22.6 正方形 课件(共19张PPT)冀教版八年级数学下册

(共19张PPT)
22.6 正方形
第二十二章 四边形
学习目标
1.了解正方形的有关概念，了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.
2.理解并掌握正方形的性质、判定方法．能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题.
学习重难点
理解并掌握正方形的性质、判定方法．
理解并掌握正方形的性质、判定方法．
难点
重点
回顾复习
菱形
有一个邻边相等的平行四边形叫做菱形.
定义
性质定理
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直
菱形的每条对角线平分一组对角
判定定理
四条边相等的四边形是菱形
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
新知引入
知识点1 正方形的定义和性质
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
大家谈谈
1.正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它有几条对称轴，都是哪些直线？
是轴对称图形，有四条对称轴
四边形
平行四边形
矩形
两组对边
分别平行
有一个角是直角
菱形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等
正方形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,
也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.
2.正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系
矩形
菱形
正
方
形
3.正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质，正方形都有.
性质：1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形
2.正方形的四个角都是直角；
3.四条边相等，对边平行；
4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角.
知识点2 正方形的判定
判定一个四边形是正方形，
只要这个四边形既是矩形又是菱形即可.
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
判定定理4：对角线相等的菱形是正方形.
例题示范
证明：在△AED和△AEB中，
∵AD=AB，AE=AE，∠DAC=∠BAC=45°，
∴ AED AEB.
∴BE=DE.
1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上.
求证：BE=DE.
A
B
C
D
E
证明：∵ ∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠ABE= ∠DCE=30°.
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA==15°.
2.已知：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形.
求证：∠EAD=∠EDA=15°
A
B
C
D
E
做一做
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
∴△AEN△BFE△CMF△DNM,
A
B
C
D
E
F
M
N
∴EN=FE=MF=NM，
∴四边形EFMN是菱形，
又∠ANE=∠BEF,
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
A
B
C
D
E
F
M
N
随堂练习
1. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若要使2该四边形称为正方形，则添加一个条件可以是 ( )
A.∠D=90°
B.AB=CD
C.AC=BD
D.BC=CD
D
2. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP,PB为边在AB同侧作正方形APCD，正方形PBEF，设∠CBE=α，则∠AFP为 ( )
A. 2α
B. 90°－ α
C. 45°＋α
D. 90°－ α
B
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F.则PE+PF=______.
2
拓展提升
1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为______.
2. 顺次连接对角线相等且垂直的平行四边形中点所得的四边形一定是 ( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
D
3. 已知，如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上一点，若DE=AD，∠DAE=67.5°，求证：菱形ABCD是正方形.
证明：∵ DE=AD，
∴∠DAE= ∠DEA.
∵∠DAE=67.5°，∴∠DEA=67.5°.
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE= 180°，
∴∠ADE==45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AB∥DC.
∴∠ABD= ∠ADB，∠CDB= ∠ABD.
∴∠CDB= ∠ABD=45°.
∴∠ADC=45°+45°=90°
∴菱形ABCD是正方形.
归纳小结
正方形
有一个邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.
定义
性质定理
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
判定定理
判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.