编写：栾翠翠 审核：袁海艳
高二数学导学案新授课 2023.02.15 1课时
7.1 条件概率与全概率公式
【课标要求】
1.结合古典概型,了解条件概率,掌握条件概率的两种求法.
2.理解全概率公式.
3.能够利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则_________________.我们称该式为概率的乘法公式.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)P(A|B)=P(B|A)恒成立.( )
(2)事件A发生的条件下,事件B发生的概率,等于A,B同时发生的概率.( )
2.(1)P(B|A)与P(AB)有何区别
(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少
知识点2 条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= ;
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=
2.某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的条件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 .
知识点3 全概率公式
1.定义:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有 ,我们称此公式为全概率公式.
*2.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,
有 .
2过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|).( )
(2)全概率公式为概率论中的重要公式,它将一个复杂事件的概率求解问题,转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.( )
(3)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率.( )
(4)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能,在这多种可能中,均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.( )
2.设1 000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格产品的概率为 .
3.一个盒子中有6只白球,4只黑球,不放回地每次任取1只,连取2次,则第二次取到白球的概率为 .
—————————课中案——————————
探究点一：利用条件概率公式求条件概率
【例1】 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
变式探究1
在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.
变式探究2
若甲先取(放回),乙后取,设事件M为“甲抽到的数大于4”,事件N为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(N|M).
变式训练1
某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表:
(1)求选到的是共青团员的概率;
(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率;
(3)已知选到的是共青团员,求他是第一小组学生的概率.
探究点二 求互斥事件的条件概率
【例2】 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9这十个数中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过3次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,不超过3次就按对的概率.
变式训练2
在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
探究点三 全概率公式的应用
【例3】 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大.
变式训练3
1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱取出的球是红球的概率.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
2. 2.盒中有10只同一型号的螺丝钉,其中3只是坏的,现在从盒中不放回地依次抽取两只,则在第一只是好的的条件下,第二只是坏的概率为( )
A. B. C. D.
3.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 .
4.5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为 . 高二数学导学案新授课 1课时
7.2 离散型随机变量及其分布列
【课标要求】
1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.
2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.
3.会求简单的离散型随机变量的分布列.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 离散型随机变量
1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 .可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.
2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限可列个.( )
(2)离散型随机变量的取值是任意的实数.( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( )
2.随机变量和函数有类似的地方吗
知识点2 概率分布列
1.分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率 ,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称 ,分布列的表格表示如下:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi 0,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( )
(2)在离散型随机变量分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积.( )
(3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为1.( )
2.离散型随机变量的各个可能值表示的事件有何特点
知识点3 两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()= ,那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从 或 .
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.( )
(2)两点分布中由对立事件的概率求法可知:P(X=0)+P(X=1)=1.( )
2.若离散型随机变量X的分布列如表所示,则a的值为( )
X -1 1
P 4a-1 3a2+a
—————————课中案——————————
探究点一：离散型随机变量的概念
【例1】 下列变量是离散型随机变量的是 .(填序号)
①下期某闯关节目中过关的人数;
②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;
③在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;
④水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
变式探究：
将本例的④改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29 m),X是离散型随机变量吗
变式训练1
①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;②某网站中某歌曲一天内被点击的次数;③射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B.仅①②
C.仅①③ D.仅②③
变式训练2
写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数Y;
(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.
探究点二：离散型随机变量的分布列与性质
【例2】 从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
变式训练3
袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.
【例3】 设离散型随机变量X的分布列为
求2X+1的分布列.
变式探究 ：若例3的条件不变,求随机变量Y=|X-1|的分布列.
探究点三：两点分布
【例4】 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即
X=求X的分布列.
从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②某道路斑马线一天经过的人数X;
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.仅③④
2.若随机变量Y的分布列如表所示:
则当P(Y
A.x≤1 B.1≤x≤2
C.13.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为Y,则Y<2表示的试验结果是 .
4.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)= .
5.设X为一个离散型随机变量,其分布列为
则P(X≤0)= .
