人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》同步教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》同步教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-07 09:34:10 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》同步教学设计
28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角的正弦
教师备课 素材示例
●情境导入 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.
根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
【教学与建议】教学：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，那么它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．建议：根据问题中的数据，无法用已学过的知识和方法解决这个问题．学生会产生“怎么办呢？”的疑惑．由此导入学习锐角三角函数知识．
●复习导入 问题：1.直角三角形边和角有哪些性质？
2．有一个锐角是30°的直角三角形有什么性质？
3．有一个锐角是45°的直角三角形有什么性质？
4．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
【教学与建议】教学：通过复习直角三角形中30°，45°角的性质，导入正弦概念，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：教师提出问题后，学生积极思考，由问题4导入课题．
*命题角度1 在直角三角形中求锐角的正弦值
在直角三角形中，锐角的正弦表示这个角的对边与斜边的比，借助勾股定理或者直接根据定义可求出锐角的正弦值．
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B的值是(D)
A． B． C． D．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是 ____．
*命题角度2 根据网格图求锐角的正弦值
把三角形放到网格图中，可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后求某个内角的正弦值．
【例3】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC等于(A)
A． B． C． D．
【例4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是____．
*命题角度3 利用正弦值求直角三角形的边
在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值，确定一条直角边的长，可求直角三角形其他各边的长．
【例5】在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sin A＝，则AB的长是(D)
A．12 B．8 C．9 D．10
【例6】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.若sin ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为____．
*命题角度4 根据平面直角坐标系中点的坐标求锐角的正弦值
利用点的横、纵坐标的含义，可构造出直角三角形求平面直角坐标系中的锐角的正弦值．
【例7】如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α等于(A)
A． B． C． D．
【例8】直线y＝x＋2与x轴相交于点A，与y轴交于点B，则∠OAB的正弦值是____．
*命题角度5 构造直角三角形求锐角的正弦值
求一个锐角的正弦值时，若这个角不在直角三角形中，一般需要等角代换，或添加辅助线，构造直角三角形求解．
【例9】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB＝90°，则sin α的值是____.
高效课堂 教学设计
1．理解锐角正弦的概念，能够运用sin A表示直角三角形两边的比值及进行简单的计算．
2．体会数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用．
▲重点
理解锐角正弦sin A的意义，能用它进行简单的计算．
▲难点
领悟正弦的概念．
◆活动1 新课导入
投影展示教材P61引例(扬水站建设中的问题)．
提出：你能将实际问题归结为数学问题吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P61 问题．
提出问题：
(1)问题中是根据什么求出水管长度的？
(2)如果出水口的高度是40 m时，需要准备多长的水管？
(3)如果出水口的高度是a m时，需要准备多长的水管？你从中发现了什么规律？
(4)教材P61第1个思考，由此你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P61 第2个思考．
提出问题：
(1)已知条件是什么？要求的是什么？我们可以根据什么定理来求解？根据勾股定理，你列出的等式是什么？的值与三角形的大小有关系吗？由此，你能得出什么结论？
(2)在上面求AB(所需水管的长度)和∠A的对边与斜边的比的过程中，你能得出什么结论？同学间可以相互交流．
(3)当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
学生完成并交流展示．
3．教材P62 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个__固定值__．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的__对边与斜边的比__叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝____．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P63 例1.
例2 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α且sin α＝，AB＝4，求AD的长．
解：∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ADE＝∠BAC，∴sin α＝sin ∠BAC＝＝.设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4，∴x＝，∴AD＝BC＝.
例3 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为，AC＝2，求sin B的值．
解：连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin D＝＝.由圆周角定理，得∠B＝∠D，∴sin B＝sin D＝.
练习
1．教材P64 练习第1题．
2．如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____．
3．如图，把含30°角的三角尺ABC绕点B按逆时针方向旋转90°到三角尺DBE的位置，连接AD，求sin ∠ADE的值．
解：过点E作EF⊥AD于点F.设BD＝x.由旋转的性质，得∠ABD＝90°，AB＝BD＝x，∠EDB＝30°，∴∠DAB＝45°，AD＝x.在Rt△DBE中，易得BE＝x，∴DE＝＝x，AE＝AB－BE＝x－x＝x.∵∠AFE＝90°，∠DAB＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴易得EF＝AF＝·AE＝x.在Rt△DEF中，sin ∠ADE＝＝.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
正弦的定义及运用．
1．作业布置
(1)教材P64 练习第2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 锐角的余弦和正切
教师备课 素材示例
●归纳导入 1.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__＝＝__＝k.在Rt△ABC中，当锐角A的度数__一定__时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是__唯一确定__的．
2．当∠A＝30°或∠A＝45°时，∠A的邻边与斜边的比是多少？
【归纳】当锐角A的度数一定时，无论直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是唯一确定的．
【教学与建议】教学：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生发现邻边与斜边的比是确定的．建议：让学生自主发现，归纳规律．
●复习导入 复习提问：
1．在直角三角形中，当一个锐角的大小一定时，它的对边与斜边之间有什么关系？
2．什么是正弦？如何求一个角的正弦？
3．探究正弦的概念时，我们用了什么方法？
4．类比正弦的情况，当锐角A大小确定时，∠A邻边与斜边的比也是确定的吗？
【教学与建议】教学：先复习提问，再类比探究锐角的正弦的过程来探究锐角的余弦和正切．建议：通过画图强调锐角的正弦的内涵是无论直角三角形大小如何，当锐角的度数一定时，它的对边与斜边的比都是固定值．
*命题角度1 直接求直角三角形锐角的三角函数值
已知直角三角形的两边长，用勾股定理求出第三边长，再根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cos B＝____，tan A＝____．
*命题角度2 构造直角三角形，求锐角的三角函数值
根据等腰三角形、菱形、圆等图形的性质，构造直角三角形，再求直角三角形的锐角三角函数值．
【例2】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
A．2 B． C． D．
【例3】已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为____．
【例4】如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____.
