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人教版八年级数学下册课件
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
（1课时）
自主学习
自主导学
1.如果三角形的三边长,, 满足_____________，那么这个三角形是
____________．这个定理叫做勾股定理的逆定理.
2.满足 的三个________，称为________.勾股数___________
______后，仍为勾股数.
直角三角形
正整数
勾股数
扩大相同的倍数
3.互逆命题：题设与结论正好______的两个命题叫做互逆命题．如果把
其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的____命题．一般地，原命题
成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
相反
逆
典例分享
例 已知三角形的三边，，满足 ，
判断三角形的形状，并说明理由.
[答案] 解 ，
，， ，
解得，， .
， .
.
这个三角形是直角三角形.
方法感悟
1.要证明一个三角形是直角三角形，除了可以从角度入手，证明三
角形的一个内角为 外，还可以从边长入手，证明两条短边的平方和
等于最长那条边的平方，即用勾股定理的逆定理来证明.
2.写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论.说明一个命题不
成立时，举出一个反例即可.
轻松达标
1.下面四组数，其中是勾股数组的是( ) .
A
A.3，4，5 B.，， C.，， D.6，7，8
2.满足下列条件的，，分别是，，的对边 不是直角
三角形的是( ) .
C
A. B.
C. D.
3.点，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点.若
是直角三角形，则 的值不可能是( ) .
B
A.4 B.2 C.1 D.0
4.已知三角形的三边长为，，，且满足 ，则这个
三角形的形状是( ) .
D
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
图17.2-1
5.如图17.2-1所示，每个小正方形的边长都为1，
的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角
形称为格点三角形，则点到 的距离等于
( ) .
C
A. B. C. D.
图17.2-2
6.如图17.2-2，以 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为，，，且 ，则
的形状为____________.
直角三角形
图17.2-3
7.如图17.2-3，小亮家建一个鸡舍，垒了一部分后，小
亮用一个卷尺测量三个长度就可以检验垒的墙是不是
直角，小亮应用的数学知识是__________________.
勾股定理的逆定理
图17.2-4
8.如图17.2-4,小红从地向北偏东 方向走 到
地，再从地向西走到达地，此时地与 地
的距离是，则地在 地的__________方向.
北偏西
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立.
（1）同位角相等，两直线平行.
[答案] 两直线平行，同位角相等．该命题成立
（2）三个角都相等的两个三角形是全等三角形.
[答案] 两个全等三角形的三个对应角相等．该命题成立
（3）如果两个数相等，那么它们的绝对值也相等.
[答案] 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．该命题不成立
10.如图17.2-5所示，四边形中，， ，
，， ，求四边形 的面积.
图17.2-5
[答案]
能力提升
11.阅读下列内容，并解决问题.
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一道习题，并对有关
内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1的整
数，，，，那么，， 为勾股数．你认
为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为
勾股数.
关于勾股数的研究：我国殷末周初数学家商高在公元前1000年发现了
“勾三，股四，弦五”，这组数 是世界上最早发现的一组勾股数．
古希腊的毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得等大数学家都试图找出满足
方程 的所有数组的表达式，即勾股数通解公式，但只是分
别给出了一部分勾股数的表达式．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股
数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解
公式的是《九章算术》.
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当 时，请直接写出一组勾股数.
[答案]
（2）若表示大于1的整数，试证明 是一组勾股数.
[答案] 表示大于1的整数，，， 都是正整数，且
是最大边．， 是一组勾股数
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股
数公式不能构造出所有的勾股数.
[答案] 答案不唯一，如：，
中考链接
12.（2020·山西）阅读与思考.
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图
17.2-6所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 ，
现根据木板的情况，要过上的一点，作出 的垂线，用锯子进
行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
图17.2-6
办法一：如图17.2-6，可利用一把有刻度的直尺在 上量出
，然后分别以，为圆心，以与 为半径画圆
弧，两弧相交于点，作直线，则必为 .
图17.2-6
办法二：如图17.2-6 ，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒
上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点 重合，用
铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点 不动，将木棒绕
点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点 ．然后将延长，在延长线上截取线段，
得到点，作直线 ，则 .
图17.2-6
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有
什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
图17.2-6
任务：
（1）“办法一”依据的一个数学定理是__________________.
勾股定理的逆定理
（2）根据“办法二”的操作过程，证明 .
[答案] 由作图方法可知，，， ，
，
． ，即
（3）①尺规作图：请在图17.2-的木板上，过点作出 的垂线.
（在木板上保留作图痕迹，不写作法）
[答案] 如答图2所示，直线 即为所求
答图2
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可）
[答案] 答案不唯一，如：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
（2课时）
第1课时 勾股定理
自主学习
自主导学
如果直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为 ，那么
_________________.
典例分享
例 在中， ，，， .