6.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中所有的白球的个数;
(2)求随机变量X的分布列;
(3)求甲取到白球的概率.高二数学导学案新授课 1课时
7.3.1 离散型随机变量的均值
【课标要求】
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念和性质,能计算简单离散型随机变量的均值.
2.掌握两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关的实际问题.
—————————课前案——————————
知识点1 离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)= = 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
2.已知X的分布列为
则X的均值为( ) A.0 B.-1 C. D.
知识点2 两点分布的均值
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=_________________ = .
过关自诊
1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)= .
2.已知离散型随机变量X的取值为-1和1,且P(X=1)=p,则该随机变量服从两点分布吗 该随机变量的均值是多少
知识点3 离散型随机变量均值的性质
一般地,下面的结论成立:E(aX+b)= .
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(5X)=10.( )
(2)对于结论E(aX+b)=aE(X)+b,当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.( )
2.已知随机变量X的分布列如下，则E(X)= ,E(2X-1)= .
—————————课中案——————————
探究点一：求离散型随机变量的均值
【例1】 袋中有4个红球,3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.
变式训练1
盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
探究点二：离散型随机变量的均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X,则E(Y)= .
变式探究
本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=- ,求a的值.
变式训练2
已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为( )
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
探究点三：均值的简单应用
【例3】 (2022河南郑州月考)有9张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机抽取3张.
(1)求抽取的3张卡片上的数字中任意2个均不在下表的同一行,且不在同一列的概率;
(2)若抽取的3张卡片上的3个数字均为奇数或均为偶数记为情况①;若3个数字位于下表的同一行或同一列或同一对角线上记为情况②.当同时满足①②两种情况得3分;仅满足情况①得2分;仅满足情况②得1分;其他情况得0分.求得分的分布列及均值.
变式训练3
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.设随机变量X的分布列如表,且E(X)=1.6,则a-b等于( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4
2.已知0ξ -1 0 1
P a b
则当a增大时,E(ξ)的变化情况是( )
A.E(ξ)增大
B.E(ξ)减小
C.E(ξ)先增大后减小
D.E(ξ)先减小后增大
3.(2022陕西宝鸡二模)已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)= ,X的分布列为
X -1 0 1
P a b
则a,b的值分别为( )
A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b=
4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是 . 高二数学导学案新授课 1课时
7.3.2 离散型随机变量的方差
【课标要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn- E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn = =
为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( )
(2)若a是常数,则D(a)=0.( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.( )
(4)标准差与随机变量本身有相同的单位,在实际问题中应用更广泛.( )
2.随机变量的方差与样本的方差有何不同
知识点2 离散型随机变量的方差的性质
1.一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).
2.一般地,随机变量X服从两点分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)当a,b均为常数时,随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=aD(ξ).( )
(2)设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为4.( )
2.两点分布的方差是定值吗
————————课中案——————————
探究点一：求离散型随机变量的方差
【例1】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差.
变式训练1
袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.
探究点二：离散型随机变量的方差的应用
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
【例2】 甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.设随机试验的结果只有A发生和A不发生,且P(A)=m,令随机变量
A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m)
2.若随机变量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),则下列结论正确的是( )
ξ 0 1
P m n
A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3 B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2
C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2 D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2
3.(多选题)(2022湖南岳阳一模)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)= ,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
4.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,求E(ξ)和D(ξ).高二数学导学案新授课 1课时
7.4.1 二项分布
【课标要求】
1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.
2.能用二项分布解决简单的实际问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点 二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验.
2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
3.二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X=k)= ,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
4.二项分布的均值与方差
(1)两点分布:若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在n重伯努利试验中,各次试验中某事件发生的概率可以不同.( )
(2)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.( )
(3)二项分布就是两点分布.( )
2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗
—————————课中案——————————
探究点一：n重伯努利试验概率的求法
【例1】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
变式探究1
在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
变式探究2
在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.
