7.3.5 已知三角函数值求角课件(共13张PPT)-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

(共13张PPT)
7.3 三角函数的性质与图像
7.3.5 已知三角函数值求角
新授课
1. 掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号 arcsin x，arccos x，arctan x 表示角；
2. 熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[– 2π，2π]上对应的角.
问题 1：若已知 sin x = ，试求出满足条件的角 x ？
知识点 1 ：利用三角函数线求角
O
P1
1
N
P
M
由 sin x = > 0 可知，角 x 对应的正弦线方向朝上，
且长度为 .
做出如图示意图，由图可知角 x 的终边可能是 OP，
也可能是 OP1；
又因为 sin = sin = ，所以 x = + 2kπ 或 x = + 2kπ，k∈Z.
问题 2：若已知 sin x ≥ ，试求出角 x 的取值范围？
O
P1
1
N
P
M
由图可知，若 x 的终边在∠POP1中，则一定有 sin x ≥ ，
因此 x 的取值范围是 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ，k∈Z.
思考：若不借助三角函数线，你还有其它的方法解答上述问题吗？
方法二：借助正弦函数的图像
由图可知，sin x = ，x = + 2kπ 或 x = + 2kπ，k∈Z.
sin x ≥ 中 x 的取值范围是 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ，k∈Z.
x
y
o
–
2
–2

y = sin x
例 1：已知 cos (2x + ) = – ，求 x .
典例剖析
解：由cos (2x+) = – < 0可知，角2x + 对应的余弦线方向朝左，且长度为；
做示意图，由图可知角2x + 的终边可能是OP，也可能是OP1；
又因为 cos = cos = – ，
所以 2x + = + 2kπ 或 2x + = + 2kπ，k∈Z；
即 x = + kπ 或 x = + kπ，k∈Z.
O
P1
–1
M
P
练一练
1. 已知不等式 cos (2x + ) < – ，求 x 的解集.
由图可知，当 cos (2x + ) < – 时，
+ 2kπ < 2x + < + 2kπ，
所以不等式的解集为 ( + kπ， + kπ) k∈Z.
O
P1
–1
M
P
解：由 tan x = – 1 < 0 可知，角 x 对应的正切线的方向朝下，且长度为 1；
作如图示意图，由图可知，角 x 的终边可能是OT，也可能是OT1；
又因为 tan () = tan (π ) = – 1，
所以 x = + kπ，k∈Z.
又由3π < + kπ < 5π，k∈Z 可知 k = 4 或 k = 5，
因此 x = 或 x = ；
例 2：已知 tan x = – 1，x∈(3π，5π)，求 x.
典例剖析
O
T1
1
A
T
练一练
2. 已知不等式 tan x > – 1，求 x 的解集.
由图可知，tan x > – 1 时， + kπ < x < + kπ，
所以不等式 tan x > – 1 的解集为
( + kπ， + kπ) k∈Z.
O
T1
1
A
T
知识点 2 ：反三角函数
问题 2：若已知 sin x = ，且 x∈[，]，求 x 的值.
任意给定一个 y∈[-1，1]，满足 sin x = y 的 x 在区间 [，] 内只有一个，利用计算器或计算机软件可以方便地求出这个 x 的值；
如图所示，此时要在区间 [，] 内求满足
sin x = 的 x 的值，只要输入 sin-10.5 即可.
在数学中，任意给定一个 y∈[-1，1]，当 sin x = y 且 x∈[，] 时，通常记作 x = arcsin y (反正弦函数)；
类似地，在区间 [0，π] 内，满足 cos x = y ( y∈[-1，1] ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arccos y，即 x = arccos y (反余弦函数)；
在区间 [，] 内，满足 tan x = y ( y∈R ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arctan y，即 x = arctan y (反正切函数).
概念讲解
例 3：计算下列反三角函数的值.
（1）arcsin ； （2）arccos 0； （3）arctan 1.
典例剖析
解：（1）arcsin = ； （2）arccos 0 = ； （3）arctan 1 = .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）简述由已知的三角函数值求角的方法？
（2）说一说三角函数与反三角函数之间的关系？