*命题角度3 转化等角，求锐角的三角函数值
借助几何图形的性质或全等(或相似)等知识进行等角的转化，从而求解．
【例5】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(B)
A． B． C． D．
【例6】如图所示，∠1的正切值等于____．
*命题角度4 利用已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值
根据已知角的三角函数值确定其他三角函数值，设参数表示两边长，结合勾股定理及锐角三角函数的定义求解．
【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是(B)
A． B． C． D．
【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝____．
*命题角度5 利用锐角三角函数求边长
根据锐角三角函数的定义及三角函数值表示出直角三角形的边，结合勾股定理求解．
【例9】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是(D)
A．10 B．8 C．4 D．2
【例10】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sin A的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝.
在Rt△ACD中，sin A＝＝＝.
高效课堂 教学设计
1．理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义．
2．能运用余弦、正切的定义解决问题．
▲重点
理解锐角三角函数的意义，用它们进行简单的计算．
▲难点
以函数的角度理解正弦、余弦、正切．
◆活动1 新课导入
1．sin 30°＝____，sin 45°＝____．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值__不变__.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则AC的长为____．
◆活动2 探究新知
1．教材P64 探究．
学生完成并交流展示．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.
(1)求证：＝；＝；
(2)当∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比确定吗？它的对边与邻边的比呢？
◆活动3 知识归纳
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__邻__边与__斜__边的比，叫做∠A的余弦，记作__cos__A__，即cos A＝____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__对__边与__邻__边的比，叫做∠A的正切，记作__tan__A__，即tan A＝____．
3．锐角A的__正弦__、__余弦__、__正切__都叫做∠A的三角函数值．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P65 例2.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sin A和cos A的值．
解：∵tan A＝＝，设BC＝2k，则AC＝3k，∴AB＝＝＝k，∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
例3 已知关于x的方程x2－5x·sin α＋1＝0的一个根为2＋，且α为锐角，求cos α.
解：设方程的另一个根为x2，则(2＋)x2＝1，∴x2＝2－.根据根与系数的关系，得5sin α＝(2＋)＋(2－)，解得sin α＝.设锐角α所在的直角三角形的对边长为4k(k>0)，则斜边长为5k，邻边长为3k，∴cos α＝＝.
练习
1．教材P65 练习第1，2题．
2．如图，点A为∠α边上的任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( C )
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在边BC上，连接AD.若tan ∠CAD＝，则BD的长为__6__．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α.
(1)试写出α的正弦、余弦、正切这三个三角函数值；
(2)若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．
解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝3，∴sin α＝，cos α＝，tan α＝2；
(2)BD＝9，AB＝6.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
锐角三角函数
1．作业布置
(1)教材P68 习题28.1第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 特殊角的三角函数值
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，身高1.6 m的小敏用一个两锐角分别是30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠CAD＝30°).已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树大约有多高？
【教学与建议】教学：利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”和勾股定理等知识，计算CE的长度．建议：学生自己回答上述问题，为学习特殊角的三角函数值做好铺垫．
●归纳导入 请同学们拿出一副三角尺，思考并回答下列问题：
1．这两块三角尺各有几个锐角？分别是多少度？
2．在前面我们已经得到sin 30°＝，sin 45°＝.如图，根据前面的知识，求出各锐角的三角函数值．
【归纳】sin 30°＝____，cos 30°＝____，tan 30°＝____，sin 45°＝____，cos 45°＝____，tan 45°＝__1__．
【教学与建议】教学：用学生熟悉的三角尺，结合所学的直角三角形和等腰三角形知识来导入，通俗易懂．建议：问题设置成练习题或探究题，让学生思考、练习、探究．
*命题角度1 直接求特殊角的三角函数值
要熟记30°，45°，60°角的锐角三角函数值．
【例1】cos 30°的值等于(A)
A． B． C．1 D．2
【例2】如果∠A是等边三角形的一个内角，则cos A＝____．
*命题角度2 含特殊角的三角函数的计算
把特殊角的三角函数与实数、整数指数幂、零指数幂等混合进行计算，计算时注意每一步的依据．
【例3】计算|1－tan 45°|的结果为(B)
A．1－ B．0 C．－1 D．1－
【例4】计算：
(1)sin 60°－4 cos230°＋cos45°·cos 60°；
(2)＋sin260°－|cos45°－1|－(2 023－2cos 60°)0.
解：(1)原式＝×－4×＋××＝－1；
(2)原式＝2＋×－1＋－1＝－1.
*命题角度3 由三角函数值确定角度
当锐角三角函数值一定，只有唯一的锐角与之对应，熟记特殊角的三角函数值．
【例5】已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α的度数为(B)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例6】若sin (α－10°)＝，则锐角α的度数为(D)
A．30° B．40° C．60° D．70°
高效课堂 教学设计
1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小．
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
▲重点
掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
▲难点
理解30°，45°，60°角的三角函数值的探索过程．
◆活动1 新课导入
在前面我们已经得到sin 30°＝，sin 45°＝，你能得到30°，45°角的其他三角函数值吗？不妨试试看．
解：cos 30°＝，tan 30°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1.
◆活动2 探究新知
教材P65 探究．
提出问题：
(1)老师手中的两块三角尺(如图)有几个不同的锐角？这几个锐角分别是多少度？
(2)还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？你能推导出sin 60°的值以及30°，45°，60°角的其他三角函数值吗？
(3)如图，分别在含30°和45°角的直角三角形中，设较短边长为1，利用勾股定理和三角函数定义填空：
①sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；
②cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；
③tan 30°＝，tan 45°＝__1__，tan 60°＝____．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
◆活动4 例题与练习
例1 教材P66 例3.
例2 教材P66 例4.
例3 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan A＝tan 30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1).
练习
1．教材P67 练习第1，2题．
2．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A． B． C． D．
3．计算：
(1)tan 30°·tan 60°＋2；
(2)(－1)2 020－(cos 60°)－3＋(sin 40°－1)0＋|3－8sin 60°|.
