编写：王永响 审核：袁海艳
高二数学导学案 2023.02.06 1课时
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时
【课标要求】
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 分类加法计数原理
完成一件事有 不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
过关自诊1.判断正误.
(1)在分类加法计数原理中,n类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( )
2.分类加法计数原理中每类的特征是什么
知识点2 分步乘法计数原理
完成一件事需要 步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
1.判断正误.
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了这件事情.( )
知识点3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
1.联系:都是有关做一件事的 种数的问题.
2.区别:分类加法计数原理针对的是 问题,其中各种方法 ,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是 问题,各个步骤中的方法 ,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
过关自诊1.判断正误.
(1)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.( )
(2)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法解决这类问题.( )
(3)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )
2.当一个事件既需要分步又需要分类时,分步和分类有何先后顺序吗
—————————课中案——————————
探究点一：分类加法计数原理
【例1】 某校高三共有三个班,各班人数如下表:
班级 男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法
(2)从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法
变式训练1
甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( )
A.3种 B.5种 C.8种 D.15种
探究点二：分步乘法计数原理
【例2】 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四个数字的组合号码 (各位置上的数字允许重复)
变式训练2
张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法
探究点三：两个计数原理的应用
【例3】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法
变式训练3
用0到9这十个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 .
规律方法 1.使用两个原理的原则
使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用
问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决.
2.应用两个计数原理计数的四个步骤
(1)明确完成的这件事是什么.
(2)思考如何完成这件事.
(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.
(4)选择计数原理进行计算.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨的升旗任务,安排方法共有( )
A.8种 B.6种 C.14种 D.48种
2.(2022四川雅安检测)某地区设置有A,B,C三个疫苗接种点位,市民可以随机选择去任何一个点位接种,同时每个点位备有两种疫苗供市民选择,且只能选择一种.那么在这期间该地区有接种意愿的人,完成一次疫苗接种的安排方法共有( )
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
3.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )
A.50种 B.60种
C.80种 D.90种
4.一个科技小组中有4名女同学和5名男同学,从中任选1人参加学科竞赛,不同的选派方法共有 种;若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有 种.
5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的1个讲座,不同选法的种数是 . 高二数学导学案 1课时
6.1 第2课时 两个计数原理的应用
【课标要求】
1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别.
2.会综合应用这两个计数原理解决问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点 两个计数原理的联系与区别
1.联系:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别:
类型 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事共有n类方案,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是 “分步”
区别二 每类方案中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的,每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
过关自诊1.判断正误.
(1)分类加法计数是指将完成这件事的所有方式进行分类,每一种方式都能独立完成该事件.( )
(2)分步乘法计数是指将完成这件事分解成若干步骤,当完成所有的步骤时,这个事件才算完成.( )
(3)计数时,若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时,使用间接法会简单一些.( )
2.复杂事件在分类时,如何理解“不重不漏”
—————————课中案——————————
探究点一：组数问题
【例1】 用0,1,2,3,4五个数字,
(1)可以组成多少个三位数字的电话号码
(2)可以组成多少个三位数
(3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数
变式探究
由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数
变式训练1
我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如1 230,2 022),则首位为3的“六合数”共有( )
A.18个 B.12个 C.10个 D.7个
探究点二：抽取(分配)问题
【例2】 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种 B.18种 C.37种 D.48种
变式训练2
张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法
探究点三：涂色问题
【例3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法
变式探究
本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种
变式训练3
如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC 与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有 种.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为( )
A.30 B.20 C.10 D.6
2.某校科技楼共有5层,每层均有两个楼梯,由一楼到五楼的走法有( )
A.10种 B.16种 C.25种 D.32种
3.如图所示,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂1种颜色,要求相邻的2个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种.(用数字作答)
4.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法 高二数学导学案 新授课 2课时
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
【课标要求】
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.
2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能解一些简单的排列应用题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的________
排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个___________.
2.相同排列:两个排列的______完全相同,且元素的___________也相同.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.( )
(2)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( )
(3)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列.( )
知识点2 排列数与排列数公式
1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的___________,用符号_________表示.
3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有______________________________.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做________,用______表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成___________.另外,我们规定,___________.
