2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-06几何综合压轴之圆与直线的位置关系（含答案）

25题专题复习讲义
主题：06几何综合压轴之点与圆、直线与圆的位置关系
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题型一：点与圆 【例1】【2024静安二模】如图，已知半圆O的直径AB=4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E． 求证：AD AP=OD AC； 设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； 当点E在半圆P上时，求半圆P的半径． 【答案】（1）联结PC，在半圆P与半圆O中， ∵ PC=PA，OD=OA，∴ ∠PCA=∠A=∠D． （2分）∴PC//OD．（1分） ∴．（1分）∴AD AP=OD AC．（1分） （2）在Rt△OPC中，OP =，. （1分） 在Rt△OAC中，AC=. （1分） ∵PC//OD，∴，（1分）∴，∴. （1分）定义域为1< x < 2. （1分） （3）∵CO⊥AB，AO=BO=2，∴BC= AC=, ∵PC//OD，∴，∴，∴． （1分） 过点P作PH⊥CE，垂足为H．∴， ∴． （1分） ∵．∴BH·CB=OB·BP, ∴， （1分） ，，． 其中不符合题意，所以半圆P的半径为． （1分） 【例2】【2024奉贤二模】已知：如图9，线段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD//AB，且CD=PC，过点D作DE//PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q． 若点P与点A重合，求BE的长； 设PC= x，，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域； （3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．
【答案】（1）∵点C为弧AB的中点，∴CO⊥AB．……………………………………………1分 ∵AB=4，∴AO=CO=2． ∵点P与点A重合，∴. ………………………………1分 ∴CD//AB，DE//PC，∴四边形PCDE是平行四边形．…………………………………1分 ∵CD=PC，∴平行四边形PCDE是菱形．………………………………………………1分 ∴PC=PE．∴BE=AB-PE=．…………………………………………………………………1分 （2）∵∠COE=∠PQE=90°，∠CEO=∠PEQ， ∴△COE∽△PQE.∴，∴．………………………………………………………1分 ∵PC= x，CO =2，∴在Rt△POC中，PO=． ∵，∴．∴．……………1分 由（1）可知，四边形PCDE是菱形，∴PD⊥CE，，． ∴．……………………1分∴．……………2分 （3）当点Q在半圆O上时，点P在OB上， 过点O作ON⊥CQ，垂足为点N，∴．……………………………………1分 ∵CQ=EQ，∴．………………1分∵PQ//ON，∴，∴. ……1分 整理得：，解得：（负数不合题意，舍去）.……………………1分 ∴当点Q在半圆O上时，． 【变式1】【2023杨浦二模】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE. 当AE//BC（如图（1））时，求⊙O的半径长； 设BO=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式，并写出定义域； 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长。 【答案】（1）∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴BE=BD，∴∠EBA=∠DBA， ∵AE//BC，∴∠EAB=∠DBA，∴∠EAB=∠EBA，∴BE=AE，∴BD= AE， 又∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴AC//DE，∴AEDC为平行四边形，∴AE= DC，∴BD=DC=5，-------（2分） 作OH⊥BC于M，则BH=DH=BD=，∵，∴BO=，----------（2分） 即⊙O的半径长是 （2）联结AD，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴AB是DE的中垂线，∴AD=AE=y， 作OH⊥BC于H，则BH=DH， 在Rt△BOH中，∵BO=x，，∴BH=，∴BD=，-----------------（1分） 作AM⊥BC于M，则得AM=，BM=，∴DM=，------------------------（1分） 在Rt△ADM中，，即，-----------------（1分） ∴（）----------------------------------------------------（2分，1分） 设DE、AB交于点P，则DP=EP， 方法一、情况1：D与C不重合 ∵⊙A过点D、C，∴AD=AC，作AK⊥BC于K，则DK=CK=， ∴BD=10-2×=，∴DP=BD sin∠ABC=，∴DE=。