解：(1)原式＝×＋2×＝1＋2－＝3－；
(2)原式＝1－8＋1＋＝－6＋.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
特殊角的锐角三角函数值及其运用．
1．作业布置
(1)教材P69 习题28.1第3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第4课时 用计算器求三角函数值和锐角度数
教师备课 素材示例
●复习导入 1.填空：
(1)sin 30°＝____，sin 45°＝____，sin 60°＝____；
(2)cos 30°＝____，cos 45°＝____，cos 60°＝____；
(3)tan 30°＝____，tan 45°＝__1__，tan 60°＝____．
2．当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数值呢？
【教学与建议】教学：由复习特殊角的三角函数值到导入不是特殊角怎样求三角函数值，从而导入课题用计算器求三角函数值．建议：提前准备计算器，认识其功能键．
●类比导入 1.我们怎样求sin 30°，sin 45°的值？
作图测量．
2．请用作图测量的方法求sin 18°的值．
学生汇报结果，出现结果有误差，而且不简便．经过数学家不断改进，不同角的三角函数值被制成了函数常用表，随着社会的进步，如今的三角函数表被带有，，功能键的计算器取代．
【教学与建议】教学：学生用作图、测量、正弦定义计算sin 18°的值，再导入用函数常用表，通过使用计算器计算，体会了计算器的好处．建议：学生分组计算sin 18°的值，进一步理解三角函数值的几何意义．
*命题角度1 用计算器求锐角三角函数值
用计算器求锐角三角函数值，关键是明确按键顺序，先按功能键，再输入角度值．
【例1】用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)
A．
B．
C．
D．
【例2】用计算器求sin 27°，cos 26°，tan 25°的值，它们的大小关系是(C)
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26° *命题角度2 已知三角函数值，利用计算器求锐角度数
先按键，然后再按或或键，再输入数值，得到的结果为度数的形式．若计算结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按键．
【例3】已知cos θ＝0.741 592 6，则θ约为(C)
A．40° B．41° C．42° D．43°
【例4】根据下列三角函数值，用计算器求锐角A的度数．(结果精确到0.01°)
(1)sin A＝0.9 333；
解：∠A≈68.96°；
(2)cos A＝0.8 032.
解：∠A≈36.56°.
高效课堂 教学设计
掌握用计算器求锐角三角函数值以及已知一个锐角的某一三角函数值，利用计算器求出这个锐角的度数的方法．
▲重点
运用计算器求锐角三角函数值或锐角．
▲难点
用计算器进行有关直角三角形的计算．
◆活动1 新课导入
1．计算：cos 30°·sin 30°＝____，tan 60°＝____，cos2 45°＋tan 30°·sin 60°＝__1__．
2．当锐角A是30°，45°，60°时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值，当锐角A不是这些特殊值时，怎样得到它的三角函数值？
◆活动2 探究新知
1．教材P67 练习下面部分内容．
提出问题：
(1)计算器上的键，键，键的功能是什么？
(2)利用计算器完成下表：
按键顺序 显示结果
sin 67°38′24″ sin °′″ 0.924 811 845
tan 63°27′ tan °′″°′″ 2.001 314 153
cos 18°59′27″ cos °′″°′″°′″ 0.945 570 65
学生完成并交流展示．
2．教材P68 上面部分内容．
提出问题：
(1)请注意计算器上的键，它有什么作用？
(2)已知sin A＝0.501 8，用计算器求锐角A的按键顺序是什么？已知cos A＝0.625 2，tan A＝3.741 6，求锐角A时按键顺序又分别是什么呢？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．由锐角求三角函数值的按键顺序为：接要求先按功能键____或____或____，再输入__角度__．
2．由三角函数值求锐角的按键顺序为：先按____键，然后再按____或____或____，再输入数值，得到的结果为__度数__的形式．
3．锐角α的__正弦和正切__值随α的增大而增大；锐角α的__余弦__值随α的增大而减小．
◆活动4 例题与练习
例1 利用科学计算器计算cos 55°，按键顺序正确的是( C )
A． B．
C． D．
例2 如图，请根据图示数据，计算角α(精确到1′)．
解：∵FG＝83－(150－124)＝57，∴tan α＝＝≈0.407 1，∴锐角α≈22°9′.
例3 如图，某校自行车车棚的人字架顶棚为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD＝1 m，∠A＝27°，求跨度AB的长．(精确到0.1 m)
解：∵tan A＝，∴AD＝≈1.96(m)，∴AB＝2AD≈3.9(m).
练习
1．教材P68 练习第1，2题．
2．已知tan α＝0.324 9，则α约为( B )
A．17° B．18° C．38° D．39°
3．下列各式一定成立的是( A )
A．tan 78°>tan 52°>tan 23° B．sin 70°C．cos 70°>cos 50°>cos 24° D．tan 65°4．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且AD＝6，BD＝3，求∠C的度数．(精确到1′)
解：由tan B＝＝2，得锐角∠B≈63°26′，∴∠C≈71°34′.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．利用计算器求锐角三角函数值．
2．已知锐角三角函数值，利用计算器求角．
1．作业布置
(1)教材P69 习题28.1第5，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
28.2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
教师备课 素材示例
●情景导入 如图①所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图②.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，你能根据上述条件求出图②中∠A的度数(即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数)吗？
与同伴相互交流．
如果将上述问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．
【教学与建议】教学：通过构建直角三角形，利用解直角三角形的知识求锐角，把生活中的问题抽象成数学问题，让学生体验数与生活的联系．建议：结合情境图片，抽象出数学图形和数学问题，帮助学生认识问题的本质．
●归纳导入 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，除直角外，由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形．
(1)已知直角三角形中的一个元素，能求出其他元素吗？
(2)已知直角三角形中的两个元素，其他元素有几种可能的情况？
(3)举例说明已知直角三角形的两个元素，怎样求其他元素；
(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗？具体解法步骤是什么？
【归纳】在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，除直角∠C外的五个元素之间的关系：
①三边之间的关系：__a2＋b2＝c2__；
②两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；
③边角之间的关系：sin A＝____，cos A＝____，tan A＝____．
【教学与建议】教学：学生在教师提出的问题的引导下思考分析，合作交流并归纳结论，培养学生的发散思维能力．建议：学生小组合作交流，教师根据学生的回答进行汇总归纳．
*命题角度1 在直角三角形中解直角三角形
这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．
【例1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长是(A)
A．2 B．8 C．2 D．4
【例2】如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cos B＝，则AC＝____．
*命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形
这类问题一般通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．
【例3】在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为__3＋__．
【例4】如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
解：如图，作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，
∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝＝6.
