第九章不等式与方程组 知识清单与题型归纳（含解析）2023—2024学年人教版七年级数学下册

第九章不等式与方程组 七年级数学下册人教
【知识清单 题型归纳】
课程标准 学习目标
①一元一次不等式组及其解法 ②列一元一次不等式组解决实际问题 掌握一元一次不等式组的定义并能够熟练的判断不等式组。 能够熟练的解不等式组，判断不等式的解集。 掌握列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤，并能够熟练的解决应用。
知识点01 一元一次不等式组
一元一次不等式组的定义：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
不等式组的解的情况与图示：
①同大取大：，图示：，解集为 。
②同小取小：，图示：，解集为 。
③大小小大中间找：，图示：，解集为 。
④大大小小无解答：，图示，解集为 无解 。
跟踪训练
1．下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式组的解是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 列一元一次不等式组解决实际问题
列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤：
①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。
②设：设出适当的未知数。
③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式，从而组成不等式组。
④解：解出所列的不等式组的解集。
⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。
跟踪训练
4．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
5．某文具店购进、两种文具进行销售.若每个种文具的进价比每个种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个种文具和50个种文具，
（1）求每个种文具和种文具的进价分别为多少元？
（2）若该文具店购进种文具的数量比购进种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文具的总数量不超过95个，每个种文具的销售价格为12元，每个种文具的销售价格为15元，则将购进的、两种文具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该文具店购进、两种文具有哪几种方案？
题型01 根据不等式组的解集情况求字母
6．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
8．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．已知关于的不等式组有且只有1个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 解一元一次不等式组
11．以下是明明解不等式组的解答过程．
解：由①，得，……步骤1
所以……步骤2
所以.……步骤3
由②，得，……步骤4
所以．……步骤5
所以……步骤6
所以原不等式组的解是……步骤7
指出明明的解答过程从第几步出现了错误，请写出正确的解答过程．
12．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
13．解不等式：
(1)．
(2)．
14．解下列不等式．
(1)；
(2)．
15．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
题型03 不等式组的特殊解以及求未知字母
求满足不等式组的整数解．
17．不等式的最大整数解为（ ）
A． B． C． D．
18．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
19．已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
20．一元一次不等式的解在数轴上表示如下图所示，若该不等式有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 一元一次不等式组的实际应用
21．某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2600元，标价为3640元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ）
A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折
22．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A． B．
C． D．
23．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（　　）
A． B．
C． D．
24． 某学校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给期中考试优秀学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元．
(1)A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买A型和B型两种笔记本共120本，费用不超过800元，A型笔记本最多买多少本？
25．某公司有、两种型号的客车，它们的载客量、租金如下表所示：
型号客车 型号客车
载客量/(人/辆)
租金/(元/辆)
已知某中学计划租用、两种型号的客车共辆，同时送七年级师生到生态园参加社会实践活动，该中学租车的总费用不超过元．
(1)最多能租用多少辆型号客车？
(2)若七年级的师生共有人，请写出所有可行的租车方案．
26．蜀山家园小区为了美化小区，准备购进两种树苗共60棵栽种在小区空地，其中种树苗数量不少于种树苗的2倍．
(1)该小区最多购买类树苗多少棵？
(2)已知种树苗单价为25元，种树苗单价为45元，若购买树苗的总费用不超过2330元，该小区购买树苗的方案有几种？哪种方案总费用最低？
27．2024年1月某银行发行了A、B两种龙年纪念币，已知购买3枚A型纪念币和2枚B型纪念币需55元，购买3枚A型纪念币和5枚B型纪念币需115元．
(1)求每枚A、B两种型号的纪念币各多少元？
(2)若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能购买多少枚？
(3)在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币9枚，则有几种购买方案？哪种方案最划算？
参考答案：
1．D
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．
【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；
B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
2．A
【分析】根据不等式组的取值方法“同大取大”，即可求解．
【详解】解：不等式组的解是，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查不等式组的取值方法，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的取值方法是解题的关键．
3．D
【分析】利用不等式组的解集在数轴上的表示方法确定不等式组的解集．
【详解】解：由关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示可知，两个不等式的解集公共部分是：，
所以该不等式组的解集是．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的表示，利用不等式组中所有不等式的解集的公共部分是不等式组的解集来确定不等式组的解集是解题关键．
4．B
【分析】本题考查根据实际问题列出不等式组，设有个儿童，得到共有个橘子，再根据最后一个孩子有分到橘子但少于3个，列出不等式组即可．
【详解】解：设有个儿童，由题意，得：；
故选B．
5．（1）每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；（2）该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
【分析】（1）设每个种文具的进价为元，每个种文具的进价为元，根据“每个种文具的进价比每个种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个种文具和50个种文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进种文具个，则购进种文具个，根据购进两种文具的总数量不超过95个且销售两种文具的总利润超过371元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案．
【详解】解：（1）设每个种文具的进价为元，每个种文具的进价为元，依题意，得：
解得：.
答：每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；
（2）设购进种文具个，则购进种文具个，依题意，得：

解得：.
