8.1—8.3数学建模活动(一)课件（共36张PPT） 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共36张PPT)
第八章　数学建模活动(一)
§1　走近数学建模
§2　数学建模的主要步骤
§3　数学建模活动的主要过程
1.了解数学建模的概念,掌握数学建模的基本过程,提升数学建模的核心素养.
2.在探究数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值,提升数据处理与数学运算的核心素养.
学习目标
1
知识梳理
自主探究
1.数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确立参数、求解模型,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
2.数学建模的一般步骤
(1)提出问题.
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消
失.这就需要透过现象,明确地提出问题.
(2)建立模型.
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.
(3)求解模型.
这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
(4)检验结果.
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.数学建模的过程可用2中的框图表示.
3.课题研究的过程
(1)课题研究的过程主要包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.
(2)选题的概念及相关问题.
①概念:“选题”就是选定研究的问题.
②要选有一定的研究价值,并且是你有能力研究并解决的问题.
③选题来源:a.阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题;
b.研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关的问题;
c.关注一些现实问题、热点问题、身边问题,用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
(3)开题的概念及相关问题.
①开题的概念:“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
②开题主要做的工作:
a.明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的
结果;
b.选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
c.完成开题报告.
③一般的开题形式是开题讨论会,在这个会上,重点做以下两件事:
第一,提交开题报告并在会上介绍,重点讲述:研究的问题,选择此问题的原因及意义,预期研究成果,研究的方法与步骤,可能遇到的困难和对策.
第二,参会人员对开题报告进行讨论,中肯地提出意见和建议,共同完善研究设计.
(4)做题的概念及相关问题.
①做题的概念:“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.
②在“做题”的实践活动中,应当按照数学建模的步骤实施,特别需要关注以下两个问题:
a.建立恰当的数学模型.
建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时,可以用不同的数学形式,建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多,这样的模型需要完善和改进,或者完全放弃这个模型.
b.获取客观真实的数据.
厘清与问题相关的影响因素之后,就需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或
实验.
(5)结题的概念及相关问题.
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲,结题会是结题的基本形式.
一项研究完成之后,要写出报告.报告可以写成论文形
式,也可以写成研究报告表的形式.
2
师生互动
合作探究
数学建模的步骤
[例1-1] [提出问题]　一副扑克牌有54张,从中任取多少张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的
[建立模型]　(1)一副扑克共54张牌,除去大、小王还有52张牌,其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下,只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那问题来了,运气最不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢
(2)假定至少要取N张扑克牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).
[求解模型]　在运气最不好的情况下,每种花色各有4张,再加大、小王2张,共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.
所以N=4×4+2+1=19.
[检验结果]　即从54张扑克牌中任取19张,可以保证一定有
5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题,可以使解题思路清晰、便捷.
[例1-2] [提出问题]　两根同样长的蜡烛,粗蜡烛燃烧完要3 h,细蜡烛燃烧完要1 h.现同时点燃两根蜡烛,一段时间后同时熄灭,发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间
[建立模型]　①设两根蜡烛的长度为l cm,粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x,y(cm/h),则有y=3x;
②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭,剩余粗、细蜡烛的长度分别为R,r,则R=3r.
待定系数法在拟和函数中的应用
[例2] 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102 kg)与上市时间x
(单位:天)的数据如表.
时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·
bx,y=alogax;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.
解:(2)当x=150时,ymin=100(元/102 kg),
即西红柿种植成本最低时的上市天数是150天,最低种植成本是100元/102 kg.
若已知问题中,给出两个或多个函数模型时,常用待定系数法求出函数模型中的参数,然后再用另外的数据拟合,一般根据由函数模型求出的值与实际值差的绝对值较小的作为拟合函数.
针对训练:我国的烟花名目繁多,花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,通过研究,发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)存在函数关系,并得到相关数据如表:
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中,选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系:y1=kt+b,y2=
at2+bt+c,y3=abt,确定此函数解析式,并说明理由;
(2)利用(1)中选取的函数,判断烟花爆裂的最佳时刻,并求出此时烟花距地面的高度.
解:(2)因为h(t)=-4t2+20t+1=-4(t2-5t)+1=-4(t-2.5)2+26(t≥0),所以当烟花冲出后2.5 s是爆裂的最佳时刻,此时烟花距地面的高度为26 m.
1.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x
(单位:岁)与身高y(单位:m)的关系如图所示,则该关系较适宜的函数模型为(　 　)
A.y=ax+b B.y=a+logb x
C.y=a·bx D.y=ax2+b
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√
解析:根据题图可知,较适宜的函数模型为y=a+logbx.故选B.
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3
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2.某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且知该种病毒的繁殖规律为y=ek t(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则经过5 h,1个病毒能繁殖(　 　)
A.1 024个 B.2 048个
C.512个 D.256个
√
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A.9元 B.11元 C.13元 D.15元
√
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4.已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用　　　　作为拟合模型较好.
甲
解析:对于甲,当x=3时,y=32+1=10;对于乙,当x=3时,
y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
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