在Rt△ACH中，tan A＝＝，
∴AH＝8，∴AC＝＝10，
∴AB＝AH＋BH＝8＋6.
*命题角度3 分类讨论解不定三角形
在解直角三角形问题中，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．
【例5】在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则∠C＝__60°或120°__，BC＝__4或2__．
【例6】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于__6或10__．
高效课堂 教学设计
1．理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．掌握用数形结合和转化的思想方法解决有关问题．
▲重点
利用三角函数解决有关实际问题．
▲难点
灵活运用三角函数解直角三角形．
◆活动1 新课导入
1．在△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分别是什么？
解：sin A＝，cos A＝，tan A＝.
2．在Rt△ABC中，除直角外，还有三边和两个锐角5个元素，知道哪几个元素可以求出其他的元素呢？
解：知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素．
◆活动2 探究新知
1．教材P72 比萨斜塔倾斜程度的问题．
提出问题：
(1)将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？
(2)在问题所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？怎么求？
(3)由此，你能得出解直角三角形的内涵吗？什么是解直角三角形？
学生完成并交流展示．
2．教材P72 探究．
提出问题：
(1)回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？
①三边之间的关系__a2＋b2＝c2__(勾股定理)；②两锐角之间的关系__∠A＋∠B＝90°__；③边角之间的关系：sin A＝____＝____，cos A＝____＝____，tan A＝____＝____．
(2)从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？请同学之间进行互相交流．
(3)在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？在直角三角形中已知一个锐角和一条边能求出其余元素吗？在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．在直角三角形中，除直角外，如果知道两个元素__至少有一个是边__，这个三角形就可以确定下来．
2．在直角三角形中，由__除直角外的已知元素__求出__其余未知元素__的过程，叫做解直角三角形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P73 例1.
例2 教材P73 例2.
例3 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.
求：(1)BC的长；(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝.
练习
1．教材P74 练习．
2．在Rt△ACB中，∠A＝90°，∠ACB＝50°，AC＝10，则CB的长为( D )
A．10sin 50° B．10cos 50° C．10tan 50° D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，a＝4，则c＝__8__，∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，AC＝8，AD＝，求∠B，BC，AB.
解：在△ACD中，∵∠ACD＝90°，∴cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°.又∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∴BC＝＝8，AB＝2AC＝16.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．解直角三角形的概念．
2．解直角三角形．
1．作业布置
(1)教材P77～78 习题28.2第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形的应用
教师备课 素材示例
●情景导入 九(2)班的教室在教学楼的二楼，王明站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形的知识测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以发现视线与水平视线之间各有一个夹角，这两个角怎样命名并区别呢？如图，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？
【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心．建议：学生先观察物体，再根据他观察的视线画出示意图．
●悬念激趣 一棵树AC在地面上的影子BC长为8 m．如图①，在树影一端B处测得树顶A的仰角为 45°，则树高是多少米？如图②，若一只鸽子从树顶A看树影BC的顶端B的俯角为 60°，则树高是多少米？(精确到1 m)
【教学与建议】教学：通过仰角和俯角进一步说明，观察点的位置和方向不同，得到的数据不同．建议：让学生根据上述两个图形求出树高，理解仰角和俯角的概念．
*命题角度1 利用仰角、俯角构造直角三角形直接求值
在根据仰角或者俯角的度数，构造仰角或者俯角所在的直角三角形，然后解直角三角形求解．
【例1】如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5 m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是(C)
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
【例2】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为____m.
*命题角度2 根据仰角、俯角的变化求解
在实际问题中，如果有仰角或者俯角的变化且有一条边的长度不变，一般的解题方法是根据仰角、俯角的三角函数设未知数，根据边的长度列出方程求解．
【例3】如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50 m，则甲楼的高AB是__50__m.(结果保留根号)
【例4】某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图)，已知立杆AB的高度是3 m，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC＝__(3－3)__m.
*命题角度3 根据含特殊角的仰角、俯角构造直角三角形求解
综合利用含30°，45°，60°角构造直角三角形，再利用三角函数值解直角三角形．
【例5】如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°.若BC为240 m，则热气球A的高度为(B)
A．120 m B．120(－1)m
C．240 m D．120(＋1)m
【例6】如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30 m，DE的长为15 m，则树AB的高度是__45__m.
高效课堂 教学设计
1．进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形．
2．能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题．
▲重点
学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．
▲难点
将实际问题抽象为数学模型．
◆活动1 新课导入
要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：角α约为61°；这时人能安全使用这个梯子．
◆活动2 探究新知
1．教材P74 例3.
提出问题：
(1)例3中是如何将实际物体抽象为数学模型的？
(2)飞船能直接看到的地球表面的最远点的位置是如何确定的？
(3)最远点Q与点P的距离是弦长还是弧长？
学生完成并交流展示．
2．教材P75 例4.
提出问题：
(1)什么叫俯角？什么叫仰角？
(2)请阅读例4解题过程，你能谈谈其解题思路吗？你还有其他的解题思路吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
如图，当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离点B3 m远的D处测得树的顶端点A的仰角为60°，树的底部点B的俯角为30°，问距离点B8 m远的保护物是否在危险区内？
解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△CBE和Rt△ACE中，AE＝CE·tan 60°＝3(m)，BE＝CE·tan 30°＝(m)，∴AB＝4 m≈6.93 m<8 m．∴距离点B8 m远的保护物不在危险区内．
例2 如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20 m．在Rt△DEF中，EF＝DE·cos 60°＝20×＝10(m).∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF，∴四边形ACDF为平行四边形．又∵∠CAF＝90°，∴四边形ACDF为矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m).
