2023-2024学年山东省济宁市曲阜市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市曲阜市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
3.展开式中的一次项系数为( )
A. B. C. D.
4.某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.某工程队有辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分辆工程车，则下列结论正确的是( )
A. 分给甲、乙、丙三地每地各辆，有种分配方式
B. 分给甲、乙两地每地各辆，分给丙、丁两地每地各辆，有种分配方式
C. 分给甲、乙、丙三地，其中一地分辆，另两地各分辆，有种分配方式
D. 分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分辆，另两地各分辆，有种分配方式
8.已知实数，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 的展开式中，的系数为
B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种
C. 已知，则
D. 记，则
11.已知函数，则( )
A. 在上的极大值和最大值相等
B. 直线和函数的图象相切
C. 若在区间上单调递减，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，现要用种不同的颜色对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．
13.若函数在处有极小值，则 ______．
14.若不等式对任意成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式：；
已知，求．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
在的展开式中：
求二项式系数最大的项；
若第项是有理项，求的取值集合．
系数的绝对值最大的项是第几项．
18.本小题分
在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点，飞机降落曲线大致为，其中单位：表示飞机距离着陆点的水平距离，单位：表示飞机距离着陆点的竖直高度假设飞机开始降落时的竖直高度为，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切．
用分别表示和；
若飞机开始降落时的水平速度，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度即关于降落时间单位：的导函数的导数的绝对值不超过，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离的最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，曲线，即：，
且，则，
曲线在点处的切线斜率．
故选：．
先由解析式求出，再求出的值，即可得到结果．
本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，
令，则，
又，所以，
所以的单调递减区间为．
故选：．
求导，令，并结合函数的定义域，得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理及组合数的运算，属中档题．
由二项式定理及组合数的运算得：展开式中的一次项系数为，得解．
【解答】
解：由展开式中的一次项即分别取每个括号中项的系数乘以剩余括号的常数所得结果相加即可，
即展开式中的一次项系数为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：选出的人中既有男生又有女生，则有，
故选：．
先求出所有的选择人的种数，再排除全是男生和全是女生的种数，即可求出．
本题考查了简单的排列组合问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，则，因为，所以，所以在上单调递减．
因为，所以，又不等式可转换为，即，
所以，解得或．
故选：．
构造函数，通过题意判断出在上单调递减，将所求转化为即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在上为增函数，且，
，
，，，
令，，得，
在上单调递增，
，，
令，则，即，即，
．
故选：．
利用指数函数的性质比较可知，的大小，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较，，由此能判断三个数的大小．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数的单调性、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，在辆不同的工程车中选出辆，分给甲地，有种分组方法，
在剩下的辆工程车中选出辆，分给乙地，有种分法，
将最后的辆工程车分给丙地，有种分法，
则有种分配方法，A错误；
对于，在辆不同的工程车中选出辆，分给甲地，有种分组方法，
在剩下的辆工程车中选出辆，分给乙地，有种分法，
在剩下的辆工程车中选出辆，分给丙地，有种分法，
将最后的辆工程车分给丁地，有种分法，
则有种分配方式，B正确；
对于，将辆工程车分为、、的三组，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个工地，有种情况，
则有种分配方式，C错误；
对于，将辆工程车分为、、、的四组，有种分组方法，
将分好的四组安排到四个工地，有种情况，
则有种分配方式，D错误．
故选：．
根据先分组后分配的原则，结合排列组合知识，依次分析选项中结论是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．
利用转化思想，将代换，代换，则，满足：，即，再以代换，可得点，满足因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线和直线平行的切线性质即可得出答案．
【解答】
解：代换，代换，则，满足：，即，
以代换，可得点，满足．
因此求的最小值，
即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．
设直线与曲线相切于点，
，则，
解得，切点为．
点到直线的距离，