（1），，求 ；
[答案] 解 在中， ，， ，
.
（2），，求 .
[答案] 在中， ，， ，
.
方法感悟
1.勾股定理适用于直角三角形，在应用此定理之前一定要确认三角形的
形状，并分清楚哪条边是斜边，哪两条边是直角边，然后代入关系式中
求解，即“知二求一”.
2.勾股定理的证明方法有很多种，其基本原理是用两种不同的方法表示
同一个图形的面积，建立等量关系式后化简得到勾股定理.
轻松达标
1.在中，，，的对应边分别是，，，若 ，
则下列等式中成立的是( ) .
C
A. B. C. D.
图17.1-1
2.如图17.1-1，在中， ， ，
，则 ( ) .
B
A. B. C. D.6
图17.1-2
3.如图17.1-2是一个围棋棋盘的局部，整个棋盘是
由边长均为1的小正方形组成的，图中黑、白两棋
子的距离为( ) .
D
A. B.13 C. D.
图17.1-3
4.如图17.1-3，在中， ，
，，于点，则 的长是
( ) .
A.6 B. C. D.
D
图17.1-4
5.如图17.1-4，在中， ，
，垂直平分斜边，交于点， 是
垂足，连接.若，则 的长是( ) .
C
A.4 B.8 C. D.
图17.1-5
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长
为，若 ，小正方形的面积为5，则大正
方形的面积为( ) .
A
A.13 B.14 C.15 D.16
7.在中， ，，则 ____.
50
8.如图17.1-6，点在正方形的边上，若， ，那么
正方形 的面积为___.
3
图17.1-6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
或6
图17.1-7
10.如图17.1-7，已知和 都是等腰直角
三角形， ，为 边上一点，
求证： .
提示：证明，得 ．证
明 ，得
．证明 ，
即可得
能力提升
图17.1-8
11.综合与实践.
美丽的弦图中蕴含着四个全等
的直角三角形.
（1）如图17.1- ，弦图中包含
了一大一小两个正方形，已知每个
直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为 ，结合
图17.1- ，试验证勾股定理.
[答案] 设题图（a）小正方形的面积为， ，
且，即 ，则
（2）如图17.1- ，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，
已知外围轮廓（实线）的周长为24， ，求该飞镖状图案的面积.
[答案] ，设，依题意有 ，解
得，．故该飞镖状图案的面积是
（3）如图17.1- ，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正
方形、正方形、正方形的面积分别为，， .若
，求 的值.
[答案] 将正方形的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一
个设为， 正方形、正方形、正方形 的面积分别为
，，，，由图得出， ，
，
中考链接
图17.1-9
12.（2021·山西）在勾股定理的
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
的方法，简称为“无字证明”．实际
C
A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( ) .
图17.1-10
13.（2023·天津）如图17.1-10，在 中，分别以
点和点为圆心，大于 的长为半径作弧（弧所
在圆的半径都相等），两弧相交于， 两点，直线
分别与边，相交于点，，连接 .
若，，，则 的长为
( ) .
D
A.9 B.8 C.7 D.6
图17.1-11
14.（2023·随州）如图17.1-11，在 中，
，，，为 上一点，若
是的平分线，则 ___.
5
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
（2课时）
第2课时 勾股定理的应用
自主学习
自主导学
在中， ，，，的对边分别为，， ，
根据勾股定理，有，其变形公式为________，
________，__________.
典例分享
图17.1-12
例 某条道路限速 ，如图17.1-12，一辆小汽
车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到
路对面车速检测仪处的正前方的处，过了 ，
小汽车到达 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的
距离为 .
（1）求 的长.
[答案] 解在中，， .根据勾股定理可得，
.
（2）这辆小汽车超速了吗？
[答案] 小汽车的速度为， ，
，
这辆小汽车没有超速.
方法感悟
在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，
即建立直角三角形模型，把实际的量抽象成线段的长度，进而转化为求
直角三角形的边长．如果没有直角三角形，可以添加辅助线构造出直角
三角形.
轻松达标
图17.1-13
1.如图17.1-13，，之间隔有一湖，在与 方向成
角的方向上的点处测得 ，
，则 的长为( ) .
A
A. B. C. D.
图17.1-14
2.如图17.1-14，以数轴的单位长线段为边作一个正
方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半
径画弧，交数轴正半轴于点，则点 表示的数是
( ) .