答：C，D两点间的距离为30 m．
练习
1．教材P76 练习第1，2题．
2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再从D处向电视塔方向前进100 m到达F处，测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( C )
A．50 m B．51 m C．(50＋1)m D．101 m
3．如图，在离铁塔(轴线)100 m的A处，用测角仪测得塔顶B的仰角为30°.已知测角仪的高AD＝1.5 m，则铁塔的高BE＝____m.
4．观光塔是潍坊市区的标志性建筑．为了测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房的高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解俯角、仰角的概念．
2．会解决与视角有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78～79 习题28.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，一架外国敌机(以下简称敌机)沿ED方向入侵我国领空，我空军无人机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与敌机在B处的距离为800 m，∠CAB＝30°，这时敌机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，敌机在C处故意撞击我机，则敌机由B到C的速度是多少？
【教学与建议】教学：用学生比较熟悉的军事问题吸引他们的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：引导学生理解方向角的含义，建立方位坐标，选择合适的边角关系.
●置疑导入 为了提前做好防洪准备工作，某市在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图，你能求出DC的长吗？
问题：(1)在Rt△ADE中，已知∠D＝60°，AE＝10 m，则DE＝____m.
(2)在Rt△BCF中，已知∠C＝45°，BF＝10 m，则FC＝__10__m.
(3)DC由线段__DE__，__EF__，__FC__组成，所以DC＝__22＋__m.
【教学与建议】教学： 通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，最后落回到探究坡度、坡角等问题上．
*命题角度1 与方向角有关的实际问题
此类问题一般与航海有关，关键是理解方向角，确定角的大小，再作垂线构造直角三角形，转化为解直角三角形问题．
【例1】上午9时，一条船从A处出发，以40 n mile/h的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为(B)
A．20 n mile B．20 n mile
C．15 n mile D．20 n mile
【例2】在某次海上搜救工作时，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时B船到该漂浮物的距离是__10__km.
*命题角度2 与倾斜角、坡角、坡度有关的实际问题
此类问题一般与堤坝、斜坡、滑梯、电梯等有关，关键是理解倾斜角、坡角或坡度，构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等知识求解．
【例3】如图是河堤横断面，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(A)
A．12 m B．4 m C．5 m D．6 m
【例4】如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡度β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
解：过点A作AF⊥BC于点F.
∵在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，
∴AF＝AB·sin 60°＝20×＝10(m).
∵在Rt△AEF中，∠E＝∠β＝45°，
∴AE＝＝＝10(m).
答：改造后的坡长AE为10 m．
高效课堂 教学设计
1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．
2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．
▲重点
运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．
▲难点
灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．
◆活动1 新课导入
如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是__(4＋)__m.(结果保留根号)
◆活动2 探究新知
1．教材P76 例5.
学生完成并交流展示．
2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：AD＝20×2.5＋6＋20＝90.64(m).
答：坝底AD的长度为90.64 m．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．坡度、坡角概念．
如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝＝tan α.
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.由题意，得∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，BC＝20 n mile.在Rt△ABD中，∵tan ∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 55°.在Rt△ACD中，∵tan ∠CAD＝，∴CD＝AD·tan 25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD＝≈20.79(n mile)>10(n mile).答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长．(精确到0.1 m)
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m．
练习
1．教材P77 练习第1，2题．
2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)( D )
A．30.6 m B．32.1 m
C．37.9 m D．39.4 m
3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？
解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝x.又∵AB＝9×＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝x，解得x＝(＋1)<3，∴有触礁危险．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．方向角、坡度的概念．
2．掌握与方向角、坡度有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78 习题28.2第5，9题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》同步教学设计
28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角的正弦
教师备课 素材示例
●情境导入 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.
根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
【教学与建议】教学：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，那么它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．建议：根据问题中的数据，无法用已学过的知识和方法解决这个问题．学生会产生“怎么办呢？”的疑惑．由此导入学习锐角三角函数知识．
●复习导入 问题：1.直角三角形边和角有哪些性质？
2．有一个锐角是30°的直角三角形有什么性质？
3．有一个锐角是45°的直角三角形有什么性质？
4．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
【教学与建议】教学：通过复习直角三角形中30°，45°角的性质，导入正弦概念，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：教师提出问题后，学生积极思考，由问题4导入课题．
*命题角度1 在直角三角形中求锐角的正弦值
在直角三角形中，锐角的正弦表示这个角的对边与斜边的比，借助勾股定理或者直接根据定义可求出锐角的正弦值．
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B的值是(D)
A． B． C． D．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是 ____．
*命题角度2 根据网格图求锐角的正弦值
把三角形放到网格图中，可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后求某个内角的正弦值．
【例3】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC等于(A)
A． B． C． D．
【例4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是____．
*命题角度3 利用正弦值求直角三角形的边
在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值，确定一条直角边的长，可求直角三角形其他各边的长．
【例5】在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sin A＝，则AB的长是(D)
A．12 B．8 C．9 D．10
【例6】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.若sin ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为____．
*命题角度4 根据平面直角坐标系中点的坐标求锐角的正弦值
利用点的横、纵坐标的含义，可构造出直角三角形求平面直角坐标系中的锐角的正弦值．
【例7】如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α等于(A)
A． B． C． D．
【例8】直线y＝x＋2与x轴相交于点A，与y轴交于点B，则∠OAB的正弦值是____．
*命题角度5 构造直角三角形求锐角的正弦值
求一个锐角的正弦值时，若这个角不在直角三角形中，一般需要等角代换，或添加辅助线，构造直角三角形求解．
【例9】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB＝90°，则sin α的值是____.
