7.4.1二项分布（第一课时）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1二项分布（第一课时）
一、内容与内容解析
1. 内容：重伯努利试验，二项分布的定义及其应用。
2. 内容解析： 概率是随机事件发生可能性大小的度量，引入了随机变量后，沟通了数和随机现象之间的联系，实现了概率从量化的角度简洁、统一地研究随机现象的统计规律性。随机变量的分布列述了变量取值的概率规律，它得出的一般性结论，可以应用到具有不同背景的实际问题中。
独立重复试验是指在相同的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，这种试验在概率论中占有很重要的地位，因为随机现象的统计规律性只有在大量独立重复试验中才能显示出来。在重独立重复试验中，每次试验的结果只有两种，即某事件要么成功，要么失败，并且每一次试验中某事件成功的概率都是相等的。这样的实例在实际生活中是随处可见的，例如：产品检测中，结果要么合格，要么不合格；飞碟射击中要么中靶要么不中靶；医学检验结果要么阴性要么阳性；购买的彩票要么中奖要么不中奖等。本节课通过引导学生在丰富的实际案例中抽象出重伯努利试验概率模型和二项分布的定义。教师通过问题1和追问1、2、3在学生思维的最近发展区内，使其能够从模仿过渡到自主提问，抽象出重伯努利试验的概率模型，这就是二项分布的条件，再通过不同的运算方式发现，用组合数来表示随机事件成功次数的概率更为方便，再由特殊到一般抽象出二项分布的结论，形成概念。教学过程中应注重发展学生数学建模，逻辑推理、数学抽象和数据分析的数学素养，使学生感受数学文化价值、科学价值和应用价值。
教学重点：
重伯努利试验模型的识别；
二项分布的定义和应用。
二、目标与目标解析
1. 目标：
（1）通过具体实例,了解伯努利试验和重伯努利试验及其意义；
掌握二项分布，能利用n重伯努利试验的特征推导二项分布的分布列，并能解决一些简单的实际问题。
2. 目标解析：
（1）本节课通过实例引导学生归纳、分析、再抽象出数学概念。
（2）二项分布的分布列采用特殊到一般的探究方式，目的是为了让学生体验计算过程，唤醒其在建立二项式定理时的经验，从而发现一般的解决方法。
（3）掌握n重伯努利试验的特征,建立二项分布模型,了解利用概率进行决策的思想。
三、教学问题诊断
1. 问题诊断：学生在前面学习了两点分布，能较快接受伯努利试验只包含两种结果的特点，可以很快给伯努利试验下定义，通过对比也可以得到重伯努利试验的定义，但是学生对重伯努利试验的每次试验的等概率性的理解以及关注伯努利试验和重伯努利试验各自的关注点有一定难度。通过追问，在学生思维的最近发展区内，逐步抽象出重伯努利试验的概率模型。
接着通过问题1的合作探究来计算重伯努利试验的概型中中靶概率为的中靶次数的概率分布列，用运算来发现数学规律，“从特殊到一般，抽象出二项分布的定义”的过程有一定难度。教科书类比二项式定理的探究过程，采用由特殊到一般的方法，推导二项分布的分布列，以3次射击为例,求中靶次数X的分布列,借助树状图,利用概率的加法公式及独立事件的乘法公式求P（X=k），接着设置了一个思考栏目，思考当射击次数为4时，如何表示事件(X=k}、如何求P（X=k），最后由特殊到一般地得到X的分布列。在这个过程中,用到了事件的表示、概率的运算法则、组合计数等知识，以及由特殊到一般的推理方法，教学时要让学生独立思考、相互交流，充分经历这个探究过程，提升学生数学抽逻辑推理和数学运算等素养。
例2的难点在于，学生要从现实问题抽象出数学本质，识别出这是10重伯努利试验，以及小球如何才能进入相应编号的格子里，最后明确小球向右落下的次数实际就是格子的编号等一系列问题，然后才能利用二项分布的知识解决问题，课堂上要通过例1的设问，帮助学生建立起确定一个二项分布模型的步骤意识：先识别n重试验模型，再确定二项分布的模型。最后，可以借助网络素材，利用短视频解说高尔顿板的知识背景和原理，拓广学生的视野，了解数学文化，体会数学在生活、跨学科中的应用，感受数学之美。
教学难点：
重伯努利试验的分布列的推导；
二项分布在实际问题中的应用。
四、教学支持条件分析
本节课应该重视以下环节：收集素材，激发兴趣；分析实例，识别模型；展开反思，解释解的实际意义等。教学方法采用了类比、启发、探究、归纳总结等方法。
五、教学过程设计
引导语
我们知道，抛掷一枚硬币，只有两个结果——正面朝上或反面朝上。
1. 情境引入
在实际问题中，也有许多随机试验只包含两个可能结果。例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等。他们都只包含两个可能结果。
定义1：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials)。
我们再看一组随机试验 ：
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币次；
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次；
(3)一批产品的次品率为，有放回地随机抽取件。
他们的共同特点都是将一个伯努利试验独立地重复进行了次。
定义2：将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。
显然，重伯努利试验有以下特征：1、同一个伯努利试验重复做次；2、各次试验的结果相互独立。
追问 伯努利试验和重伯努利试验有什么区别？
【预设答案】伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”，我们只关注某个事件是否发生，重伯努利试验是对一个“只有两个结果的伯努利试验”独立、重复进行了次，我们只关注的这个事件发生的次数，进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。
【设计意图】两点分布是学生已有的知识经验，它是用来描述只有两种结果的试验概型，进而创造思维的最近发展区，引导学生在丰富的实际案例中抽象出重伯努利试验模型，理解重伯努利试验满足的条件和它将解决的问题，通过对比使学生明确重伯努利试验只关注的这个事件发生的次数X，X的概率分布列。
2. 合作探究
问题1 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
师生活动：用Ai表示“第次中靶”（），则P(Ai)=0.8, 这是一个3重伯努利试验， 中靶次数X的值可能为0，1，2，3，列举出试验的所有可能，由它们两两互斥，每个结果都是个互相独立事件的积，由概率的加法和乘法公式，求出中靶次数X的概率分布列得：
X的值 对应的试验结果 相应概率求法 概率
0 P() 0.23
1 、、 P()+P()+P() 3×0.8×0.22
2 、、 P()+P()+P() 3×0.82×0.2
3 P() 0.83
也可以用用树状图表示试验的可能结果。
由分步乘法计数原理，次独立重复试验共有种可能结果，
，
，
，
.
