7.3.1 复数的三角表示式课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019)必修第二册

(共15张PPT)
7.3.1 复数的三角表示式
1.了解复数的三角表示式及相关概念
2.会进行复数三角形式与代数形式的互化
导入
问题：复数的几何意义是什么？
a
b
Z:a＋bi
复数z＝a＋bi
一一对应
一一对应
一一对应
复平面内的点Z(a，b)
平面向量
思考：向量可以由它的大小和方向唯一确定，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
大小：
知识点1：复数的三角表示式
方向：
a
b
Z:a＋bi
r
以x轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画 的方向．
向量的大小可以用模来刻画
θ
a
b
Z:a＋bi
r
θ
所以
其中
思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？
由图可得
三角表示式(三角形式)
概念生成
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成
r(cosθ+isinθ)
复数的模
辐角
θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.
a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
观察：
①r≥0
是三角形式吗？说出你的理由.
②θ前后一致
③cosθ在前，sinθ在后
④cosθ与isinθ之间用 + 连接
复数的三角形式条件 z=r(cosθ+isinθ)：
归纳总结
问题1：一个复数的辐角的值有多少个？
规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，
问题2：任一非零复数的辐角适合于0≤θ＜2π的有几个？
即 0 ≤ arg z < 2π．
每个非零复数的辐角的主值有且只有一个
知识点2：辐角的主值
例如，arg 1=0
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
复数0的辐角也是任意的.
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
θ
于是
因为与
对应的点在第一象限，
所以
解：（1）复数 对应的向量如图所示，
则
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
（2）复数1-i对应的向量如图所示，
于是
因为与1-i对应的点在第四象限，
所以
则
θ
把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值
归纳总结
把复数z＝a＋bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤：
（1）求复数的模r:
（2）求复数的辐角的主值θ:
（3）写出复数的三角形式:
例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.
所以
解：（1）复数 的模r=1,一个辐角θ=π，对应的向量如图所示.
例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.
所以
（2）复数 的模r=6,一个辐角
对应的向量如图所示.
把复数从三角形式转化成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可
思考：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
两个复数对应的向量相等
两个向量的长度相等且方向相同
两个复数的模相等且辐角主值相等
要点概括整合
互化
复数的三角表达式
三角形式
代数形式
辐角的主值
表示形式