高效课堂 教学设计
1．理解锐角正弦的概念，能够运用sin A表示直角三角形两边的比值及进行简单的计算．
2．体会数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用．
▲重点
理解锐角正弦sin A的意义，能用它进行简单的计算．
▲难点
领悟正弦的概念．
◆活动1 新课导入
投影展示教材P61引例(扬水站建设中的问题)．
提出：你能将实际问题归结为数学问题吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P61 问题．
提出问题：
(1)问题中是根据什么求出水管长度的？
(2)如果出水口的高度是40 m时，需要准备多长的水管？
(3)如果出水口的高度是a m时，需要准备多长的水管？你从中发现了什么规律？
(4)教材P61第1个思考，由此你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P61 第2个思考．
提出问题：
(1)已知条件是什么？要求的是什么？我们可以根据什么定理来求解？根据勾股定理，你列出的等式是什么？的值与三角形的大小有关系吗？由此，你能得出什么结论？
(2)在上面求AB(所需水管的长度)和∠A的对边与斜边的比的过程中，你能得出什么结论？同学间可以相互交流．
(3)当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
学生完成并交流展示．
3．教材P62 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个__固定值__．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的__对边与斜边的比__叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝____．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P63 例1.
例2 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α且sin α＝，AB＝4，求AD的长．
解：∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ADE＝∠BAC，∴sin α＝sin ∠BAC＝＝.设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4，∴x＝，∴AD＝BC＝.
例3 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为，AC＝2，求sin B的值．
解：连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin D＝＝.由圆周角定理，得∠B＝∠D，∴sin B＝sin D＝.
练习
1．教材P64 练习第1题．
2．如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____．
3．如图，把含30°角的三角尺ABC绕点B按逆时针方向旋转90°到三角尺DBE的位置，连接AD，求sin ∠ADE的值．
解：过点E作EF⊥AD于点F.设BD＝x.由旋转的性质，得∠ABD＝90°，AB＝BD＝x，∠EDB＝30°，∴∠DAB＝45°，AD＝x.在Rt△DBE中，易得BE＝x，∴DE＝＝x，AE＝AB－BE＝x－x＝x.∵∠AFE＝90°，∠DAB＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴易得EF＝AF＝·AE＝x.在Rt△DEF中，sin ∠ADE＝＝.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
正弦的定义及运用．
1．作业布置
(1)教材P64 练习第2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 锐角的余弦和正切
教师备课 素材示例
●归纳导入 1.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__＝＝__＝k.在Rt△ABC中，当锐角A的度数__一定__时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是__唯一确定__的．
2．当∠A＝30°或∠A＝45°时，∠A的邻边与斜边的比是多少？
【归纳】当锐角A的度数一定时，无论直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是唯一确定的．
【教学与建议】教学：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生发现邻边与斜边的比是确定的．建议：让学生自主发现，归纳规律．
●复习导入 复习提问：
1．在直角三角形中，当一个锐角的大小一定时，它的对边与斜边之间有什么关系？
2．什么是正弦？如何求一个角的正弦？
3．探究正弦的概念时，我们用了什么方法？
4．类比正弦的情况，当锐角A大小确定时，∠A邻边与斜边的比也是确定的吗？
【教学与建议】教学：先复习提问，再类比探究锐角的正弦的过程来探究锐角的余弦和正切．建议：通过画图强调锐角的正弦的内涵是无论直角三角形大小如何，当锐角的度数一定时，它的对边与斜边的比都是固定值．
*命题角度1 直接求直角三角形锐角的三角函数值
已知直角三角形的两边长，用勾股定理求出第三边长，再根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cos B＝____，tan A＝____．
*命题角度2 构造直角三角形，求锐角的三角函数值
根据等腰三角形、菱形、圆等图形的性质，构造直角三角形，再求直角三角形的锐角三角函数值．
【例2】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
A．2 B． C． D．
【例3】已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为____．
【例4】如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____.
*命题角度3 转化等角，求锐角的三角函数值
借助几何图形的性质或全等(或相似)等知识进行等角的转化，从而求解．
【例5】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(B)
A． B． C． D．
【例6】如图所示，∠1的正切值等于____．
*命题角度4 利用已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值
根据已知角的三角函数值确定其他三角函数值，设参数表示两边长，结合勾股定理及锐角三角函数的定义求解．
【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是(B)
A． B． C． D．
【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝____．
*命题角度5 利用锐角三角函数求边长
根据锐角三角函数的定义及三角函数值表示出直角三角形的边，结合勾股定理求解．
【例9】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是(D)
A．10 B．8 C．4 D．2
【例10】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sin A的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝.
在Rt△ACD中，sin A＝＝＝.
高效课堂 教学设计
1．理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义．
2．能运用余弦、正切的定义解决问题．
▲重点
理解锐角三角函数的意义，用它们进行简单的计算．
▲难点
以函数的角度理解正弦、余弦、正切．
◆活动1 新课导入
1．sin 30°＝____，sin 45°＝____．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值__不变__.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则AC的长为____．
◆活动2 探究新知
1．教材P64 探究．
学生完成并交流展示．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.
(1)求证：＝；＝；
(2)当∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比确定吗？它的对边与邻边的比呢？
◆活动3 知识归纳
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__邻__边与__斜__边的比，叫做∠A的余弦，记作__cos__A__，即cos A＝____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__对__边与__邻__边的比，叫做∠A的正切，记作__tan__A__，即tan A＝____．
3．锐角A的__正弦__、__余弦__、__正切__都叫做∠A的三角函数值．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P65 例2.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sin A和cos A的值．
解：∵tan A＝＝，设BC＝2k，则AC＝3k，∴AB＝＝＝k，∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
例3 已知关于x的方程x2－5x·sin α＋1＝0的一个根为2＋，且α为锐角，求cos α.
解：设方程的另一个根为x2，则(2＋)x2＝1，∴x2＝2－.根据根与系数的关系，得5sin α＝(2＋)＋(2－)，解得sin α＝.设锐角α所在的直角三角形的对边长为4k(k>0)，则斜边长为5k，邻边长为3k，∴cos α＝＝.
练习
1．教材P65 练习第1，2题．
2．如图，点A为∠α边上的任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( C )
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在边BC上，连接AD.若tan ∠CAD＝，则BD的长为__6__．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α.