则的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【解答】
解：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，，
其展开式的通项公式为，
令，得的通项公式为，
再令，解得，
故的展开式中，的系数为，故A正确，
对于，先放，的卡片有种，再将，，，的卡片平均分成两组再放置有种，
故共有种，故B错误，
对于，，
，解得，故C正确，
对于，令得，，，
展开式通项为，令，
则，
，故D正确．
故选：．
对于，结合二项式定理，即可求解，
对于，先放，的卡片有种，再将，，，的卡片平均分成两组再放置有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解，
对于，结合组合数和排列数的公式，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：，或，
在，上单调递增，在上单调递减．
又，
当时，的极大值为，最大值为，故A错误；
选项B：设直线和函数的图象相切的切点为，
，故，切点为，
显然切点坐标满足，故B正确；
选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，
则，故，故C正确；
选项D：
，
，故D正确．
故选：．
选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断．
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于区域，有种颜色可选，即有种情况，
对于区域Ⅱ，与区域Ⅰ相邻，有种颜色可选，即有种情况，
对于区域Ⅲ，与区域Ⅰ和Ⅱ相邻，有种颜色可选，即有种情况，
对于区域Ⅳ，与区域Ⅱ和Ⅲ相邻，有种颜色可选，即有种情况，
则不同的着色方案有种．
故答案为：．
利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
又在处有极小值，
所以，
解得或，
当时，，
易得为极大值点，不符合题意，
当时，，
易得为函数的极小值点，符合题意．
故．
故答案为：．
先对函数求导，结合导数与单调性及及值关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为对任意成立，
不等式可变形为：，
即，
即对任意成立，
记，所以，
所以在上单调递增，
则可写为：，
根据单调性可知，只需对任意成立即可，
即成立，记，即只需，
因为，故在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以只需即可，解得．
故答案为：
将不等式变形为的形式，构造，求导判断单调性后可知，只需即可，即成立，只需，构造新函数，求导求单调性，求出最值解出的取值范围即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，属于难题，关于恒成立问题的思路如下：
若，恒成立，则只需；
若，恒成立，则只需；
若，恒成立，则只需；
若，恒成立，则只需；
若，，恒成立，则只需；
若，，恒成立，则只需；
若，，恒成立，则只需；
若，，恒成立，则只需．
15.【答案】解：因为，，，
所以不等式可化为，
解得，
又，，
所以不等式的解集为．
因为，，，
所以，
可化为，，
解得舍去或，
所以．
【解析】利用阶乘式代入直接化简，解不等式即可；
先将给的方程套用组合数的阶乘式化简，解方程求出的值，然后计算结果．
本题考查了排列数、组合数公式的应用，以及不等式的与方程的解法，同时也考查了学生的数学运算等核心素养．属于基础题．
16.【答案】解：，
所以切线的斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，即．
，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
，，
综上所述，的单调递增区间，，单调递减区间为，极大值为，极小值为．
若不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
令得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，又，由点斜式，可得切线的方程．
根据题意可得，，求导分析单调性，进而可得极值．
若不等式在上恒成立，则在上恒成立，进而可得在上恒成立，令，，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】解：，，，，，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
，，，，，
当为整数时为有理项，即，，，，，
则的取值集合为；
设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项．
【解析】利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
当为整数时为有理项，即可求解；
设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解．
本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：设，
则，
由题意可知，，即，
解得，．
由可知，，，
设飞机降落时间为，则，
则，，
，
，，
当或时，取最大值，
故，可得．
所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于拔高题．
设，求出函数的导数，得到关于，的方程组，解出即可；
求出的解析式，设飞机降落时间为，则，代入函数的解析式，求出函数的导数，结合题意求出的最小值即可．
19.【答案】解：，，
当时，易知，函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
令，，
，令，，
则，在上单调递增，
当时，，又，
有，，即单调递减，
，，即单调递增，
，而此时，
当时，成立；
当时，可得，，
，
又，存在，使得，即，
，，，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
由，可得，，
下面证明，，
令，，
，
在上单调递增，，
即得证，即成立，
综上，当时，成立．
【解析】求导，按照的正负，讨论正负得解；
令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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