天津市北辰区2022-2023学年高二下学期期中检测数学试卷（含解析）

天津市北辰区2022-2023学年高二下学期期中检测数学试卷
一、选择题.（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1．（4分）的值为（　　）
A．10 B．5 C．20 D．4
2．（4分）函数f（x）＝sinx，则f′（0）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）某地教育部门为了解小学生的视力状况，要从该地甲、乙、丙、丁4所小学中随机抽取2所进行检查，则甲小学被抽到的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）曲线y＝xex+2x﹣2在x＝0处的切线方程是（　　）
A．3x+y+2＝0 B．2x+y+2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．3x﹣y﹣2＝0
5．（4分）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（　　）
A．20 B．90 C．120 D．240
6．（4分）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x0）＝4，则＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
7．（4分）（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
8．（4分）已知，则f（x）（　　）
A．在（﹣∞，+∞）上单调递增
B．（﹣∞，1）在上单调递减
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
9．（4分）已知随机变量X～B（6，p），Y～N（μ，σ2），且P（Y≥2）＝，E（X）＝E（Y），则p＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题.（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案填在
10．（4分）已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额y（万元）与月份x（x＝1，2，3，4，5，6）满足线性回归方程y＝2x+28，则该车间上半年的总销售额约为 　 　万元．
11．（4分）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝　 　．
12．（4分）在的展开式中，的系数是 　 　．
13．（4分）用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 　 　．（用数字作答）
14．（4分）甲袋中有4个白球、6个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为 　 　．
15．（4分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞0，若f（2）＝0，则不等式x2f（x）＞0的解集是 　 　．
三、解答题.（本大题共5个小题，共60分）
16．（12分）已知．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x5项的系数．
17．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望．
18．（12分）已知函数，a∈R．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．
19．（12分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，每人各投4个球，两人投篮是否命中的概率互不影响．
（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的分布列．
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程与直线x+4y﹣1＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设0＜m＜n，求证：．
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1．（4分）的值为（　　）
A．10 B．5 C．20 D．4
【解答】解：＝．
故选：B．
2．（4分）函数f（x）＝sinx，则f′（0）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为f（x）＝sinx，
所以f′（x）＝cosx
则f′（0）＝1．
故选：A．
3．（4分）某地教育部门为了解小学生的视力状况，要从该地甲、乙、丙、丁4所小学中随机抽取2所进行检查，则甲小学被抽到的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从该地甲、乙、丙、丁4所小学中随机抽取2所进行检查，
基本事件总数n＝＝6．
甲小学被抽到包含的基本事件个数m＝＝3．
∴甲小学被抽到的概率p＝．
故选：C．
4．（4分）曲线y＝xex+2x﹣2在x＝0处的切线方程是（　　）
A．3x+y+2＝0 B．2x+y+2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．3x﹣y﹣2＝0
【解答】解：y＝xex+2x﹣2，则y'＝（x+1）ex+2，
当x＝0时，y＝﹣2，y'＝3，
所以切线方程为y﹣（﹣2）＝3x，即3x﹣y﹣2＝0．
故选：D．
5．（4分）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（　　）
A．20 B．90 C．120 D．240
【解答】解：共有种不同的选派方案．
故选：C．
6．（4分）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x0）＝4，则＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
【解答】解：因为f'（x0）＝4，
所以＝
＝＝﹣2f'（x0）＝﹣8．
故选：C．
7．（4分）（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
【解答】解：展开式的通项公式是，
当r＝3时，x2y3项的系数为，
解得：．
故选：D．
8．（4分）已知，则f（x）（　　）
A．在（﹣∞，+∞）上单调递增
B．（﹣∞，1）在上单调递减
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
【解答】解：因为，所以，
则当x＜1时f'（x）＞0，当x＞1时f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
当x＝1时函数有极大值，无极小值．
故选：C．
9．（4分）已知随机变量X～B（6，p），Y～N（μ，σ2），且P（Y≥2）＝，E（X）＝E（Y），则p＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为随机变量X～B（6，p），所以E（X）＝6p，
因为Y～，
所以μ＝2，即E（Y）＝2，
又E（X）＝E（Y），
所以6p＝2，即．
故选：B．
二、填空题.（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案填在