C
A. B. C. D.2.5
图17.1-15
3.图17.1-15（a）是第七届国际数
学教育大会-7 的会徽，在其
主体图案中选择两个相邻的直角
三角形，恰好能组合成如图17.1-
所示的四边形 .若
D
A. B. C.2 D.
， ，则 的长为( ) .
图17.1-16
4.如图17.1-16，一个工人拿一个长 的梯子，底
端放在距离墙根处，另一端 点靠墙，如果
梯子的顶部下滑，梯子的底部向外滑( ) .
D
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
图17.1-17
5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何．”（其中的丈、尺是
长度单位，1丈尺，1尺 ）其大意为：有一个
水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正
B
A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.15尺
中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，
它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度、芦苇的高度各是多少？如
图17.1-17，则水深为( ) .
图17.1-18
6.将一根的筷子，置于底面直径为 、高
的圆柱形水杯中，如图17.1-18所示，设筷子露
在杯子外面的长度为，则 的取值范围是
( ) .
D
A. B.
C. D.
图17.1-19
7.某会展中心在会展期间准备将高、长 、
宽 的楼道（如图17.1-19）铺上地毯．已知地毯每
平方米30元，则铺完这个楼道至少需要_______元.
1 020
图17.1-20
8.台风是一种热带气旋，它以台风中心为圆心，
在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的
破坏力．如图17.1-20所示，据气象预测，距沿海
某城市的正南方向的 处有一台风中心，
其中心最大风力为12级，每远离台风中心 ，
风力会减弱一级．该台风中心正以 的速度
沿北偏东 方向往 移动，且台风中心风力不
变，若城市所受风力达到或超过四级就会受台风影响.
（1）该城市是否受到台风的影响？请说明理由.
[答案] 该城市会受到这次台风的影响．理由：如答图1，过作
于点．在中， ， ，
城市所受风力达到或超过四级就会受台风影
响， 受台风影响范围的半径为
， 该城市会受到这次台风的影响
（2）若受台风影响，台风影响该城市持续的时间有多长？
答图1
[答案] 如答图1，以为圆心，为半径作 交
于点，，则
台风影响该市持续的路程为
台风影响该市的持续时间
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
[答案] 距台风中心最近， 该城市受到这次台风最大风力为
（级）
能力提升
9.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.
【知识运用】
图17.1-21
（1）如图17.1-21，铁路上， 两点（看作直线上的
两点）相距，， 为两个村庄（看作两个
点），，，垂足分别为， ，
， ，则两个村庄的距离为
____ .
41
（2）在（1）的背景下，若，， ，
现要在上建造一个供应站，使得 ，请用尺规作图在图中作
出点的位置并求出 的距离.
[答案] 连接，作的垂直平分线交于，点 即为所求（图略）.
设，则．在 中，
．在 中，
，
，解得．即的距离为
【知识迁移】
（3）借助上面的思考过程与几何模型，则代数式
（其中 ）最小值为____.
中考链接
图17.1-22
10.（2020·巴中）《九章算术》是我国古代数学的经
典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”
（其中的丈、尺是长度单位，1丈 尺）意思是：
一根竹子，原来高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子
B
A.4尺 B.4.55尺 C.5尺 D.5.55尺
折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多
高的竹子？( ) .
图17.1-23
11.（2021·自贡）如图17.1-23，， ，以
点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点 ，
则点 的坐标为( ) .
D
A. B. C. D.
12.（2023·东营）一艘船由港沿北偏东 方向航行至 港，然
后再沿北偏西 方向航行至港，则， 两港之间的距离为
____ .
50
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第十七章 勾股定理
17章勾股定理
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
勾 股 定 理 勾股 定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为， ，斜
边长为，那么 .
勾股 定理 的逆 定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，， 满足
，那么这个三角形是直角三角形.
2.满足____________的三个正整数，称为勾股数.勾股数同时
扩大相同的倍数后，仍为勾股数.
3.交换一个命题的题设与结论，就将其改写成为原命题的___.
一个命题成立，其逆命题____________成立.
真题剖析
考点1 勾股定理
图1
例1 （2020·贺州）如图1，将两个完全相同的
和拼在一起，其中点与点重合，点 在
边上，连接，若 ，
，则 的长为( ) .
A
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，， .
， .
．故选A.
考点1 变式
图2
（2022·百色）活动探究：我们知道，已知两边和
其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全
等.如已知中， ，， 所
对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个
C
A. B.
C.或 D.或
（我们发现其中如图2的 是一个直角三角形），则满足已知条件
的三角形的第三边长为 ( ) .
考点2 勾股定理的逆定理
图3
例2 （2021·玉林）如图3，某港口 位于东西方向的
海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行
和，后两船分别位于点， 处，且相距
，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，
则乙船沿__________方向航行.
