2023-2024学年度第二学期第一次月考
高二年级数学试题
满分;150分；考试时间：100分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
老师寄语：决心就是力量，信心就是成功。灰心就是懦弱，死心就是失败！
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（本题5分）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（本题5分）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（本题5分）若函数在处取得极值1，则（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．2
7．（本题5分）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．（本题6分）已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
11．（本题6分）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
第II卷（非选择题）
老师寄语：我一定能学好它，心诚则灵！
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）函数从到的平均变化率为 ．
13．（本题5分）若函数的导函数为，且满足，则 ．
14．（本题5分）函数极值点为 ．
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）﹔
（3）
16．（本题15分）已知函数．
(1)求函数的图象在点的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
17．（本题15分）已知函数，且当时，有极值．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
18．（本题17分）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
19．（本题17分）已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2023-2024学年度第二学期第一次月考
高三年级数学试题答案
参考答案：
一、单选题
1-5：BBBDB
6-8：CCC
二、多选题
9．ABC 10．BC 11．ACD
三、填空题
12． 13．10.8 14．
四、解答题
15．(1)(2)
【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）
，
令，，
得，，，
所以的单调递增区间为；
（2）
由（1）知，，
又，∴，所以，，
由正弦定理及，得，，
∴，整理得，，
又，∴，所以角B的大小为.
16．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.
【详解】（1），则
即解得，经验证满足题意，
（2）
令解得或
1°当时，在上单调递增
2°当时，在，上单调递增，上单调递减
3°当时，在，（上单调递增，上单调递减
17．(1)列联表答案见解析，有的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）由频率分布直方图求出样本中指标值不小于60和标值小于60的人数，即可完成列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出注射疫苗后产生抗体的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式得到分布列，即可求出数学期望；
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，样本中指标值不小于60的人数为，则标值小于60的人数为80.
所以列联表如下：
指标值小于60 指标值不小于60 合计
有抗体 40 80 120
没有抗体 40 40 80
合计 80 120 200
.
所以有的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”.
（2）解：注射疫苗后产生抗体的概率，
由题可知，，
∴，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
所以.
18．(1)
(2)
【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；
(2)利用裂项相消求和.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.
【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
