，在 ABC 中，点D是边BC 的中点，点E
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是线段 AD靠近A 的三等分点.过点E 的直线与边 AB, AC 分别交于点P,Q .设
PB = AP,QC = AQ ，其中 , 0 .
(1)试用 AD与 BC 表示 AB AC ，写出过程；
(2)求证： + 为定值，并求此定值.
1 1
【答案】(1) AB=AD BC ， AC=AD + BC
2 2
(2) + = 4
【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；
（2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案.
【详解】（1）因为点D是边BC 的中点，所以
1 1
AB=AD+DB = AD+ CB = AD BC ，
2 2
1
AC=AD +DC = AD + BC ；
2
（2）因为PB = AP,QC = AQ ，所以(1+ ) AP = AB,(1+ ) AQ = AC ，
1
因为 AD = (AB + AC )，
2
1 1 +1 +1
所以 AE = AD = (AB + AC ) = AP + AQ，
3 6 6 6
+1 +1
因为P、E、Q三点共线，所以 + =1，
6 6
可得 + = 4为定值.
18．（2019 下·北京东城·高一北京五十五中校考期中）已知集合
Sn = X X = (x1, x2 , xn ), x *i N , i =1,2, n (n 2) .对于
A = (a1,a2 , ,an ) , B = (b1,b2 , ,bn ) Sn ，给出如下定义：①
AB = (b a ,b a , ,b a )；② (a1,a2 , ,an ) = ( a1, a2, , a1 1 2 2 n n n ) ( R) ；③A与 B
n
之间的距离为d (A, B) = ai bi .说明： (a1,a2 , ,an ) = (b1,b2, ,bn )的充要条件是
i=1
ai = bi (i =1,2, ,n) .
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(1)当n = 5时，设 A = (1,2,1,2,5), B = (2,4,2,1,3) ，求d (A, B)；
(2)若 A, B,C Sn，且存在 0，使得 AB = BC ，求证：d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)；
(3)记 I = (1,1, ,1) S .若 A, B S ，且d(I , A) = d(I ,B) =13，求d (A, B)20 20 的最大值.
【答案】(1) d(A, B) = 7
(2)见解析
(3)26
n
【分析】（1）当n = 5 时，直接利用d (A, B) = a b d (A, B)i i 求得 的值
i=1
（2）设 A = a1,a2 , an , B = b1,b2 , bn ,C = c1,c2 cn ，则由题意可得
0 ，使得b b ai ai = (ci bi ) ，其中 i =1,2, n，得出 i i 与ci bi 同为非负数或同
为负数，由此计算d(A,B) + d(B,C) 的结果，计算d(A,C) 的结果，从而得出结论
（3）设bi ai (i =1,2 ,20) 中有m(m 20) 项为非负数，20 m 项为负数
不妨设 i =1,2 m 时，bi ai 0 ， i =m+1,m+ 2, ,20 时，bi ai 0
20 20
利用d(I , A) = d(I ,B) =13，得到 ai = bi
i=1 i=1
20
得到d (A, B) = b i ai = 2 b1 +b2 + +bm (a1 + a2 + + am )
i=1
求出a1 + a2 + + am m ，b1 + b2 + + bm 13+m ，即可得到d (A, B) 的最大值
得到d(A, B) 26，再验证得到成立的条件即可；
n
【详解】（1）解：由于d (A, B) = ai bi ， A = (1,2,1,2,5), B = (2,4,2,1,3)
i=1
则 d(A, B) = 1 2 + 2 4 + 1 2 + 2 1 + 5 3 = 7
故 d(A, B) = 7
（2）解：设 A = a1,a2 , an , B = b1,b2 , bn ,C = c1,c2 cn
0, 使 AB = BC ，
0, 使得： (b1 a1,b2 a2 , bn an ) = (c1 b1,c2 b2 cn bn )，
0 ，使得bi ai = (ci bi ) ，其中 i =1,2, n ，
bi ai 与 ci bi (i =1,2, n) 同为非负数或同为负数，
bi ai + ci bi = c i ai
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n n n n
d (A, B)+ d (B,C) = ai bi + bi ci = ( bi ai + ci bi ) = ci ai = d (A,C)，故
i=1 i=1 i=1 i=1
得证；
20
（3）解：d (A, B) = bi ai
i=1
设bi ai (i =1,2 ,20) 中有m(m 20) 项为非负数，20 m 项为负数
不妨设 i =1,2 m 时，bi ai 0
i =m+1,m+ 2, ,20 时，bi ai 0
20
所以d (A, B) = bi ai
i=1
= [(b1 +b2 + + bm ) (a1 + a2 + + am )]+ [(am+1 + am+2 + a20 ) (bm+1 +bm+2 + b20 )]
d(I , A) = d(I ,B) =13
20 20 20 20
(ai 1) = (bi 1) ，整理得 ai = bi
i=1 i=1 i=1 i=1
20
d (A, B) = bi ai
i=1
= (bi + b2 + + bm ) (a1 + a2 + + am ) + (am+1 + am+2 + + a20 ) (bm+1 + bm+2 + + b20 )
= 2[b1 +b2 + + bm (a1 + a2 + + am )]
b1 +b2 + +bm = (b1 + b2 + + b20 ) (bm+1 + bm+2 + + b20 )
(13+ 20) (20 m) 1=13+m
又 a1 + a2 + + am m 1= m
d (A, B) = 2[b1 +b2 + +bm (a1 + a2 + + am )] 2[(13+m) m] = 26
即 d(A, B) 26
对于 A = (1,1,1, ,14), B = (14,1,1, 1)
有 A, B S20 ，且d(I , A) = d(I ,B) =13
d(A, B) = 26
综上所得， d (A, B)的最大值为26
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