2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-08几何综合压轴之旋转翻折类专题（含答案）

25题专题复习讲义
主题：08几何综合压轴之旋转翻折类专题
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题型一：半角模型 【例1】【2023年黄浦25】如图10，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点M、N是边AB、AD上的动点，且∠MCN=∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交于点P、Q. （1）求sin∠MCN的值； （2）当DN=DC时，求∠CNM的度数； （3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置. 【答案】（1）联结AC，由AB=AD，CB=CD，AC=AC，得△ABC≌△ADC， 即∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN.于是在△ABC中，∠ABC=90°，， 则sin∠ACB，即sin∠MCN. （2）在△CDN中，∠CDN=90°，DN=DC，可得∠DNC=∠DCN=45°. 作∠BCS=∠NCD交边AB的延长线于点S.又CB=CD，∠CBS=∠CDN=90°，得△CBS≌△CDN. 得CS=CN，∠CSB=∠CND.于是∠MCS=∠MCB+∠BCS=∠MCB+∠DCN=∠BCD=∠MCN， 又CM=CM，所以△MCS≌△MCN，得∠CNM=∠MSC=∠CND=45°. （3）不变.易知∠ADB=∠ACD=∠MCN，由（2）知∠CNM=∠CND， 得∠CMN=∠DQN=CQP，又∠MCN=∠PCQ，得△CNM∽△CPQ，则△CSM∽△CPQ. 设AC与BD的交点为H，易知CH⊥PQ，又CB⊥MS，所以. 在△BCH中，∠BHC=90°，sin∠HCB，易知cos∠HCB，即. 【例2】【2024黄浦二模25】已知：Rt△ABC斜边AB上点D、E，满足∠DCE=45°. （1）如图1，当AC=1，BC=，且点D与A重合时，求线段B E的长； （2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2； （3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域. （图1） （图2） （图3） 【答案】解：（1）过点E作EH⊥BC于H.———————————————————（1分） ∵∠ACB=90°，∠ACE=45°，∴∠BCE=45°.又AC=1，BC=，∴.————（1分） 在△CEH中，∠CHE=90°，∠HCE=45°，令CH=EH=x， 则在△BEH中，BH=，BE=2x. 于是，——（1分） ∴BE=.—————（1分） （2）∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB. 将△BCE绕点C旋转90°到△ACF处，联结DF.（如图）——————（1分） 则∠DCF=∠DCA+∠ACF=∠DCA+∠BCE=90°-45°=45°=∠DCE.——（1分） 又CE=CF，CD=CD. ∴△DCE≌△CDF，———————————————（1分）∴DE=DF. 于是在△ADF中，∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°+45°=90°.————————————（1分） ∴， 即.—————————————————————（1分） （3）将△ACD绕点C旋转90°到△QCP处，点Q恰好在边BC上，联结PE，并延长PQ交边AB于点T.（如图）同（2），易证△ECD≌△ECP，得DE=EP. 又∠B+∠BQT=∠B+∠PQC=∠B+∠A=90°，∴∠BTQ=90°. 又BQ=BC-CQ=BC-AC=1. ———（1分） 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则AB=5，，. 于是在△BTQ中，得，.————（1分） 所以在△PET中，∠PTE=90°，PE=DE=，TE=，PT=， 有，即，—（1分） 解得：————（2分） 【变式1】【2023浦东二模】（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分，第（3）、（4）小题各4分） 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°. （1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想. （2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围. （3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系. （4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由. 【答案】（1）猜想：EF=BE+DF. ……………………（1分） 证明：将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′， 易知点F′、B、E在一直线上.图1. ………（1分） ∵AF′=AF， ∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF， 又 AE=AE， ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ∴EF=F′E=BE+DF. ……………………（1分） （2）由（1）得 EF=x+y 又 CF=1-y，EC=1-x， ∴ .…………（1分） 化简可得 .………（1+1分） （3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；………（1分） ②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在. ③当点E在BC延长线上时，将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，图2. 