北偏东
[解析] 由题意可知，， ，
，是直角三角形． .
，即乙船沿北偏东 方向航行．
故答案为北偏东 .
考点2 变式
（2023·泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给
出了勾股数，，的计算公式：， ，
，其中，， 是互质的奇数．下列四组勾股
数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) .
C
A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25
考点3 勾股定理的应用
例3 （2020·广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，
书中记载：“今有开门去阃（读 ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问
门广几何？”（其中尺、寸是长度单位，1尺 寸）题目大意是：如图
4、图5（图5为图4的平面示意图），推开双门，双门间隙 的距离为2
寸，点和点距离门槛都为1尺，则 的长是( ) .
图4
图5
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
√
[解析] 如图6所示，于点 .
图6
由题意得 ，
设 （寸），
则，，， .
在 中，
，即 ，
解得 ，
（寸）.
寸.
故选C.
考点3 变式
图7
（2021·岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列
问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、
广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角
线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（其中丈、尺、寸是
长度单位，1丈尺，1尺寸）如图7，设门高为 尺，
根据题意，可列方程为____________________.
单元练习
一、选择题
1.如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组
数是( ) .
A
A.2，3，4 B.3，4，5 C.6，8，10 D.， ，1
2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边
长扩大到原来的( ) .
B
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
图1
3.如图1，已知正方形乙的面积为144，正方形丙的面积
为169，那么正方形甲的面积为( ) .
D
A.313 B.144 C.169 D.25
4.下列命题的逆命题错误的是( ) .
D
A.内错角相等，两直线平行
B.直角三角形的两锐角互余
C.全等三角形的对应边相等
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
图2
5.如图2，在 中，按以下步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于， 两点；
②作直线交于点 ；
③以点为圆心，长为半径画弧交于点 ，连接
， .
B
A.4 B.2 C. D.
若，则 的长为( ) .
图3
6.如图3，在中， ，，点 在
上，，，则 的长为( ) .
D
A. B. C. D.
图4
7.如图4所示，有两棵树，一棵高，另一棵高 ，
两树相距一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，至少飞了( ) .
B
A. B. C. D.
图5
8.如图5，轴、轴上分别有， 两点，以点
为圆心，为半径的弧交轴负半轴于点，则点 的
坐标为( ) .
D
A. B.
C. D.
9.若一个三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则这个三角形一定是( ) .
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
图6
10.如图6，一圆柱高，底面周长是 ，一只蚂蚁从
点爬到点 处，要爬行的最短路程是( ) .
D
A. B. C. D.
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是___.
5
图7
12.如图7，在中， ， 平分
交于点，且，，则点
到 的距离是___.
3
13.在中，，，于点 ，则
_______.
图8
14.在如图8所示的的方格图中，点和点 均为图
中格点.点也在格点上，满足是以 为斜边的直
角三角形.这样的点 有___个.
4
图9
15.如图9，四边形为长方形，过点 作对角线
的垂线，交的延长线于点，取的中点 ，
连接，.设， ，则
的值为____.
16
图10
16.如图10所示，长方形 是矗立在高
速公路水平地面上的交通警示牌，经测量
得到如下数据：， ，
， .则警示牌
的宽____.（结果精确到 ，参
考数据：， ）
2.9
三、解答题
图11
17.如图11，正方形网格中的每个小
正方形的边长都是1，每个顶点叫做
格点.
（1）在图11（a）中以格点为顶点
画一个面积为10的正方形.
[答案] 如答图3所示
答图3
（2）在图11（b）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别
为2，， ，这个三角形的面积为___.
2
[答案] 如答图4所示
答图4
18.如图12，将长方形沿折叠，使点落在边上的点 处，
， ，求：
（1） 的长.
[答案]
图12
（2） 的长.
[答案]
图13
19.在如图13所示的长方体中，， ，
一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点 处，问：
蚂蚁怎样走路径最短？最短路径是多少？
[答案] 蚂蚁从点出发穿过的中点到达点 或从点
出发穿过的中点到达点 的路径最短，最短路径是5
20.著名的赵爽弦图如图14（a）所示，其中四个直角三角形较长的直角
边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为 ，大正方形的面积可
以表示为，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股
定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为 ，那么
.
图14
（1）请你利用图14（b）推导勾股定理.
[答案] 梯形的面积为 ，也可以
表示为， ，即
图14
（2）如图14（c），在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有
两个取水点，，其中，由于某种原因，由到 的路现在已
经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点
，，在同一条直线上，并新修一条路，且 .
测得，，
则新路比原路 少多少千米？
[答案] .
图14
（3）在第（2）问中若时，，， ，
，设，求 的值.
[答案]
提示：
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