∵为整数，
∴或25，或70，
∴该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
故答案为（1）每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；（2）该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6．B
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，可得到的范围是解本题的关键．
【详解】解：解不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解有3个，
∴得到整数解为，，，
∴m的范围为．
故选：B．
7．B
【分析】由题意，根据不等式组的解集的意义：两个解集有公共部分即有解，从而得解．
【详解】解：由题意，根据不等式组的解集的意义：两个解集有公共部分即有解，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集的意义，解题时要熟悉概念并能灵活运用是关键．
8．C
【分析】根据大大小小找不到即可求解．
【详解】解：∵该不等式组无解，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了含字母参数的不等式组的解集问题，解题关键是掌握求不等式组解集的方法，即同大取大，同小取小，大大小小找不到，大小小大取中间．
9．A
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组有且只有1个负整数解，即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组只有一个负整数解，
∴负整数解一定是，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．A
【分析】解不等式组用含的式子表示不等式组的解题，根据所有整数解的和为7，写出所有的整数解题即可．
【详解】由，得；
由，得．
因为不等式组的所有整数解的和为7，
所以不等式组的整数解为4，3或4，3，2，1，0，，
所以或，
解得或，
符合条件的整数的值为1，即整数的值有1个，
故选A．
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，能正确确定不等式组的整数解是解题的关键．
11．明明的解答过程从第6步出现了错误，正确的解答过程见解答
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：明明的解答过程从第6步出现了错误，错误的原因是：不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变，
正确的解答过程如下：
由①，得，
所以，
所以，
由②，得，
所以，
所以，
所以原不等式组的解集为：．
12．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握求一元一次不等式组解集的方法是解题的关键．
（1）先去括号，再移项、合并解不等式①即可得答案；
（2）移项、把系数化为1，解不等式②即可得答案；
（3）将①②的解集表示在数轴上即可；
（4）根据数轴上的解集的公共部分即可求解．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项、合并得：，
故答案为：
（2）
移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示，如图所示：
（4）由数轴可知：原不等式组的解集为．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确利用不等式的性质求出解集是解答本题的关键．
（1）移项，合并同类项即可求解；
（2）先去分母，再去括号、整理，根据不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式．
（1）（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：，
去括号得，
移项得，
∴；
（2）解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
∴．
15．(1)，数轴见解析
(2)．数轴见解析
【分析】本题考查了不等式或不等式组的解法，在数轴上表示不等式或不等式组的解集．
（1）先移项，再合并同类项、系数化为1即可；
（2）先求两个不等式的解集，再求公共部分即可．
【详解】（1）解：去分母得，
去括号得，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
在数轴上表示出来：
；
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
在数轴上表示出来：
不等式组的解集为．
16．，不等式的最小整数解为．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
则，
∴不等式的最小整数解为．
17．B
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的最大整数解为，
故选：B．
18．B
【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则不等式的正整数解有1、2、3、4、5、6这6个，
故选：B．
19．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵不等式的负整数解只有,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴，
故选B．
20．B
【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个负整数解只能是、，求出a的取值范围即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个负整数解，
∴2个负整数解只能是、．
∴a的取值范围是．
故选B
21．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键．
设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可．
【详解】设打x折，
根据题意得
解得．
所以最低可打7.5折．
故选：A．
22．D
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，要特别注意：答错或不答都扣5分，至少即大于或等于．据答对题的得分：；答错题的得分：，得出不等关系：得分不低于80分．
【详解】解：由题意可列出的不等式为，
故选：D．
23．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
24．(1)A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元
(2)A型笔记本最多买66本
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程组和不等式．
（1）设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元，根据“购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元”列出方程组求解即可；
（2）设购买A型笔记本m本，则够买B型笔记本本，根据“费用不超过800元”列出不等式，再根据m为整数，即可解答．
【详解】（1）解：设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元，
根据题意得，
解得．
答：A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元．
（2）解：设购买A型笔记本m本，则够买B型笔记本本，
根据题意得．
解得，
∵m是正整数，
∴m最大取66，
答：A型笔记本最多买66本．
25．(1)最多能租用辆型号客车
(2)有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆
【分析】本题考查了不等式的应用；
（1）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可求解．
（2）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据师生共有人，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆．
依题意，得，
解得．
又为整数，
的最大值为．
答：最多能租用辆型号客车．
（2）依题意，得，
解得．
又为整数，且，
或．
有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆．
26．(1)小区最多购买类树苗棵
(2)该小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵，种树苗棵，总费用最低
【分析】本题考查了一元一次方程不等式（组）的应用．
（1）设购买种树苗棵，根据“种树苗数量不少于种树苗的2倍”列不等式，解出其解集即可求解；
（2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据“购买树苗的总费用不超过2330元”列不等式，解出其解集，结合（1）的结论，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
由题意得，，
解得，
答：小区最多购买类树苗棵；
（2）解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
由题意得，，
解得，
结合（1），则，
∵取整数，
∴或，
∴小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵或棵，
当时，费用为（元），
当时，费用为（元），
．
，
答：该小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵，种树苗棵，总费用最低．
27．(1)每枚A种型号的纪念币为5元，每枚B种型号的纪念币为20元；
(2)A型纪念币最多能买10枚；
(3)共有2种购买方案，最划算的购买方案为：A型纪念币买10枚，B型纪念币买40枚．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和不等式．
（1）设每枚A种型号的纪念币为x元，每枚B种型号的纪念币为y元，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设A型纪念币能买m枚，根据用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可；
（3）得到a的范围，可得共有2种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果．
【详解】（1）设每枚A种型号的纪念币为x元，每枚B种型号的纪念币为y元
由题意得：，
解得：，
答：每枚A种型号的纪念币为5元，每枚B种型号的纪念币为20元．
（2）设A型纪念币能买m枚，则B型纪念币能买枚
由题意得：，解得：，
答：A型纪念币最多能买10枚；
（3）由题意得：，
，
为正整数，
为9或10，
共有2种购买方案：
①A型纪念币能买9枚，B型纪念币能买41枚，费用为：（元）；
②A型纪念币能买10枚，B型纪念币能买40枚，费用为：（元）；
，
最划算的购买方案为：A型纪念币买10枚，B型纪念币买40枚．