有 AF′=AF，∠1=∠2，，∴∠F′AF=90°. ∴ ∠F′AE=∠EAF=45°. 又 AE=AE， ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ……………（1分） ∴ .…（1分） ∴此时⊙E与⊙F内切. ……………（1分） 综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切； 当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切. （4）⊿EGF与⊿EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可. 这时有 CF=CE. …………………（1分） 设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x- y. 由 ，得 . 化简可得 . ……………………（1分） 又由 EC=FC，得 ，即，化简得 ，解之得 ……………………（1分） （不符题意，舍去）. ……………………（1分） ∴所求BE的长为. 【变式2】【2024宝山二模】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点D、E在边AB上，∠DCE=45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD. 求证：； 当AC = 3， AD =2 BD时，求的长； 过点M作射线CD的垂线，垂足为点F. 设， ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域. 【答案】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC = BC，∠DCE=45°,∴ ∠B =∠DCE = 45°. 又∵∠BEC =∠CED, ∴△BEC ∽ △CED . ∴ , ∴. （2）∵∠ACD = 45°+∠ACE =∠BEC∠B =∠BAC∴△BEC ∽ △ACD .∴. 又AC = BC =3 ，∠ACB=90°， ∴. ∵ AD =2 BD，∴,.可得，∴ （3）延长BC交MA延长线于点G. ∵MA⊥AB，∠B = 45°， 可得∠G =∠B= ∠DCE. 又∵∠MCB=∠B +∠BCD， ∠MCB=∠G +∠GMC， ∴∠GMC=∠BCD. ∴△BCD∽△GMC . ∴，∴. ∵∠B =∠DCM = 45°， ∴△BCD∽△CMD. ∵ MF⊥FC，∴. ∴， ∴. ∴tan∠FMD=， . 题型二：翻折类 【例1】【2023青浦一模】在△ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP． （1）求证：PQ⊥AB； （2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长； （3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围． 【答案】（1）∵∠C= 90°，AC=2，BC=，∴AB=．∴． ∵BQ=BP，∴．∴． 又∵∠B=∠B，∴△BQP ∽△BCA． ∴∠BQP=∠BCA．∵∠C= 90°，∴∠BQP=90°．即PQ⊥AB． （2）（i）当∠PQD=90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在． （ii）当∠QPD=90°时， ∵∠PQB=∠QPD=90°，∴AB∥PD，∴． ∵CD=DA， ∴BP=CP． ∵BC=，∴BP=． （iii）当∠QDP=90°时，过点Q作QH⊥AC，垂足为点H． 设BP=2x，则BQ=x，PC=，QA=．∴AH=，QH=，HD=． ∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°，∴∠CDP=∠DQH．∴tan∠CDP=tan∠DQH．∴． ∴．解得，（舍）．∴BP=． 综上所述，当△PQD是直角三角形时，线段BP的长为或． （3）． 【例2】【2017崇明二模】如图，梯形ABCD中，，，，，，点E是射线CD上一动点（不与点C重合），将沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F． （1）如图1，当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时，求CE的长； （2）如图2，当点E在线段CD上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）如图3，联结AC，线段BF与射线CA交于点G，当是等腰三角形时，求CE的长． 【答案】解：（1）把与的交点记为点O ∵梯形ABCD中，，∴ 由翻折得， ∵MN是梯形ABCD的中位线 ∴，∴∴…………………1分 ，…………1分∴ △EFO是等边三角形∴………1分 在Rt△ECB中，…………………1分 （2）把BE与CF的交点记为点P 由翻折得BE是CF的垂直平分线 即， ，…………………1分 ∵ , 又∵ ……………1分…………2分 （3）当△CBG是等腰三角形时，存在以下三种情况： GB=GC 延长BF交CD于点H ∵GB=GC ∴∠GBC=∠GCB∵∠HCB=90°∴∠CHB+∠GBC=90° ∵∠ABC=90°∴∠CAB+∠GCB=90°∴∠CHB=∠CAB∴sin∠CHB=sin∠CAB= ∵∠ABC=90°∴∠ACB+∠CAB=90°，∠ABG+∠GBC=90°∴∠CAB=∠GBA ∴GA=GB∴GA=GC ∵AB∥CD ∴∴CH=AB=6∵∴， ∵∴∴即……………………2分 2° CB=CG，当CB=CG=8时，AG=108=2 ∵AB∥CD ∴∴CH=4AB=24 ∵∴， ∵∴ 解得即……………………………2分 3° BC=BG，当BC=BG时，F点与G点重合 由翻折可得，BE垂直平分线段GC 易证∠CBE=∠CAB ∵∠ECB=∠CAB=90°∴∴ 解得CE=…………………………2分 综上所述，CE的长为、、 【例3】【2023青浦二模】已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D． （1）如图7，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）； （2）如图8，当m＝90，点C是的中点时，联结AB、BC，求的值； （3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长． 