7.2.1三角函数的定义课件(共14张PPT)-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

(共14张PPT)
7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
新授课
1. 理解任意角三角函数的定义并能计算简单的三角函数的值；
2. 了解任意角三角数（正弦、余弦、正切）的定义域，并能判断三角函数在各象限的符号.
回顾：初中我们是如何定义锐角三角函数的？
知识点1：任意角的正弦、余弦与正切的定义
思考：结合任意角的推广，想一想，任意角的三角函数应该如何计算？
sin α = ____________；
cos α = ____________；
tan α = ____________；
A
B
C
α
a
b
c
问题 1：当 α 是一个锐角时，试着通过 α 终边上的点的坐标来定义它的正弦、余弦、正切.
x
y
O
α
P (x，y)
M
如图所示，在 α 终边上任取一个不同于坐标原点的点 P (x，y)，作 PM 垂直 Ox 于点 M，
记 r = ，则△OMP 是一个直角三角形，且OM = x，PM = y，OP = r，由此可知：
sin α = = ，cos α = = ，tan α = = .
思考：点 P 的位置不同，是否会影响 α 的三角函数值呢？
x
y
O
α
P (x，y)
M
P
M
将 P 沿射线 OP 移动，角 α 不变，即：
结论：三角函数值与点 P 在终边上的位置无关，只与角 α 大小有关.
问题 2：如何定义任意角 α 的正弦、余弦、正切.
如图所示，对于任意角 α，设点 P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，r = ，则有：
当角 α 终边不在 y 轴上时，有：
由上可知，对于每一个角 α ，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；
当 α ≠ + kπ ( k∈Z ) 时，有唯一的正切与之对应；
角的正弦、余弦与正切，都称为的三角函数．
sin α = ，cos α =
tan α = （x ≠ 0）.
例 1：已知角 α 的终边经过点 P (2，-3)，求 sin α，cos α，tan α.
解：设 x = 2，y = -3，则 r = = ；
所以 sin α = =，cos α = = = ，tan α = .
典例剖析
例 2：求下列各角的正弦、余弦和正切.
（1）0； （2）π； （3）.
解：（1）角 0 的终边在 x 轴的正半轴上，在 x 的正半轴上取点(1，0)，
所以 r = = 1，因此 sin 0 = = 0，cos 0 = = 1，tan 0 = = 0；
（2）角 π 的终边在 x 轴的负半轴上，在 x 的负半轴上取点(–1，0)，
所以 r = = 1，因此 sin π = = 0，cos π = = –1，tan 0 = = 0；
（3）角 的终边在 y 轴的负半轴上，在 y 的正半轴上取点(0，–1)，
所以 r = = 1，因此 sin = –1，cos = 0，tan 不存在.
例 3：求 的正弦、余弦和正切.
解：如图所示，在 的终边上取点 P，使得 OP = 2.
作 PM⊥Ox ，则在 Rt△OMP 中，∠POM = π – = ，
因此 MP = 1，OM = ，从而可知 P 的坐标为(-，1)，
因此 sin = ，cos = – ，tan = – .
x
y
O
P
M
知识点 2：正弦、余弦与正切在各象限的符号
问题 3 ：根据任意角的三角函数定义，完成下列填空：
思考：结合上述定义，说一说，三角函数在坐标轴各象限中的符号？
三角函数 定义域
sin α
cos α
tan α
R
R
{ x | x ≠ + kπ (k∈Z) }
问题 4 ：如图，将三种三角函数的值在各象限的符号填入相应位置的括号中，并说出填写的依据.
x
y
O
sin α
（ ）
+
（ ）
（ ）
x
y
O
cos α
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
x
y
O
tan α
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
+
–
–
+
–
+
+
+
–
–
–
例 3：确定下列各值的符号：
（1）cos 260 ； （2）sin(- )； （3）tan(- 672 20′)； （4）tan .
典例剖析
解：（1）因为 260 是第三象限角，所以 cos 260 < 0；
（2）因为 - 是第四象限角，所以 sin(- ) < 0；
（3）由 - 672 20′ = 47 40′ + (-2)×360 ，可知 – 672 20′ 是第一象限角，
所以 tan(- 672 20′) > 0；
（4）由 = + 2π，可知 是第三象限角，所以 tan > 0.
例 5：设 sin θ < 0 且 tan θ > 0，确定 θ 是第几象限角.
解：因为 sin θ < 0，所以 θ 可能是第三、四象限的角；
又 tan θ > 0，θ 可能是第一、三象限的角；
综上所述，θ 是第三象限的角.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）三角函数的定义是什么
（2）在三角函数中，任意角 α 分别需要满足怎样的条件？
（3）在三角函数中，角的终边与三角函数的符号有什么关系？