---------------（2分） 情况2：D点与C点重合时，E、A、C三点共线，DE=2AC=12. ----------------（2分） ∴DE的长为12或。 方法二、设DP=x，∵，∴BD=，BP=，∴AP=， 联结EA，∵⊙A过点D、E、C，∴ AE=AC=6， 在Rt△AEP中，，整理得，------------------（1分） 解得，----------------------------------------------------------------------------------（1分） 经检验，都符合题意。∴DE的长为12或------------------------------------------------（2分）
题型二：直线（线段）与圆 【例1】【2023年普陀二模】如图12，在Rt△ABC中，，，，点是边上一个动点（不与、重合），以点为圆心，为半径作，与射线交于点；以点为圆心，为半径作，设． （1）如图13，当点与点重合时，求的值； （2）当点在线段上，如果与的另一个交点在线段上时，设，试求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； （3）在点的运动的过程中，如果与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）在Rt△中，，，∴． ∵，∴． （1分） 由勾股定理得 ． （1分） ∵，∴．在Rt△中，， 由勾股定理得 ．（1分）解得． （1分） （2）过点、分别作⊥、⊥，垂足为点、． ∵⊥，∴．（1分）同理 ． ∵，∴． ∴． （1分） ∵⊥，∴． ∴． 又∵是公共角，∴△∽△． ∴．∴． ∵，∴． （1分） ∴． ∴． ∴化简得 （）． （2分） （3） （2分） ． （1分） ． （2分） 【例2】【2024崇明二模】如图，已知点,以点为圆心长为半径作圆交轴交于点、两点，过点作直线交轴于点,与圆交于点， (1) 求点的坐标； (2) 若点是弧的中点，求经过、、三点的抛物线的解析式； (3) 若直线经过点，当直线与圆相交时，求的取值范围． 【答案】（1）∵ ∴ （1分） 在中 设 则 （1分） ∵ （1分） ∴ ∴ （1分） （2）联接过点作轴的垂线交轴于∵ 点是弧的中点 ∴ ∴ ∴∽ ∴ （1分） ∵ ∴ ∴ ∴ （1分） 又∵ 设抛物线的解析式为 把代人得 （1分） ∴ （1分） （3）且 （3+1分） 【例3】【2022杨浦三模】 【变式1】【2021青浦二模】已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D． （1）如图7，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）； （2）如图8，当m＝90，点C是的中点时，联结AB、BC，求的值； （3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长． 【答案】（1）联结OC．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＜90°．∴∠CBD为钝角． ∵△BCD为等腰三角形，∴∠D＝∠BCD． （1分） ∴∠OCB＝∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D． （1分） ∴∠OCA＝180°－∠OCD＝180°－3∠D． ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝180°－3∠D． （1分） 在△OAD中，∵∠OAC＋∠D＋∠AOB＝180°，∴∠D＝（m）°． （1分） （2）联结OC，过点C作CF⊥OD，垂足为点F． ∵点C是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC． （1分） ∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝45°． （1分） 在Rt△COF中，OC＝2，∴CF＝． （1分） ∵CF⊥OD，AO⊥OD，∴AO∥CF．∴． （1分） ∴．…（1分）∴． （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E，O'O，O'O交直线AD于点H． ∵新圆弧由折叠而得，且与直线OB相切于点E，∴O'E＝2，O'E⊥OD． 当点E在线段OB上时，在Rt△O'OE中，OE＝1，O'E＝2，则O'O＝． ∵点O'与点O关于直线AC对称，∴直线AC垂直平分线段O'O． ∴OH＝．∴在Rt△AOH中，AH＝． （1分） 在Rt△DOH中，tan∠O'OE＝2＝，∴ DH＝． ∴AD＝DH＋AH＝ （1分） 当点E在线段BO的延长线上时，同理可得，AH＝，DH＝． ∴AD＝DH－AH＝． （2分） 【变式2】【2023徐汇二模】如图，在中，，AC=4，，点P是边上的动点，以PA为半径作⊙P． （1）若⊙P与AC边的另一交点为点D，设AP=x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
