6.3.1—6.3.2用样本估计总体的分布课件（共52张PPT） 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共52张PPT)
§3　用样本估计总体的分布
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
1.了解频数与频率的关系,能够合理利用频率与频数估计总体,提升数学运算的核心素养.
2.掌握频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法,并会灵活应用,提升数据分析的核心素养.
3.能够利用相应的图形解决实际问题,提升逻辑推理及直观想象的核心素养.
学习目标
1
知识梳理
自主探究
问题:某次数学考试中,数学老师统计了他所教的两个班级的成绩,一班有5名同学不及格,二班的不及格率为10%.根据这些数据,你能判断哪一个班级考得更好吗
提示:不能判断,因为一班的总人数不确定.若是一班总人数为50,那么不及格率也是10%,两班成绩一样;如果一班人数多于50,则一班成绩好一些;如果一班人数少于50,则一班成绩差一些.
1.从频数到频率
频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,
也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时, 就更能客观地反映总体分布.在统计中,经常要用 的频率去估计 中相应的频率,即对总体分布进行估计.
频数
频率
样本数据
总体
思考1:什么是频数 如何计算频率
思考2:什么是频率分布表
提示:为了直观地表示样本的频率分布情况,通常将样本容量、每组数据出现的次数以及相应的频率列在一个表格中,这样的表格称为频率分布表.
2.频率分布直方图
(1)在直角坐标系中,横轴表示样本数据,纵轴表示频率与组距的比值,将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示,每个小矩形的底边长是该组的 ,每个小矩形的高是该组的 ,从而每个小矩形的面积等于该组的 ,即每个小矩形的面积=组距× =频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以 的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
组距
频率与组距的比
频率
面积
(2)画频率分布直方图的步骤.
①计算极差.极差是一组数据中最大值与最小值的差.
②确定组距与组数.当样本数据在120个以内时,通常按照数据的多少分成5组～12组.在实际操作中,一般要求各组的组距相等,并且组距应力求“取整”.
③将数据分组.
思考3:频率分布直方图每一个矩形的面积代表什么,各矩形的面积的和有什么特征
提示:矩形的面积代表频率,各矩形的面积的和为1.
3.频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的 开始,用线段依次连接各个矩形的 ,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.
中点
顶端中点
思考4:频率折线图与频率分布直方图有什么联系
提示:频率折线图是在频率分布直方图的基础上,连接各矩形的顶端的中点所得到的一条折线,它以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况.
(2)同一组数据,由于组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图形的形状也不相同.
2
师生互动
合作探究
从频数到频率
[例1] (1)若将容量为100的样本数据分为如下8组,则第3组的频率为(　　)
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
A.0.14 B.0.03
C.0.07 D.0.21
√
(2)如表所示是某校120名学生假期阅读时间(单位:h)的频率分布表,现按分层随机抽样的方法从[10,15),[15,20),[20,25),
[25,30]四组中抽取20名学生了解其阅读内容,那么从这四组中依次抽取的人数是(　　)
分组 频数 频率
[10,15) 12 0.10
[15,20) 30 a
[20,25) m 0.60
[25,30] n 0.05
合计 120 1.00
A.2,5,8,5 B.2,5,12,1 C.4,6,8,2 D.3,6,10,1
√
当两个样本的样本容量相等或者相差不大的情况下,可以用频数比较总体分布的差异;当两个样本的样本容量相差较大的情况下,可以用频率比较总体分布的差异.
针对训练:(1)一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
分组 [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60,
70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在[10,40)内的频率为(　　)
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
√
(2)四组同学从装有若干小球的布袋子中抽球,每次抽取一个,抽完放回.甲、乙、丙、丁四组分别抽取了100次、500次、1 000次、5 000次.则下列计数最可能出现错误的是(　　)
A.甲组抽到了25次红球
B.乙组抽到了121次红球
C.丙组抽到了403次红球
D.丁组抽到了1 255次红球
√
频率分布直方图
角度1　求频率分布直方图纵坐标中的参数
[例2] 某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,已知抽取的样本中日均课余读书时间低于
10 min的有10人,则n,p的值分别为(　　)
A.200,0.015 B.100,0.010
C.100,0.015 D.1 000,0.010
√
针对训练:某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生,测试了立定跳远项目,依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200 cm以上成绩为及格,255 cm以上成绩为优秀,根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是(　　)
A.3%,0.010 B.3%,0.012
C.6%,0.010 D.6%,0.012
√
解析:由频率分布直方图,可得优秀率为0.003×20×
100%=6%.