(1)试写出α的正弦、余弦、正切这三个三角函数值；
(2)若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．
解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝3，∴sin α＝，cos α＝，tan α＝2；
(2)BD＝9，AB＝6.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
锐角三角函数
1．作业布置
(1)教材P68 习题28.1第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 特殊角的三角函数值
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，身高1.6 m的小敏用一个两锐角分别是30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠CAD＝30°).已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树大约有多高？
【教学与建议】教学：利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”和勾股定理等知识，计算CE的长度．建议：学生自己回答上述问题，为学习特殊角的三角函数值做好铺垫．
●归纳导入 请同学们拿出一副三角尺，思考并回答下列问题：
1．这两块三角尺各有几个锐角？分别是多少度？
2．在前面我们已经得到sin 30°＝，sin 45°＝.如图，根据前面的知识，求出各锐角的三角函数值．
【归纳】sin 30°＝____，cos 30°＝____，tan 30°＝____，sin 45°＝____，cos 45°＝____，tan 45°＝__1__．
【教学与建议】教学：用学生熟悉的三角尺，结合所学的直角三角形和等腰三角形知识来导入，通俗易懂．建议：问题设置成练习题或探究题，让学生思考、练习、探究．
*命题角度1 直接求特殊角的三角函数值
要熟记30°，45°，60°角的锐角三角函数值．
【例1】cos 30°的值等于(A)
A． B． C．1 D．2
【例2】如果∠A是等边三角形的一个内角，则cos A＝____．
*命题角度2 含特殊角的三角函数的计算
把特殊角的三角函数与实数、整数指数幂、零指数幂等混合进行计算，计算时注意每一步的依据．
【例3】计算|1－tan 45°|的结果为(B)
A．1－ B．0 C．－1 D．1－
【例4】计算：
(1)sin 60°－4 cos230°＋cos45°·cos 60°；
(2)＋sin260°－|cos45°－1|－(2 023－2cos 60°)0.
解：(1)原式＝×－4×＋××＝－1；
(2)原式＝2＋×－1＋－1＝－1.
*命题角度3 由三角函数值确定角度
当锐角三角函数值一定，只有唯一的锐角与之对应，熟记特殊角的三角函数值．
【例5】已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α的度数为(B)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例6】若sin (α－10°)＝，则锐角α的度数为(D)
A．30° B．40° C．60° D．70°
高效课堂 教学设计
1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小．
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
▲重点
掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
▲难点
理解30°，45°，60°角的三角函数值的探索过程．
◆活动1 新课导入
在前面我们已经得到sin 30°＝，sin 45°＝，你能得到30°，45°角的其他三角函数值吗？不妨试试看．
解：cos 30°＝，tan 30°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1.
◆活动2 探究新知
教材P65 探究．
提出问题：
(1)老师手中的两块三角尺(如图)有几个不同的锐角？这几个锐角分别是多少度？
(2)还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？你能推导出sin 60°的值以及30°，45°，60°角的其他三角函数值吗？
(3)如图，分别在含30°和45°角的直角三角形中，设较短边长为1，利用勾股定理和三角函数定义填空：
①sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；
②cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；
③tan 30°＝，tan 45°＝__1__，tan 60°＝____．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
◆活动4 例题与练习
例1 教材P66 例3.
例2 教材P66 例4.
例3 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan A＝tan 30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1).
练习
1．教材P67 练习第1，2题．
2．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A． B． C． D．
3．计算：
(1)tan 30°·tan 60°＋2；
(2)(－1)2 020－(cos 60°)－3＋(sin 40°－1)0＋|3－8sin 60°|.
解：(1)原式＝×＋2×＝1＋2－＝3－；
(2)原式＝1－8＋1＋＝－6＋.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
特殊角的锐角三角函数值及其运用．
1．作业布置
(1)教材P69 习题28.1第3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第4课时 用计算器求三角函数值和锐角度数
教师备课 素材示例
●复习导入 1.填空：
(1)sin 30°＝____，sin 45°＝____，sin 60°＝____；
(2)cos 30°＝____，cos 45°＝____，cos 60°＝____；
(3)tan 30°＝____，tan 45°＝__1__，tan 60°＝____．
2．当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数值呢？
【教学与建议】教学：由复习特殊角的三角函数值到导入不是特殊角怎样求三角函数值，从而导入课题用计算器求三角函数值．建议：提前准备计算器，认识其功能键．
●类比导入 1.我们怎样求sin 30°，sin 45°的值？
作图测量．
2．请用作图测量的方法求sin 18°的值．
学生汇报结果，出现结果有误差，而且不简便．经过数学家不断改进，不同角的三角函数值被制成了函数常用表，随着社会的进步，如今的三角函数表被带有，，功能键的计算器取代．
【教学与建议】教学：学生用作图、测量、正弦定义计算sin 18°的值，再导入用函数常用表，通过使用计算器计算，体会了计算器的好处．建议：学生分组计算sin 18°的值，进一步理解三角函数值的几何意义．
*命题角度1 用计算器求锐角三角函数值
用计算器求锐角三角函数值，关键是明确按键顺序，先按功能键，再输入角度值．
【例1】用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)
A．
B．
C．
D．
【例2】用计算器求sin 27°，cos 26°，tan 25°的值，它们的大小关系是(C)
A．tan 25°
先按键，然后再按或或键，再输入数值，得到的结果为度数的形式．若计算结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按键．
【例3】已知cos θ＝0.741 592 6，则θ约为(C)
A．40° B．41° C．42° D．43°
【例4】根据下列三角函数值，用计算器求锐角A的度数．(结果精确到0.01°)
(1)sin A＝0.9 333；
解：∠A≈68.96°；
(2)cos A＝0.8 032.
解：∠A≈36.56°.