【答案】（1）作于M 在Rt△PAM中， …………1 ， …………1 ………2 （2）作于N ∵⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等， ………………………1 ∴CP平分， ∴ …………………………………1 ∴， ∴ 解得：， 即…………………………………2 1.【2023虹口二模】如图，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，点P为边BC上一动点，过点P作射线PE交射线BA于点D，∠BPD=∠BAC．以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，联结CE，设BD=x，CE=y． （1）当⊙P与AB相切时，求⊙P的半径； （2）当点D在BA的延长线上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果⊙O与⊙P相交于点C、E，且⊙O经过点B，当OP=时，求AD的长． 【答案】（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M 在Rt△ABM中， ∵AB=AC ∴BC=2BM=8………………………………………………………（1分） 过点P作PN⊥AB，垂足为点N 设⊙P的半径为r，则BP=8-r 在Rt△BPQ中，…………………………………（1分） ∵⊙P与AB相切∴PN=PC ∴……………（1分）解得r=3………（1分） （2）∵∠BPD=∠BAC ，∠B=∠B∴△BPD∽△BAC ∴即∴∴……………（1分） 过点P作PQ⊥CE，垂足为点Q ∵PE=PC∴∠CPE =2∠CPQ可得∠B=∠D∠CPE=∠B+∠D=2∠B ∴∠CPQ=∠B……………（1分） 在Rt△CPQ中，………………（1分） ∵PQ⊥CE∴CE=2CQ∴（）…………………………（1分，1分） （3）根据题意可得圆心O为EC与BC垂直平分线的交点，即直线AM与PQ的交点 在Rt△OPM中，…………………………………（1分） ①点P在线段MC上时， ∴…………………………（1分）∴AD=3……………………（1分） ②点P在线段MB上时∴………………………（1分） ∴AD=……………………………（1分）综合①②可得或 2.【2022金山二模】如图，在中，，cm，cm，动点由点向点以每秒速度在边上运动，动点由点向点以每秒速度在边上运动，若点，点从点同时出发，运动秒()，联结. 求证：∽． 设经过点、、三点的圆为⊙. ①当⊙与边相切时，求的值. ②在点、点运动过程中，若⊙与边交于点、（点在点左侧），联结 并延长交边于点，当与相似时，求的值. 【答案】（1）证明：由题意得：，∵，，； ∴，∵；（2分） ∴ （1分） 又∵ ∴∽． （1分） （2）①连结并延长交于点， ∵， ∴是⊙的直径 即为中点， ∴. （1分） ∴，∵∽，∴, （1分） ∵,∴ （1分） ∴； （1分） ∵⊙与边相切，∴点为切点，（1分）为⊙的直径， ∵解得，∴ 得即. （1分） ②由题意得解得,由①得,， ∴,，, ∵ ∴由与相似可得： 情况一：得解得：； 情况二：得解得：； ∴综上所述：当与相似时. 或 （2分+2分） 1.【2023浦东二模】已知是圆的一条弦，是圆上一点，过点作，垂足为点，并交射线于点，圆的半径为， 当是优弧的中点时（如图8），求弦的长 当点与点重合时，试判断：以圆为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由 当，且圆与圆相切时，求圆半径的长 【答案】(1)联结PO并延长交弦AB于点H. P是优弧的中点，PH经过圆心O，PH⊥AB，AH＝BH.…………………………(2分) 在△AOH中，∠AHO＝90°， AO＝5，OH＝3…………………(1分) 在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝5+3＝8，AH＝4，AP＝.………………(1分) 作OG⊥AB，垂足为点G.∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，∴△OBG△ABM.……………(1分) 以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交，…………………(3分) 3.【2023嘉定二模】在圆中，是圆的直径，，点是圆上一点（与点、不重合），点是弦的中点． （1）如图8，如果交于点，求的值； （2）如图9，如果⊥于点，求的值； （3）如图10，如果，点为弦上一动点，过点作⊥，交半径于点，与射线交于圆内点． 探究一：如果设，，求关于的函数解析式及其定义域； 探究二：如果以点为圆心，为半径的圆经过点，直接写出此时的长度；请你完成上述两个探究． 【答案】（1）过点作∥交于点， ……………………1分 ∴， ……1分 ∵ ∴ ∵点是弦的中点∴ ∴ ……1分∴……………1分 （2）联结∵点是弦的中点，经过圆心∴， ……1分 ∵， ∴∴又 ∴△∽△……1分∴，∵ ∴……1分 ∵∴ 在直角△中， ∴ ……1分 (3)探究一：过点作∥交的延长线于点，联结 ∵点是弦的中点，经过圆心∴，， ∵, ∴， ……………1分 ∴，∵∥ ∴, 又,， ∴, ∵，，∴ ∵,∴ ∴，∴ ……1分 在直角△中，， ∵, ，∴ ∴关于的函数解析式是……1分 定义域是. ……1分 探究二：的长度是.……2分