【答案】（1）联结OC．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＜90°．∴∠CBD为钝角． ∵△BCD为等腰三角形，∴∠D＝∠BCD． （1分） ∴∠OCB＝∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D． （1分） ∴∠OCA＝180°－∠OCD＝180°－3∠D． ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝180°－3∠D． （1分） 在△OAD中，∵∠OAC＋∠D＋∠AOB＝180°，∴∠D＝（m）°． （1分） （2）联结OC，过点C作CF⊥OD，垂足为点F． ∵点C是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC． （1分） ∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝45°． （1分） 在Rt△COF中，OC＝2，∴CF＝． （1分） ∵CF⊥OD，AO⊥OD，∴AO∥CF．∴． （1分） ∴．…（1分）∴． （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E，O'O，O'O交直线AD于点H． ∵新圆弧由折叠而得，且与直线OB相切于点E，∴O'E＝2，O'E⊥OD． 当点E在线段OB上时，在Rt△O'OE中，OE＝1，O'E＝2，则O'O＝． ∵点O'与点O关于直线AC对称，∴直线AC垂直平分线段O'O． ∴OH＝．∴在Rt△AOH中，AH＝． （1分） 在Rt△DOH中，tan∠O'OE＝2＝，∴ DH＝． ∴AD＝DH＋AH＝． （1分） 当点E在线段BO的延长线上时，同理可得，AH＝，DH＝． ∴AD＝DH－AH＝ （2分） 【例4】【2018杨浦二模】如图9，在梯形ABCD中，，点P为边BC上一动点，作，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E． （1）当圆P过点A时，求圆P的半径； （2）分别联结EH和EA，当时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围； （3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值． 【答案】（1）作AM⊥BC于M，联结AP， 由题意可求得AM=3，BM=4，tanB= tanC=.……………………………………………（1分） ∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k. ∵BC=9，∴MP=5-5k. ∴. ∵圆P过点A，且圆P的半径= PH=3k，∴AP=PH. ∴，即.…………………………………………（1分） 解得. 当时，CP=,∴舍，∴.……………………………（1分） ∴圆P的半径长为3. …………………………………………………………………（1分） （2）∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k. ∵点E在圆P上，∴PE=3k，CE=8k. ∴BE=9-8k ∵△ABE∽△CEH，∠B=∠C，∴或.……………………………（2分） 即或. 解得（舍）或.…………………（1分） ∴.即圆P的半径为. …………………………………………………（1分） ∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=，∴. ………………………………（2分） （3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N， 则EG=EF，∠1=∠3. ∴∠GEP=2∠1 ∵PE=PH，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP=∠4. ∴△EPQ≌△PHN. ∴EQ=PN. ………………………………………………………………（1分） ∵P为圆心，PQ⊥EG，∴EQ=QG，∴EF=EG=2EQ. ∵PH=3k，HC=4k，tanC=，∴，. ∴. ∴.…………………（1分） .（1分） ∴ ……（1分）即线段EH和EF的比值为定值. 【变式1】【2020虹口二模】如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，cosC=，DC=5，BC=6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F． （1）求sin∠BDC的值； （2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG∽△BEC，求DG的长； （3）如图2，点P、Q分别为AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D’F’经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D’、F’），设BH=x，BQ=y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．