变式训练1
某气象站天气预报的准确率为80%,计算:
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
探究点二：两点分布与二项分布
【例2】 某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
变式训练2
(2022重庆期末)某射击队对9位运动员进行射击测试,每位运动员进行3次射击,至少命中2次则通过测试,已知每位运动员每次射击命中的概率均为 ,各次射击是否命中相互独立,且每位运动员本次测试是否通过相互独立,设9位运动员中有X人通过本次测试,则E(X)= .
探究点三 二项分布的应用
【例3】 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
变式训练3
在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是 .
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.(多选题)下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有( )
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M2.一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子,若出现的点数是2倍关系,则称这次抛掷“漂亮”.规定一次抛掷“漂亮”得分为3,否则得分为-1.若抛掷30次,记累计得分为ξ,则下列选项不正确的是( )
A.抛掷一次,“漂亮”的概率为 B.ξ=2时,“漂亮”的次数必为8
C.E(ξ)=-10
3.若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p= ,则n= ,D(X)= .
4.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)= ,则D(η)= . 高二数学导学案新授课 1课时
7.4.2 超几何分布
【课标要求】
1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点 超几何分布
1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
2.超几何分布的均值:E(X)= =np(p为次品率).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)超几何分布的总体里只有两类物品.( )
(2)超几何分布的模型是放回抽样.( )
(3)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”等.( )
2.超几何分布与二项分布的期望值有何规律
—————————课中案——————————
探究点一：超几何分布概率公式的应用
【例1】 从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.
变式训练1
在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)
探究点二：超几何分布
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
变式探究
在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
探究点三 二项分布与超几何分布的区别与联系
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
变式训练2
在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;
(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有( )
A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X
2.从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是“3”的概率可表示为( )
3.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是 .
4.某导游团有外语导游10人,其中6人会说日语,现要选出4人去完成一项任务,则有2人会说日语的概率为 .
5.(2022江苏常州检测)在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列;
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.高二数学导学案 新授课 1课时
7.5 正态分布
【课标要求】
1.利用实际问题的直方图,了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+ 2σ],[μ-3σ,μ+ 3σ]的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.
—————————课前案——————————
【知识梳理】
知识点1 正态曲线
函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称 (如图所示).
过关自诊1
1.判断正误.
(1)函数f(x)= (x∈R)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
(2)正态密度函数f(x)的值可正可负,但不能为0.( )
(3)正态密度函数的图象与x轴之间区域的面积是变化的.( )
2.下列函数是正态分布密度函数的是( )
知识点2 正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为 .特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从 .
如图所示,X取值不超过x的区域P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
符合正态分布的随机变量X的取值在区间[a,b]上的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.( )
2.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么
知识点3 正态曲线的特点
1.曲线位于x轴 ,与x轴 .
2.曲线是单峰的,它关于直线 对称.
3.曲线在 处达到峰值
4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
5.曲线与x轴之间的面积为 .
6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿 平移,如图①.
7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“ ”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“ ”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( )
(2)正态曲线可以关于y轴对称.( )
(3)正态曲线的“胖瘦”由σ决定.( )
2.(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)= (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ1=μ2 D.σ2<σ3
知识点4 正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
1.三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
2.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
过关自诊
设X~N(1,22),试求: (1)P(-1≤X≤3); (2)P(3≤X≤5); (3)P(X≥5).
—————————课中案——————————
探究点一：正态曲线的应用
【例1】一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.
变式训练1
若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为 ,则该正态分布密度函数的解析式为 .
探究点二：正态分布下的概率计算
【例2】 (1)(2022安徽亳州期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,则P(2<ξ<3)=( ) A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32
(2)设X~N(5,1),求P(6≤X≤7).
变式训练2
(1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)= .
(2)若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)约为多少人.
【课堂小结】
—————————课后案——————————
1.设有一正态分布,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且f(x)= ,则这个正态分布的均值与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=( )
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
3.某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为110,标准差为10,则估计成绩在110分到120分的人数约为(
A.8 B.16 C.20 D.32
4.在某项测量中,测量结果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在[2,3]内取值的概率为 .