高中数学人教B版（2019）必修第三册 第7章 7.1.1 角的推广 同步练习 (5)（含解析）

人教B版（2019）数学高中必修第三册
7.1.1 角的推广
一、单选题
1．在直角坐标系中，已知角 α 的终边不在坐标轴上，则式子 |sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα 的值的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合A=x|x2 1=0，则下列式子表示正确的有（　　）
①1∈A② 1∈A③ A④1, 1 A
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．命题 p ：若 sinα=sinβ ，则 α=2kπ+β ；命题 q ：函数 f(x)=ex ex 有且仅有一个零点，则下列为真命题的是（　　）
A． p∧q B．p∧q C．p∧ q D． p∧ q
4．若α=﹣4.72，则α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．给出下列命题，其中正确的是(　　)
(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
(2)终边相同的角必相等
(3)锐角必是第一象限角
(4)小于90°的角是锐角
(5)第二象限的角必大于第一象限角
A．(1) B．(1)(2)(5) C．(3)(4)(5) D．(1)(3)
6．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）
A．k 360°+463° B．k 360°+103° C．k 360°+257° D．k 360°﹣257°
7．已知 α 是第三象限角，且 |cosα2|= cosα2 ，则 α2 是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．给出下列命题：
（1）小于π2的角是锐角
（2）第二象限角是钝角
（3）终边相同的角相等
（4）若α与β有相同的终边，则必有α﹣β=2kπ（k∈Z），正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下列命题正确的是（　　）
A．第一象限角是锐角 B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角，它们终边必不相同
10．函数fx=x3+x 3的实数解落在的区间是（　　）
A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4
二、填空题
11．角 α 的终边与 π6 的终边关于 y=x 对称,则 α=　 　
12．已知角α的终边经过点P（3，3），则与α终边相同的角的集合是　 　
13．已知α，β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为　 　．
14．时钟从6时走到9时，时针旋转了　 　弧度．
15．cos 9π4 +tan（﹣ 7π6 ）+sin21π的值为　 　．
三、解答题
16．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转一周到达OC位置，求∠AOC的大小．
17．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．
18．已知角α∈[﹣30°，120°]；
（1）写出所有与α终边相同的角β的集合A；并在直角坐标系中，用阴影部分表示集合A中角终边所在区域；
（2）在（1）条件下，若 tanα=43，α∈A，求sinα，cosα的值．
人教B版（2019）数学高中必修第三册
7.1.1 角的推广
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解答】当 α 的终边在第一象限时， |sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα=sinαsinα+cosαcosα+tanαtanα=3 ；
当 α 的终边在第二象限时， |sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα=sinαsinα cosαcosα tanαtanα= 1 ；
当 α 的终边在第三象限时， |sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα= sinαsinα cosαcosα+tanαtanα= 1 ；
当 α 的终边在第四象限时， |sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα= sinαsinα+cosαcosα tanαtanα= 1 ，
∴|sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα 的值的个数为2，
故答案为：B.
2.【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解答】①正确，②错，集合间的关系不能用符号，是任何集合的子集，③正确，,④正确.
故选C
3.【考点】复合命题的真假；利用导数求闭区间上函数的最值；正弦函数的定义域和值域；函数的零点
【解答】解：命题P ：若 sinα=sinβ ，则 α=2kπ+β 或α=2kπ+π β，故P为假命题；
命题q：f(x)=ex-ex，则f'(x)=ex-e，则当x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(1)=0，故f(x)仅有一个零点，故q为真命题.
则 p为真命题，则 p∧q为真命题.
故答案为：A
4.【考点】象限角、轴线角
【解答】解：∵﹣ 3π2 ≈﹣4.712 4＞﹣4.72，且﹣4.72＞﹣2π，∴α是第一象限角．
故选：A
5.【考点】象限角、轴线角；终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解答】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，
终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，
锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，
小于90°的角可能是负角，
象限角不能比较大小，
∴（1)（3)的说法是正确的，
故选D．
6.【考点】终边相同的角
【解答】与﹣463°终边相同的角可以表示为：k 360°﹣463°（k∈Z），
即：k 360°+257°（k∈Z）.
故选C.
7.【考点】象限角、轴线角
【解答】 ∵α 是第三象限角，
∴180°+k 360°<α<270°+k 360°,k∈Z ， ∴90°+k 180°<α2<135°+k 180°,k∈Z ，
当 k 是偶数时，设 k=2n,n∈Z ，则 90°+n 360°<α2<135°+n 360°,n∈Z ，此时 α2 在第二象限；
当 k 是奇数时，设 k=2n+1,n∈Z ，则 270°+n 360°<α2<315°+n 360°,n∈Z ，此时 α2 在第四象限；
∴α2 在第二象限或在第四象限，
∵|cosα2|= cosα2 ， ∴cosα2<0 ，
∴α2 在第二象限．
故答案为：B．
8.【考点】象限角、轴线角
【解答】解：（1）小于π2的角是锐角，错误，如-π6<π2，但-π6不是锐角；
（2）第二象限角是钝角，错误，如-4π3是第二象限角，单不是钝角；
（3）终边相同的角相等，错误，如π与﹣π；
（4）若α与β有相同的终边，则必有α﹣β=2kπ（k∈Z），正确．
故选：B．
9.【考点】象限角、轴线角
【解答】由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A不对，
∵终边相同的角相差2kπ，k∈Z，故C，D不对
∴只有B选项是正确的．
故选B.
10.【考点】函数零点的判定定理
【解答】∵，∴，∴函数的实数解落在的区间是，
故选B
二．填空题
11.【考点】终边相同的角
【解答】 y=x 是第一象限的角平分线，所以 a=2kπ+π2 π6=2kπ+π3,k∈Z ，
故答案为： a=2kπ+π3,k∈Z .
12.【考点】终边相同的角
【解答】∵角α的终边经过点P（3，3），则角α的终边在第一象限，且此角的正切值等于33，
故满足条件的锐角是π6，
则与α终边相同的角的集合是 {x|x=2kπ+π6，k∈Z}，
故答案为{x|x=2kπ+π6，k∈Z}．
13.【考点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解答】∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴ ，
∴ α+β=π+2kπ，（k∈z）.
14.【考点】象限角、轴线角
【解答】解：时钟从6时走到9时，时针旋转了- π2 弧度．
故答案为：- π2 ．
15.【考点】运用诱导公式化简求值
【解答】解：cos 9π4 +tan（﹣ 7π6 ）+sin21π
=cos（2π+ π4 ）﹣tan（π+ π6 ）+0
=cos π4 ﹣tan π6
= 22 33 ．
故答案为： 22 33 ．
三．解答题
16．【考点】任意角
【解答】解：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，
∴∠AOC=270°﹣360°=﹣90°．
17.【考点】象限角、轴线角
【解答】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为{a|2kπ﹣π6≤a≤2kπ+5π12，k∈Z}
（2）图（2）阴影部分内的角的集合为{a|kπ+π6≤a≤kπ+π2，k∈Z}
18．【考点】终边相同的角；同角三角函数基本关系的运用
【解答】解：（1）∵角α∈[﹣30°，120°]，
写出所有与α终边相同的角β的集合A={β|β=2kπ+α，k∈Z}．
并在直角坐标系中，用阴影部分表示集合A中角终边所在区域，
如图所示：
（2）在（1）条件下，若 tanα=43=sinαcosα，α∈A，
∵sin2α+cos2α=1，
∴sinα=45，cosα=35．