【变式2】【2022普陀一模】如图14，在△中，边上的高， ．直线平行于，分别交线段、、于点E、、，直线与直线之间的距离为． （1）当时，求的值； （2）将△沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，延长交线段于点． ①当点恰好为△的重心时，求此时的长． ②联结，在的条件下，如果△与△相似，试用的代数式表示线段的长． 【答案】（1）由是边上的高， ，，得． 由题意得 ，． ∵直线平行， ∴△∽△． 根据题意，得是△的高，∴． 得 ，解得 ． 即 的值为． （2）①由△沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，得点落在上． ∵点为△的重心，∴为△的中线，． 可得 ，． 由△沿着翻折，可得． 直线平行，可得，． 所以，得//． ∴．得 ，解得 ． （2）②∵，，∴△与△相似有两种可能性． 由△与△相似，得△与△相似． 由，得，，，，． i．当时，由，得．化简得． ii．当时，作△边上的高，得． 由,得．化简得． 【变式3】【2023嘉定一模】已知△中，，，，点、分别在边、边上（点不与点重合，点不与点重合），联结，将△沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处．过点作，交射线于点．设，， （1）如图12，当点与点重合时，求的值； （2）如图13，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 【答案】（1）△中，∵，，， ∴，，．…………（1分） ∵，∴．∵，，∴．…（1分） 由题意易得：． …………（1分） ∴． …………………………………（1分） 由题意可知：，，，∴．（1分） ∵，，∴． △中，∵，，， ∴，，∴，∴ △∽△． ……（1分） ∴． …………………………………………………………………………（1分） ∵，，∴．∴（）……（2分） （3）①当点在线段上时，∵，∴． 由(2)得△∽△，∴，即，∴．…（1分） ∵，∴，．过点作，垂足为点． 易得，，．∴． …………………………（1分） ②当点在的延长线上时，∵，∴． 由题意易证，，∴△∽△． …………（1分） ∴，即，∴． ………………………………（1分） ∵，∴，．过点作，垂足为点． 易得，，．∴．……………………（1分） 综上，或． 题型三：旋转型 【例1】【2022宝山一模】如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转（）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F. （1）求证：CE=EF； （2）联结CF，如果，求∠ABP的正切值； （3）联结AF，如果，求的值. 【答案】（1）如图1，过点D作DH⊥EC，垂足为H. ∵DF⊥BP，CE⊥BP，∴∠DFE=∠FEC=∠DHE=90°，∴DH=EF. 易证△BEC≌△CHD，∴DH=CE，…………1分 ∴CE=EF. ……………………………1分 （2）如图2，易证∠ABP=∠CDH. ∵AB=AP，∴∠ABP=∠APB=，同理，∠APD=∠ADP=， ∴∠FPD=45°，∴FD=FP.…………………………………………………………………1分 ∵EF=EC，∴，∴.……………………………………………1分 ∵∠PFD=∠FEC=90°，∴△PFD∽△FEC，∴.……………………1分 设PF=x，则EF=3x，∴HC=2x，tan∠CDH=.………………………… 1分 （3）如图3，过点A作AG⊥BP，垂足为G.……………………………………………… 1分 易证△PAF ≌△DAF，∴∠PAF=. ∵∠BAP=（90＋n）°，∴∠GAP=45°＋，∴∠FAG=45°.……………………1分 设AG=，则AF=. ∵，∴AB=2.………………………………………………………… 1分 Rt△ABG中，AB=2AG，∴∠ABP=30°.………………………………………………… 1分 【例2】【2019浦东一模】将大小两把含角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点、分别在大三角尺的直角边、上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心.已知，. （1）求小三角尺的直角边的长； （2）将小三角尺绕点逆时针旋转，当点第一次落在大三角尺的边上时（如图10-2），求点、之间的距离； （3）在小三角尺绕点旋转的过程中，当直线DE经过点时，求的正弦值. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【变式】【2022崇明一模】已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N． 求证：（1）当时，求的值； （2）当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值 【答案】(1)∵四边形ABCD为正方形 ∴,, ∵∴过点E作EH⊥BD，垂足为H在Rt△EBH中， -------1分-----1分 又 ∴--------1分-------1分 （2）过点F作FP∥AB,交直线BD于点P∴ , 由旋转可得：, ∴ BF=1+ 在Rt△BFP中，，∴PF=BF=1+----------1分 在Rt△EBF中，∴-----------------1分 ∴∵ ∴-----------1分 ∴ -----------1分------------------1分 （3）设，当点E在线段AB上时，则 ∵正方形ABCD中DC∥AB，AD∥BC∴ ∴,------------------1分 ∵正方形ABCD中DC∥AB ∴ ∴ ------------------1分 解得，（舍去）∴------------------1分 当点E在线段AB的延长线上时，如图，同理可得 ∴ -----------1分解得，（舍去）∴------------------1分 1.【2023静安二模】如图25-①，扇形MON的半径为r，圆心角∠MON=90°，点A是上的动点（点A不与点M、N重合），点B、C分别在半径OM、ON上，四边形ABOC为矩形，点G在线段BC上，且CG=2BG． （1）求证：CG； （2）如图25-②，以A为顶点、AC为一边，作∠CAP=∠BCO，射线AP交射线ON于点P，联结AN、OG． ①当∠BGO=∠ANP时，求△OBG与△ANP的面积之比； ②把△OGB沿直线OG翻折后记作△，当⊥BC时，求∠P的正切值． 【答案】（1） 联结OA，设OA与BC相交于点E， ∵四边形ABOC是矩形，∴BC=OA=r， ∵CG=2BG，∴，即． （2）①∵四边形ABOC是矩形，∴EO=EC， ∴∠EOC=∠ECO． ∵∠BGO=∠ANP，∴∠1=∠2， ∴△CGO∽△ONA， ∴． ∵在Rt△BOC中，∠BCO+∠3=90°， 在Rt△ACP中，∠CAP+∠P=90°， 又∵∠CAP=∠BCO， ∴∠3=∠P， ∵∠BGO=∠ANP， ∴△OBG∽△APN， ∴． ②方法1：当⊥BC时（如图所示），∠OHC=90°， (
