2023-2024学年江苏省扬州市高邮市树人学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市高邮市树人学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.若中，，若该三角形有两个解，则范围是( )
A. B. C. D.
7.的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中值为的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. ：：
11.已知的三个内角，，的对边分别是，，，面积为，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C. 若是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ______．
13.已知向量，则在上的投影向量的坐标为______．
14.在中，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数为纯虚数，求实数的值
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
若向量与相互垂直，求实数的值．
17.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，且，，求的面积．
如图，平面四边形中，，，，动点，分别在线段，上运动，且，，求的取值范围．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
设，试求函数的相伴特征向量，并求出与反向的单位向量；
已知为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
则在复平面内复数对应的点是，位于第三象限．
故选：．
先利用复数除法运算化简，然后根据复数的几何意义求解即可．
本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，
若，
则可得，
又，
可得．
故选：．
由已知利用余弦定理可求的值，结合，即可求解的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
4.【答案】
【解析】解：易知函数在上单调递增，
又，，
则由函数零点存在性定理可知，函数的零点所在的一个区间为．
故选：．
利用零点存在性定理求解即可．
本题考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，所以．
因为，所以，解得．
故选：．
根据题意，利用向量共线的坐标表示列式计算即可．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由正弦定理，可得，
所以，
因为该三角形有两个解，
所以且，
解得，则范围是．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形解的个数中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦函数两角的和与差的三角函数公式．注意利用好特殊角．
首先把角变成引出特殊角，通过两角差公式进一步化简，最后约分得出结果．
【解答】
解：原式
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：在中，因为，
所以，
所以，
又因为，，三点共线，
所以，
即，
所以，
又，
又，，，
所以
，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项：，选项A错误；
对于选项：，选项B正确；
对于选项：，选项C正确；
对于选项：，选项D正确．
故选：．
利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．
本题考查三角函数求值问题，三角函数公式的应用，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：因为，
所以，即A正确；
对于：设，，
由选项A知，，
所以，
因为，即点是的中点，
所以，
所以，解得，，
所以，，
所以，即B错误；
对于：，
，
，
所以，即C正确；
对于：由上可知，，
所以：：：，即D正确．
故选：．
选项A，由已知可得：：，进而得；选项B，设，，以为基底表示，可构造关于和的方程组，解之，即可作出判断；选项C，根据向量的线性运算法则即可判断；选项D，根据，利用三角形面积比即可判断．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，整理得，
由余弦定理知，
所以，即，
再由，所以，
对于，，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为，故A不正确；
对于，因为为边的中点，所以，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，故B正确；
对于，，
因为是锐角三角形，
所以，可得，
所以，所以，故C正确；
对于，由题意得，
即，
整理得，即，
所以，当且仅当时，等号成立，故D错误．
故选：．
由正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的综合应用，分别对所给的命题进行判断它们的真假．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
所以．
故答案为：．
根据复数的除法运算以及模长公式求解．
本题主要考查复数的除法运算以及模长公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：在三角形中，设，则，且．
由正弦定理得，解得，
显然为锐角，故B．
．
设，．
在中，
．
又在中，．
代入式得：
．
令，则上式可化为，．
，令得，可见．
即，或舍
将代入式得，故因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点
故答案为：．
根据可分析出是直角三角形，画出图形，可设，借助于余弦定理在三角形中表示出，然后再利用三角形借助于余弦定理找到与角的关系，代入表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．
本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题，同时也考查了导数在实际优化问题中的应用．还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力．难度较大，
15.【答案】解：若复数为纯虚数，则，
得，得．
复数对应点的坐标为，
若对应的点在第二象限，
则，得，
得，
即实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义，属于基础题．
根据纯虚数的定义建立不等式组进行求解即可．
根据复数的几何意义求出点的坐标，结合点位于第二象限，建立不等式关系进行求解．
16.【答案】解：根据题意，，，与的夹角为，
；
根据题意，，，向量与互相垂直，
，
解得；
故的值为．
【解析】由，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．
由向量互相垂直的性质得，由此能求出的值．
本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的模的求法，是基础题．
17.【答案】解：由，
可得，，
则；
由，得，
所以，
．
【解析】由同角三角函数关系得到，再利用二倍角公式进行计算；
凑角法，结合正弦和角公式进行计算．
本题考查了三角函数求值，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理得：，
，
，，
，
，；
，且，，，，
在中，由余弦定理得：，
即，解得或舍，
；
以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，由，得，
，，，设，，
由，得，
由，得，
，，
，
当时，取得最小值；当或时，取得最大值，
的取值范围为．
【解析】由条件结合正弦定理化简即可求得；
由余弦定理及三角形的面积公式计算即可；
以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，表示出所需点的坐标，根据向量的坐标运算和二次函数的最值问题即可求得．
本题考查利用正余弦定理解三角形和平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，又，则，所以，
故
．
因为
，
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为．
因为，其相伴特征向量，
故，所以 ，则，
，
设点，又，，
所以，，
若，则，
即，
，
因为，
，故，
又，故当且仅当时，
成立，
故在的图象上存在一点，使得．
【解析】根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；
化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得，继而进一步计算即可；
根据题意确定的值，继而得到函数，继而得到，设点，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案．
本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考查了函数思想，属于中档题．
第1页，共1页