由(0.003+0.014+0.020+a+0.003)×20=1,
解得a=0.010.故选C.
角度2　根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率(数)
[例3] 某校从参加高一年级期末考试的学生中随机抽取60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段(单位:分):[40,50),
[50,60),…,[90,100],然后画出如图所示的频率分布直方
图,则分数在[60,88)的人数为　　　.
39
(1)根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率就是求样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘样本容量.
(2)频率、频数、样本容量的计算方法.
针对训练:某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间,将他们的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组,整理得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[120,130)内的学生人数为(　　)
A.200 B.240
C.360 D.280
√
解析:由题意及频率分布直方图可得成绩在[120,130)
内的学生人数为800×[1-(0.005+0.010+0.010+
0.015+0.025+0.005)×10]=240.故选B.
频率折线图
[例4] (多选题)如图是某校55名学生期末考试专业成绩的频率折线图,其中组距为10,且本次考试中最低分为50分,最高分为100分.根据图中所提供的信息,下列结论正确的是(　　)
A.成绩是75分的人数为20
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在[70,90)内的人数为35
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
√
√
频率分布直方图和频率折线图能够直观地表明样本数据的分布情况,但是从频率分布直方图及频率折线图本身不能得出原始数据的内容,也就是说,把数据表示成频率分布直方图或频率折线图后,原有的具体数据信息就不完整了.解答有关用坐标系表示的统计图时,关键是理解横坐标和纵坐标的意义,据此转化为解题所需要的频率,最终都是利用频数与频率的关系求解.
针对训练:如图是对某种电子元件进行寿命追踪调查所绘制的频率折线图,请根据该折线图估计该电子元件的寿命分别在1 000～4 000 h内以及4 000 h以上的百分比.
解:由题图可知电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的频率是0.10+0.15+0.40=0.65,
所以估计电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的在总体中占的百分比为65%.
电子元件寿命在4 000 h以上的频率为0.20+0.15=
0.35,
所以估计电子元件寿命在4 000 h以上的在总体中占的百分比为35%.
1.将容量为100的样本数据按由小到大排列分成8个小组,如表所示,但第6组被墨汁污染,则第6组的频率为(　 　)
√
1
2
3
4
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 20 13 ● 12 9
A.0.14 B.0.12 C.0.09 D.0.10
2.下列关于频率分布直方图的高的说法正确的是(　 　)
A.频率分布直方图的高表示取某数的频率
B.频率分布直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的
频率
C.频率分布直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比
D.频率分布直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比
√
1
2
3
4
解析:在频率分布直方图中,纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比,其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积.故选D.
1
2
3
4
3.某拖拉机厂生产了400台新型农用拖拉机,出厂前对这批拖拉机进行了测试,并得出这批拖拉机通过某一路段的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)内的拖拉机的台数大约为(　 　)
A.28 B.70
C.160 D.280
1
2
3
4
√
解析:时速在[50,70)内的拖拉机的频率为(0.03+
0.04)×10=0.7,所以时速在[50,70)内的拖拉机台数大约为400×0.7=280.故选D.
1
2
3
4
4.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是　　　　.
1
2
3
4
50
解析:设该班的学生人数为n,则20×(0.005+0.01)n=15,解得n=50.
[例1] 一家水果店为了解本店苹果的销售情况,记录了过去30天苹果的日销售量(kg),结果如表所示.照此记录,若该店在连续的100天内每天进99 kg的苹果,则该店可以满足顾客需要的天数约为(　　)
83 96 107 91 70 75 94 80
94 84 85 101 87 93 85 107
80 100 75 99 117 89 74
99 55 97 86 84 85 104
A.16 B.32 C.64 D.80
√
[例2] 某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表如表:
生鲜区 熟食区 乳制 品区 日用 品区 其他区
营业收 入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润 占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比),给出下列四个结论:
①本季度该生活超市营业收入最低的是熟食区;
②本季度该生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区;
③本季度该生活超市营业利润率最高的是日用品区;
④本季度该生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.
其中正确结论的序号是(　　)
A.①③ B.②④ C.②③ D.②③④
√
[例3] 为增强学生的节能环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,根据他们的年龄情况绘制成如表所示的频率分布表,以及如图所示的频率分布直方图.
分组(单位:岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
总计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据
(2)补全如图所示的频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数.