2024年北京一六六中高二（下）期中数学（PDF版含答案）

2023-2024 学年北京市一六六中学高二数学期中考试答案
1-5 CBDAA 6-10 BCDCD
11、 -5 12、（0，e-1） 13、-1 （a≤0 即可） 14、36 15、 ①④
16、（1）平均分为 69；
（2）分布列见解析，数学期望为 ．
【解答】解：（1）男生打的平均分为：
，
观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故 ．
（2）因为打分在 80 分以上的有 3 女 2 男，
所以 X的可能取值为 1，2，3，
， ， ，
所以 X的分布列为：
X 1 2 3
P
．
17、（1）﹣2；
（2）当 时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝lnx+x2﹣3x，
，
当 或 x＞1 时，f′（x）＞0，当 时，f′（x）＜0，
所以函数 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 f（x）的极小值为 f（1）＝﹣2；
（2） ，
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令 f′（x）＝0，得 ，
当 时，f′（x）≥0，则函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当 时，0＜x＜a或 时，f′（x）＞0， 时，f′（x）＜0，
所以 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 或 x＞a时，f′（x）＞0， 时，f′（x）＜0，
所以 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ；
（3）证明：由（2）得当 时，
f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 f（x）的极大值为 f（a）＝alna﹣a2﹣a＝a（lna﹣a﹣1），
极小值为 ，
令 ，则 ，
所以 g（x）在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时，f（a）＝a（lna﹣a﹣1）＜0，
又当 x→0 时，f（x）→﹣∞，当 x→+∞时，f（x）→+∞，
如图，作出函数 f（x）的大致图象，
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由图可得函数 f（x）有且仅有一个零点．
18、（1） ；
（2）分布列见解析，期望 ；
（3）青年人．
【解答】解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为 A，
样本总人数为 500 人，其中对酸奶满意人数为 100+120+150＝370 人，
所以 ；
（2）用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率 ，
X的取值为 0，1，2，3， ，
，
，
，
，
所以 X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望是 ．
（3）青年人，
青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高 0.1，则人数提高最多，则整体对
鲜奶的满意度会大幅提高．
19、见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意 ，
解得： ， ，
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故椭圆 C的标准方程为 ；
（Ⅱ）根据题意，假设直线 TP或 TQ的斜率不存在，则 P点或 Q点的坐标为（2，﹣1），
直线 l的方程为 ，即 ．
联立方程 ，得 x2﹣4x+4＝0，
此时，直线 l与椭圆 C相切，不合题意．
故直线 TP和 TQ的斜率存在．
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线 ，
直线
故 ，
由直线 ，设直线 （t≠0）
联立方程，
当Δ＞0 时，x1+x2＝﹣2t， ，
|OM|+|ON|＝ ＝ ＝
＝ ＝4．
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20、（Ⅰ）2+2e；
（Ⅱ）f（x）在（﹣1，0）上单调递减，（﹣∞，﹣1）上单调递增；
（Ⅲ）﹣ ．
【解答】解：（Ⅰ） ＝x+lnx+xex，
f'（x）＝1+ +（x+1）ex，
f'（1）＝2+2e．
所以曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为 2+2e．
（Ⅱ）f（x）＝x+ln（﹣x）﹣xex的定义域为（﹣∞，0），
f'（x）＝1+ ﹣（x+1）ex＝（1+x）（ ﹣ex），
当 x＜﹣1 时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜0 时，f'（x）＜0，
所以 f（x）在（﹣1，0）上单调递减，（﹣∞，﹣1）上单调递增．
（Ⅲ）若 a＞0 时，函数 的值域为 R，不合题意；
所以 a＜0，f（x）的定义域为（﹣∞，0），
f'（x）＝1+ + （x+1）ex＝（1+x）（ + ex）＝0，得 x＝﹣1，
当 x＜﹣1 时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜0 时，f'（x）＜0，
所以 f（x）在（﹣1，0）上单调递减，（﹣∞，﹣1）上单调递增．
所以 f（x）max＝f（﹣1）＝﹣1+ln（﹣a）﹣ ，
因为集合{x|f（x）≥﹣1}有且只有一个元素，
所以﹣1+ln（﹣a）﹣ ＝﹣1，解得 a＝﹣ ．
所以 a＝﹣ ．
21、（1）数列 A4具有性质 P，数列 A5不具有性质 P；
（2）m＝14 或 m＝15；
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（3）存在，4045；一个满足条件的数列 A2024：1，3，5，…，4043，4047，4045．
【解答】解：（1）①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有 4，6，8，10，12 共 5 个，而 a4＝5，所以
具有性质 P，
②A5：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有 6，10，12，18，20，24，34，36，40，48 共 10 个，而
a5＝32，所以不具有性质 P，
（2）对于数列 A6：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有 15 个，所以 m≤15．而 A5：
2，4，8，16，32 中任意两项和的结果有 10 个，且全是偶数，
（i）当 m为奇数时，ai+m（1≤i≤5）都是奇数，与前 5 项中任意两项和的值均不相同，
则 A6：2，4，8，16，32，m中所有 ai+aj（1≤i＜j≤6）的值共有 15 个，所以 m＝15，
（ii）当 m为偶数时，ai+m（1≤i≤5）都是偶数，所以 10≤m＜15，
所以 m∈{10，12，14}，
m＝10 时，10+32＝42 在前 5 项中任两项和的结果中未出现，
所以 A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于 10，即 m＞10，矛盾，
m＝12 时，12+32＝44，12+16＝28，12+2＝14 这三个结果在前 5 项中任意两项和的结果中未出现，
所以 A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于 12，即 m＞12，矛盾，
m＝14 时，A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值有 6，10，12，16，18，20，22，24，30，
34，36，40，46，48 共 14 个，成立，
综上，m＝14 或 m＝15；
（3）a2024存在最小值，且最小值为 4045，
将 A2024的项从小到大排列构成新数列 B2024：b1，b2， ，b2024，
所以 b1+b2＜b1+b3＜ ＜b1+b2024＜b2+b2024＜ ＜b2023+b2024，
所以 bi+bj（1≤i＜j≤2024）的值至少有 2023+2022＝4045 个，
即 ai+aj（1≤i＜j≤2024）的值至少有 4045 个，即 a2024≥4045，
数列 A2024：1，3，5，…，4043，4047，4045 符合条件，
A2024：1，3，5，…，4043，4047，4045 可重排成等差数列 B2024：1，3，5，…，4045，4047，
考虑 bi+bj（1≤i＜j≤2024），根据等差数列的性质，
当 i+j≤2024 时，bi+bj＝b1+bi+j﹣1；当 i+j＞2024 时，bi+bj＝bi+j﹣n+bn，
因此每个 bi+bj（1≤i＜j≤2024）等于 b1+bk（2≤k≤2024）中的一个，
或者等于 bl+b2024（1≤l≤2023）中的一个，
所以 B2024：1，3，5，…，4045，4047 中 bi+bj（1≤i＜j≤2024）共有 4045 个不同值，
即 A2024：1，3，5，…，4043，4047，4045 中 ai+aj（1≤i＜j≤2024）共有 4045 个不同值，
综上，a2024的最小值是 4045，一个满足条件的数列 A2024：1，3，5，…，4043，4047，4045．
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