8.1.3 向量的数量积的坐标运算课件(共14张PPT)-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

(共14张PPT)
8.1 向量的数量积
8.1.3 向量的数量积的坐标运算
新授课
1. 掌握用坐标形式表示平面向量数量积，会进行平面向量数量积的坐标运算；
2. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
知识点 1：向量的坐标与向量的数量积
a
y
O
x
e1
e2
a·e2
a·e1
回顾：在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 ，，则对平面内的向量 ，有 = x + y，其中(x，y)就是向量 的坐标，记作 = (x，y)；且{，}是一组单位正交基底，即
· = · = 1，· = · = 0；
因此 · = (x + y)· = x· + y· = x；
同理，· = y，所以 = (·)· + (·)·；
即 在单位正交基底{，}下的坐标为 (·，·)，
（如图所示）.
问题 1：设 ，，如何用坐标表示 · 呢？
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{，}，
使得 = x1 + y1， = x2 + y2，
因此 · = (x1 + y1)·(x2 + y2)
= x1x2· + x1y2· + y1x2· + y1y2·
= x1x22 + y1y22 = x1x2 + y1y2.
从而
问题 2：若 ，该如何计算向量的模 || 呢？
由 可知，，即
.
问题 3：设 ， 都是非零向量， 如何用坐标表示向量 ， 的夹角 θ？
由上可知，，，，
又，所以
拓展：平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
=(x2 – x1，y2 – y1)，
从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2，因此 || = .
归纳总结
（1）向量的数量积坐标公式：；
（2）向量的模坐标公式：，；
（3）向量夹角坐标公式：
（4）两点间的距离公式：|| = .
典例剖析
例 1：= (3，–1)， = (1，–2)，求 ·，||，||，<，>.
解：· = (3，–1) · (1，–2) = 3×1 + (–1)×(–2) = 5，
|| = = = ，
|| = = = ，
又因为 = = ，所以 <，> = .
例 2：已知点 A (1，2)，B (3，4)，C ( 5，0)，求∠BAC 的余弦值.
解：因为 = (3 – 1，4 – 2) = (2，2)， = (5 – 1，0 – 2) = (4，– 2)，
所以 · = 2×4 + 2×(– 2) = 4，|| = = ，
|| = = ，
因此 cos∠BAC = = = .
知识点 2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
问题 4：设 ，，如何用坐标表示 ⊥ 呢？
由向量垂直可知，如果⊥，则；反之，如果，则⊥.
换用两向量的数量积坐标表示，即为：
如果 ⊥，则 x1x2 + y1y2 = 0；反之，如果 x1x2 + y1y2 = 0，则 ⊥.
综上所述，有
⊥ x1x2 + y1y2 = 0
典例剖析
例 3：已知点 A (1，2)，B (2，3)，C (–2，5)，求证： ⊥ .
证明：因为 = (2，3) – (1，2) = (1，1)，
= (– 2，5) – (1，2) = (– 3，3)，
所以 · = (1，1) (–3，3) = 1×(– 3) + 1×3 = 0；
因此 ⊥ .
例 4：如图所示，已知点 A (2，1)，将向 绕原点 O 逆时针旋转 得到 ，求点 B 的坐标.
证明：由已知可得 || = ||，· = 0；
又因为 = (2，1)，设 B (x，y)，则 = (x，y)，
从而有 ，解得 或 ；
由图可知，点 B 在第二象限，所以 B (-1，2).
B
y
O
x
A
例 5：如图所示，已知正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接 DP，EF. 求证：DP⊥EF .
证明：如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，
正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，
从而 = (1，0)、 = (0，1)；
由已知，可设 P (a，a)，其中 0 < a < 1，则 E (a，0)，F (1，a)，
因此 = (a，a – 1)、 = (1 – a，a)；
又因为 · = a(1 – a) + (a – 1)a = 0，所以 ⊥，因此 DP⊥EF .
y
O
x
A
B
C
D
P
F
E
要点概括整合
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量垂直、夹角的坐标表示
平面向量模的坐标表示