江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年度第二学期高一年级期中考试
数学学科
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项。
1．已知向量，，若，则实数（ ）
A．9 B．4 C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿着正北方向航行．若船的航行速度为40 n mile，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时A，B两船的距离是（ ）
A． n mile B． n mile C． n mile D． n mile
5．在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．平行四边形中，，，，，则的值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．已知，，且，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若单位向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，那么
D．若且，则
10．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．直线与为相交直线
B．异面直线与所成角为
C．若是棱上一点，且，则四点共面
D．平面截该长方体所得的截面可能为六边形
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______．
13．计算______．
14．设都是单位向量，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19每题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
16．（本小题满分15分）
如图，在正方体中，若为棱的中点，
图1 图2
（1）判断平面与平面是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；
（2）如图2，求证：平面．
17．（本小题满分15分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期及最小值；
（2）若，求的值．
18．（本小题满分17分）
已知的两个顶点分别为原点和，且，．
（1）求点的坐标；
（2）若点落在第二象限，，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值．
19．（本小题满分17分）
在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．
（2）根据正弦定理，分别表示出灯柱与灯杆的长，即可表示出，再结合正弦函数的性质求出最小值．
2023-2024学年度第二学期高一年级期中考试
数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项。
1．答案：D 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：A
5．答案：D 6．答案：B 7．答案：A 8．答案：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．答案：BC 10．答案：ACD 11．答案：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．答案： 13．答案： 14．答案：
四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19每题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．答案：（1）；（2）
16．答案：（1）延长交于点M，连接，即为两平面交线
（2）连接交于点，连接，可证
17．答案：（1），，
（2）
18．答案：（1）或
（2），
19．答案：
【解答】解：（1）与地面垂直，，，
在中，，
由正弦定理，得，
则，
在中，，
由正弦定理，得，
，
，；
（2）中，由正弦定理，得，
，
，
蒄，蒄，
当时，取得最小值，
故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．