10．（4分）已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额y（万元）与月份x（x＝1，2，3，4，5，6）满足线性回归方程y＝2x+28，则该车间上半年的总销售额约为 　210　万元．
【解答】解：由题意可知，该车间上半年的总销售额约为2×（1+2+3+4+5+6）+28×6＝210（万元）．
故答案为：210．
11．（4分）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝　　．
【解答】解：由题意可得1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣p）＝，
所以p＝．
故答案为：．
12．（4分）在的展开式中，的系数是 　　．
【解答】解：由题意可得的通项为，
令，
∴r＝2，
则的系数是．
故答案为：．
13．（4分）用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 　60　．（用数字作答）
【解答】解：用1，2，3，4，5，6这六个数字，
则可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为＝60．
故答案为：60．
14．（4分）甲袋中有4个白球、6个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为 　　．
【解答】解：记事件A1：选取的是甲袋，事件A2：选取的是乙袋，事件B：从选出的袋中取出的一球为红球，
则，，，
由全概率公式可得．
故答案为：．
15．（4分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞0，若f（2）＝0，则不等式x2f（x）＞0的解集是 　（﹣2，0）∪（2，+∞）　．
【解答】解：令G（x）＝x2f（x），
G′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，
因为x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，
所以当x＞0时，G′（x）＞0，G（x）单调递增，
因为f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
所以在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以G（﹣x）＝x2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣G（x），
所以G（x）是奇函数，
所以当x＜0时，G（x）单调递增，
因为f（2）＝0，
所以G（2）＝4f（2）＝0，
又G（x）为奇函数，
所以G（﹣2）＝0，
作出G（x）的大致图像如下：
所以在（﹣∞，﹣2）上，G（x）＜0，
在（﹣2，0）上，G（x）＞0，
在（0，2）上，G（x）＜0，
在（2，+∞）上，G（x）＞0，
所以不等式，x2f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
三、解答题.（本大题共5个小题，共60分）
16．（12分）已知．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x5项的系数．
【解答】解：（1）因为，则n≥7
则n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）＝252，
则252（n﹣5）（n﹣6）＝7!，
则n2﹣11n+10＝0，
则n＝10．
（2）＝的展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r ，
令20﹣＝5，
则r＝6，
则x5项的系数为×＝．
17．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望．
【解答】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，
从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人；
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，
，k＝0，1，2，3．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝＝．
18．（12分）已知函数，a∈R．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．
【解答】解：（1）当a＝2时，，f（1）＝2，
所以切点为（1，2），，
则f'（1）＝1﹣2＝﹣1，
所以切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0．
（2），x＞0，
若a≤1，则f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
所以f（x）在[1，e]上单调递增，
所以，不满足题意；
若1＜a＜e，令f'（x）＜0，解得1≤x＜a，
令f'（x）＞0，解得a＜x≤e，
所以函数f（x）在[1，a）单调递减，（a，e]单调递增，
所以，解得，满足题意；
若a≥e，则f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，
所以f（x）在[1，e]上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，．
19．（12分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，每人各投4个球，两人投篮是否命中的概率互不影响．
（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的分布列．
【解答】解：（1）设事件A为“甲至多命中1个球”，事件B为“乙至少命中1个球”，
则P（A）＝，P（B）＝，
故甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率P（AB）＝P（A）P（B）＝．
（2）由题意可知，乙得分η的可能取值为﹣4，0，4，8，12，
P（η＝﹣4）＝，
P（η＝0）＝，
P（η＝4）＝，
P（η＝8）＝，
P（η＝12）＝，
故η的分布列为：
η ﹣4 0 4 8 12
P
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程与直线x+4y﹣1＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设0＜m＜n，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝﹣a﹣，
∴f′（1）＝4﹣a﹣1＝3﹣a，
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程与直线x+4y﹣1＝0垂直，
∴3﹣a＝4，
∴a＝﹣1．．
（Ⅱ）由题意在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立．
设，
则a≥[g（x）]max．
，
∴a≥4．
（ III）∵0＜m＜n，不等式，
即．
令，则t＞1，
则，
即．
令，
由（Ⅱ）知，在（0，+∞）上单调递减，
∴当t＞1时，h（t）＜h（1）＝﹣3＜0．
故当0＜m＜n时，不等式成立．