其中次射击恰好次中靶的结果为：，他们的概率都为，并且与哪两次中靶无关，因此次射击恰好次中靶的概率为。
同理可求中靶次，次，次的概率。
于是，中靶次数的概率分布列是
追问1 如果连续次射击，类比上面的分析，中靶次数的分布列是什么？
【预设答案】
追问2 如果连续n次射击，类比上面的分析，中靶次数的分布列是什么？
【预设答案】n
追问3 在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为p，你能抽象归纳出事件发生的次数的分布列计算公式吗？
【预设答案】
【设计意图】通过射击问题让学生经历概念的自主建构过程，体会二项分布满足的条件：1、对立性，一次试验中，事件发生或者不发生二者必有其一；2、独立重复性，试验独立重复进行了次。通过连续追问，引导学生通过特殊到一般，抽象归纳出重伯努利试验模型中，事件发生的次数的概率分布列的计算公式。进而给出二项分布的定义。
3. 概念生成
二项分布的定义：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binominal distribution），记作。
追问 你能解释二项分布定义中的五个量n，p，1-p，k，n-k的含义吗？
【预设答案】为重复试验的次数；p为事件发生的概率；1-p为事件不发生的概率；为事件发生的次数，n-k为事件不发生的次数。
【设计意图】通过复述理解二项分布定义中各个量的含义，加深对二项分布中各个量的含义的理解。
4. 学以致用
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，求：
（1）恰好出现次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率。
师生活动1：教师引导学生建立确定一个二项分布模型的步骤：
识别n重伯努利试验模型。引导学生思考以下问题：其中的伯努利试验是什么？重复试验的次数是多少？各次之间是否独立？若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？
得出：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，这是伯努利试验，设“正面朝上”，则，重复了10次，这是一个10重伯努利试验。
确定二项分布的模型。设正面朝上的次数为X，则X服从二项分布，。
【预设答案】设“正面朝上”，则，用表示事件发生的次数，则。
恰好出现次正面朝上等价为，于是
；
正面朝上出现的频率在内等价为，于是
。
【设计意图】通过问题，引导学生学会建立确定一个二项分布模型的步骤是：先识别n重试验模型，再确定二项分布的模型。然后通过教师板书示范，规范书写过程。
例2 如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为，，，…，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列。
师生活动1：学生思考分析，教师点评，得出：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果，设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，这是一个重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，服从二项分布。
【预设答案】设“向右下落”，则“向左下落”，且。因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，所以。于是的分布列为
。
的概率分布图为下图所示：
师生活动2：教师播放介绍高尔顿板试验的小视频（时长3分钟）。教师补充：视频中多次提到两个关键词——钟形曲线和二项式定理，连接的概率分布图各个矩形的顶点，得到一条钟形曲线，这个跟后面我们即将学习的正态分布曲线高度吻合，这说明二项分布跟后面即将学习的正态分布也有某种联系，而视频中多次提到的二项展开式，实际上二项分布与二项式定理也有着紧密联系。
二项式定理告诉我们： Can-kbk
如果把看成，看成，则就是二项式的展开式的通项。即
。
后面随着我们数学学习的不断深入，同学们能更深入地体会高尔顿板试验对概率论与数理统计的贡献。
【设计意图】利用数学文化知识让学生更全面深入地了解二项分布的概念，体会其中的人文精神和学科间的相互联系和应用，激发学生进一步学习的动力。通过观察对比二项式定理，了解二项分布与二项式定理之间的联系，了解二项分布名字的由来。使学生感受数学文化价值、科学价值和应用价值。
【方法归纳】一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率；
（2) 确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
（3）设为次独立重复试验中事件发生的次数，则。
5. 课堂练习
1、判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）件产品中包含件次品，不放回地随机抽取件，其中次品数。
【设计意图】对二项分布概念的辨析， 使学生进一步理解“次独立重复试验”在具体的问题中是如何体现的，也为下一节“超几何分布”做铺垫。
2、鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒，如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率。
【设计意图】巩固二项分布的概念，并利用概念解决实际问题，表明二项分布广泛的应用价值。
3、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率.
【设计意图】识别n重伯努利试验，建立二项分布模型，并利用二项分布解决实际问题。
6.课堂小结
本节课学习了什么？
1.二项分布的定义：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，
记作X~B(n，p) ．
2.确定一个二项分布模型的步骤:
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B（n，p）.
7. 作业布置
课本第80~81页习题7.4的第2.5.8题
课本第91页的第6.9题
板书设计
二项分布 伯努利试验（只有2个结果） n重伯努利试验 ①重复n次 ②各次独立 二项分布 记作X~B(n，p) 多媒体 例1