过关自诊2.判断：
(1)排列数(m,n∈N*,m≤n)表示共有m个数相乘.( )
(2)若a∈N*,且a<20,则(27-a)(28-a)…(34-a)可以表示为.( )
(3)甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有4种.( )
(4)若=9×10×11×12,则m=4.( )
(5)5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有120种.( )
3.你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗 它们有什么区别
—————————课中案——————————
探究点一：简单的排列问题
【例1】 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法
(2)校园歌手大奖赛共有12名选手参加,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况
变式训练1
考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有( )
A.10种 B.60种 C.125种 D.243种
探究点二：排列数公式
变式训练2
规律方法 应用排列数公式时应注意的三个方面
探究点三：“邻”与“不邻”问题
【例3】 7人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种
变式探究
对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种
规律方法 元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列
元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素 插在前面元素排列的空中
变式训练3
五位师傅和五名徒弟站一排.
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法
探究点四：定序问题
【例4】 五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种.
(1)A,B,C三人左中右顺序不变(不一定相邻);
(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻).
变式训练4
元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,
每次取1盏,则不同的取法共有( )
A.32种 B.70种 C.90种 D.280种
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )
A.5 B.10 C.20 D.60
2.设m∈N*,且m<15,则=( )
A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( )
A.24种 B.144种 C.48种 D.96种
4.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_____ 条毕业留言.(用数字作答)
5.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个 能被5整除的有多少个
(2)这些四位数中大于6 500的有多少个 高二数学导学案 新授课 2课时
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
【课标要求】
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个_______.
2.相同组合:两个组合只要__________,不论元素的顺序如何,都是相同的.
※排列与组合的区别与联系
(1)共同点:
(2)不同点:
过关自诊1.判断
(1)1,2,3与3,2,1是不同的组合.( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(3)“10人相互通一次电话,共通多少次电话”是组合问题.( )
知识点2 组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的__________,用符号_______表示.
2.组合数公式: =_________=____________________________=___________________ 这里n,m∈N*,并且m≤n. 另外,我们规定=______.
过关自诊2.判断
(1)=5×4×3=60.( )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得6个积.( )
(3)“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”,叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”.( )
(4)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个.( )
3.“组合”与“组合数”是同一概念吗 它们有什么区别
知识点3 组合数的性质
性质1.__________________
性质2.__________________
过关自诊4.判断
(1)从5个不同元素中取出3个不同元素的组合数与从5个不同元素中取出2个不同元素的组合数不相同.( )
—————————课中案——————————
探究点一：组合概念的理解与应用
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法
规律方法
1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素.
2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.
3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.
变式训练1
下列四个问题中,属于组合问题的是( )
A.从3个不同小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人 1张
探究点二：组合数公式
变式训练2
探究点三：常见的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
变式探究
若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法
变式训练3
(2022北京西城期末)从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法
【课堂小结】
—————————课后案——————————
把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有
_______个. 高二数学导学案 新授课 1课时
6.3.1 二项式定理
【课标要求】
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能记住二项式定理和二项展开式的通项.
3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 二项式定理
这个公式叫做二项式定理.
二项展开式:等号右边的多项式叫做 的二项展开式,二项展开式共有 项
二项式系数:各项的系数 …叫做二项式系数.
过关自诊1 判断正误.
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.( )
(2)的展开式中项的系数为-5.( )
(3) 与的二项展开式的二项式系数相同.( )
2.二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别
知识点2 二项展开式的通项
展开式中的 叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第 项:
小结：二项展开式的通项形式上的特点
（1）它表示二项展开式的第项,该项的二项式系数是 ，不是
(2)字母的次数和组合数的上标相同. (3)与的次数之和为.
过关自诊2 判断正误.
（1）是展开式中的第项.（ ）
（2）展开式中的常数项是.（ ）
2.二项式与的展开式的第项相同吗
—————————课中案——————————
探究点一：二项式定理的正用、逆用
【例1】（1）求的展开式
（2）化简……
变式训练1 （1）化简:
（2），、为有理数，=
探究点二：利用二项式定理求待定项及系数
【例2】已知的二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3. (1)求的值;
(2)求展开式中项的系数及含项的二项式系数.
变式训练2
求 的展开式中的系数及含的项的二项式系数.
探究点三：利用二项式定理解决整除和余数问题
【例3】试判断能否被整除
变式训练3 (1)设,且,若能被整除,则等于( )
A.0 B.1 C.11 D.12
(2)除以所得的余数为 .
规律方法 用二项式定理解决整除(或余数)问题时,一般需要将底数写成除数的整数倍加上或减去 ()的形式,利用二项展开式求解.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1. 的展开式的项数是( )
2.在的展开式中，的系数为( )
3.二项式 的展开式中有理项共有 项.
4.代数式可化简为
5.已知的展开式中的系数为，求的系数的最小值及此时展开式中的系数.