B
A
M
O
N
G
P
C
1
2
H
)在Rt△OGH中，∠CGO=90°－∠1． ∵四边形ABOC是矩形，∴∠BOC=90°，∴∠COG=90°－∠2． ∵翻折，∴∠1=∠2． ∴∠CGO=∠COG， ∴． ∴在Rt△OBC中，， ∴tan∠P=tan∠OBC． 方法2：当⊥BC时（如图所示），延长交OB于点F， 由翻折可得，∠FBG=∠,又∠FGB=∠， ∴△FGB≌△，∴FB=，∠BFG=∠=90°． ∴∠BFG=∠BOC， ∴FG∥OC，∴，即． ∴在Rt△OBC中，， ∴tan∠P=tan∠OBC． 2.【2018杨浦二模】已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上. （1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长； （2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长； （3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长. 【答案】（1）因为，所以即，则 在中，，解得 又因为，所以 同理，，所以所以 在中，，解得 当与重合时，最大， 3.【2020徐汇二模】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，.点O是边BC上的动点，以OB为半径的⊙O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N. (1)当点E为边AB的中点时，求DF的长； (2)分别联结AN、MD，当AN∥MD时，求MN的长； (3)将⊙O绕着点M旋转180°得到⊙O＇，如果以点N为圆心的⊙N与⊙O和⊙O＇都内切，求⊙O的半径长. 【答案】 1.【2020宝山一模25】如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC=36°，点D为OC上一点，如果OD＝k·OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点．将△ODE绕点O顺时针旋转度（其中）后，射线OM交直线BC于点N． 如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）； 当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数与旋转角的度数之间的函数关系式； 写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角的度数． 【答案】（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△AOC的面积为13，∴△ABC的面积为26， ∵DE∥CA ∴△ODE∽△OCA∵OD＝k·OC ∴△ODE的面积为 当N在B右侧时 在射线ON上截取MF=OM，联结EF、DF 易知四边形OEFD为平行四边形， 易证∠OEF=∠BOC…………1分 ∵ ∴△OEF∽△BOC, ∴∠EOF=∠OBC …………1分 ∴∠AON=∠AOE +∠EOF=∠OBC+∠ONB ∴∠AOE=∠ONB, 即…………2分 当N在B左侧时（如图） 同理(在射线ON上截取MF=OM，联结EF、DF) 同样可以证明△OEF∽△BOC∴∠EOF=∠OBC ∠ONB=∠BOE=180°-∠AOE 即………………………………2分 当N在B右侧时 当OB=ON时，旋转角=36 ………………………………1分 当BO=BN时，旋转角=72 ………………………………1分 当NO=NB时，旋转角=108 ………………………………1分 当N在B左侧时 当BO=BN时，旋转角=162 ………………………………1分 综上所述：当旋转角分别为36、72、108、162度时△ONB为等腰三角形． 2.【2020浦东一模】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD．过点D作DE⊥DC交边BC于点E． （1）如图，当ED=EB时，求AD的长； （2）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域； （3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB’，联结AB’．当△CAB’是等腰三角形时，直接写出AD的长． 【答案】（1）∵ED=EB，∴∠B=∠BDE．……………………………………………（1分） ∵DE⊥CD，∴∠BDE+∠ADC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°． ∴∠BDE=∠ACD．…………………（1分）∴∠ACD=∠B．……………（1分） 在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∴．∴．……（1分） 在Rt△ADC中， ，AC=3，∴．………（1分） （2）过点E作EH⊥AB，垂足为点H．∴∠EDH=∠A=90°． ∵∠BDE=∠ACD，∴△ACD∽△DEH． ………………………………（1分） ∴． 在Rt△BEH中，可得，．…………………………（1分） ∴． ……………………………………………………（1分） ∴．∴． …………………………（1分） （0 < x < 4） ． ……………………………………………………（1分） （3）AD=或AD=． ………………………（各2分） 3.【2020宝山二模】如图7，已知：在直角中，，点在边上，且如果将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，点为边上的一个动点，联结，以圆心，为半径作⊙，交线段于点和点，作交⊙于点,交线段于点. （1）求点到点和直线的距离 （2）如果点平分劣弧，求此时线段的长度 （3）如果为等腰三角形，以为圆心的⊙与此时的⊙相切，求⊙的半径. 【答案】