7.3.2 离散型随机变量的方差 导学案（无答案）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差
一、提出问题
问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示：
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？
二、新知探究
1.离散型随机变量的方差概念：一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
… …
… …
则称
为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差.
期望： 方差： 标准差：
思考：方差为什么这样定义？
2.离散型随机变量的方差的深层理解
离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，①越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；②越小，的取值越集中在附近.
3.方差的计算方法：
(1)定义法
(2)期望法：
4.方差的性质：
期望的性质：
证明：.
三、典例解析
【典例1】已知随机变量的分布列为
1 2 3 4
0.2 0.3 0.4 0.1
求和.
【练习巩固1】随机变量的分布列如下表，则 ； .
0 1 2
【典例2】已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
【练习巩固】随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
X 0 1
P a b
【典例3】投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示：（左侧为A，右侧为B）
收益Y元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
(1) 投资哪种股票的期望收益大？ (2) 投资哪种股票的风险较高？
【练习巩固】甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y (单位：s)，其分布列为
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能.
【典例4】若随机变量X满足，其中为常数，求，.
【典例5】若随机变量X服从两点分布，求，.
【练习巩固】已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．