高效课堂 教学设计
掌握用计算器求锐角三角函数值以及已知一个锐角的某一三角函数值，利用计算器求出这个锐角的度数的方法．
▲重点
运用计算器求锐角三角函数值或锐角．
▲难点
用计算器进行有关直角三角形的计算．
◆活动1 新课导入
1．计算：cos 30°·sin 30°＝____，tan 60°＝____，cos2 45°＋tan 30°·sin 60°＝__1__．
2．当锐角A是30°，45°，60°时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值，当锐角A不是这些特殊值时，怎样得到它的三角函数值？
◆活动2 探究新知
1．教材P67 练习下面部分内容．
提出问题：
(1)计算器上的键，键，键的功能是什么？
(2)利用计算器完成下表：
按键顺序 显示结果
sin 67°38′24″ sin °′″ 0.924 811 845
tan 63°27′ tan °′″°′″ 2.001 314 153
cos 18°59′27″ cos °′″°′″°′″ 0.945 570 65
学生完成并交流展示．
2．教材P68 上面部分内容．
提出问题：
(1)请注意计算器上的键，它有什么作用？
(2)已知sin A＝0.501 8，用计算器求锐角A的按键顺序是什么？已知cos A＝0.625 2，tan A＝3.741 6，求锐角A时按键顺序又分别是什么呢？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．由锐角求三角函数值的按键顺序为：接要求先按功能键____或____或____，再输入__角度__．
2．由三角函数值求锐角的按键顺序为：先按____键，然后再按____或____或____，再输入数值，得到的结果为__度数__的形式．
3．锐角α的__正弦和正切__值随α的增大而增大；锐角α的__余弦__值随α的增大而减小．
◆活动4 例题与练习
例1 利用科学计算器计算cos 55°，按键顺序正确的是( C )
A． B．
C． D．
例2 如图，请根据图示数据，计算角α(精确到1′)．
解：∵FG＝83－(150－124)＝57，∴tan α＝＝≈0.407 1，∴锐角α≈22°9′.
例3 如图，某校自行车车棚的人字架顶棚为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD＝1 m，∠A＝27°，求跨度AB的长．(精确到0.1 m)
解：∵tan A＝，∴AD＝≈1.96(m)，∴AB＝2AD≈3.9(m).
练习
1．教材P68 练习第1，2题．
2．已知tan α＝0.324 9，则α约为( B )
A．17° B．18° C．38° D．39°
3．下列各式一定成立的是( A )
A．tan 78°>tan 52°>tan 23° B．sin 70°
解：由tan B＝＝2，得锐角∠B≈63°26′，∴∠C≈71°34′.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．利用计算器求锐角三角函数值．
2．已知锐角三角函数值，利用计算器求角．
1．作业布置
(1)教材P69 习题28.1第5，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
28.2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
教师备课 素材示例
●情景导入 如图①所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图②.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，你能根据上述条件求出图②中∠A的度数(即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数)吗？
与同伴相互交流．
如果将上述问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．
【教学与建议】教学：通过构建直角三角形，利用解直角三角形的知识求锐角，把生活中的问题抽象成数学问题，让学生体验数与生活的联系．建议：结合情境图片，抽象出数学图形和数学问题，帮助学生认识问题的本质．
●归纳导入 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，除直角外，由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形．
(1)已知直角三角形中的一个元素，能求出其他元素吗？
(2)已知直角三角形中的两个元素，其他元素有几种可能的情况？
(3)举例说明已知直角三角形的两个元素，怎样求其他元素；
(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗？具体解法步骤是什么？
【归纳】在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，除直角∠C外的五个元素之间的关系：
①三边之间的关系：__a2＋b2＝c2__；
②两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；
③边角之间的关系：sin A＝____，cos A＝____，tan A＝____．
【教学与建议】教学：学生在教师提出的问题的引导下思考分析，合作交流并归纳结论，培养学生的发散思维能力．建议：学生小组合作交流，教师根据学生的回答进行汇总归纳．
*命题角度1 在直角三角形中解直角三角形
这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．
【例1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长是(A)
A．2 B．8 C．2 D．4
【例2】如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cos B＝，则AC＝____．
*命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形
这类问题一般通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．
【例3】在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为__3＋__．
【例4】如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
解：如图，作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，
∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝＝6.
在Rt△ACH中，tan A＝＝，
∴AH＝8，∴AC＝＝10，
∴AB＝AH＋BH＝8＋6.
*命题角度3 分类讨论解不定三角形
在解直角三角形问题中，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．
【例5】在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则∠C＝__60°或120°__，BC＝__4或2__．
【例6】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于__6或10__．
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1．理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．掌握用数形结合和转化的思想方法解决有关问题．
▲重点
利用三角函数解决有关实际问题．
▲难点
灵活运用三角函数解直角三角形．
◆活动1 新课导入
1．在△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分别是什么？
解：sin A＝，cos A＝，tan A＝.
2．在Rt△ABC中，除直角外，还有三边和两个锐角5个元素，知道哪几个元素可以求出其他的元素呢？
解：知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素．
◆活动2 探究新知
1．教材P72 比萨斜塔倾斜程度的问题．
提出问题：
(1)将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？
(2)在问题所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？怎么求？
(3)由此，你能得出解直角三角形的内涵吗？什么是解直角三角形？
学生完成并交流展示．
2．教材P72 探究．
提出问题：
(1)回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？
①三边之间的关系__a2＋b2＝c2__(勾股定理)；②两锐角之间的关系__∠A＋∠B＝90°__；③边角之间的关系：sin A＝____＝____，cos A＝____＝____，tan A＝____＝____．
(2)从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？请同学之间进行互相交流．
(3)在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？在直角三角形中已知一个锐角和一条边能求出其余元素吗？在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．在直角三角形中，除直角外，如果知道两个元素__至少有一个是边__，这个三角形就可以确定下来．
2．在直角三角形中，由__除直角外的已知元素__求出__其余未知元素__的过程，叫做解直角三角形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P73 例1.
例2 教材P73 例2.
例3 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.
求：(1)BC的长；(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝.
练习
1．教材P74 练习．
2．在Rt△ACB中，∠A＝90°，∠ACB＝50°，AC＝10，则CB的长为( D )
A．10sin 50° B．10cos 50° C．10tan 50° D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，a＝4，则c＝__8__，∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，AC＝8，AD＝，求∠B，BC，AB.
解：在△ACD中，∵∠ACD＝90°，∴cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°.又∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∴BC＝＝8，AB＝2AC＝16.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．解直角三角形的概念．
2．解直角三角形．
1．作业布置
(1)教材P77～78 习题28.2第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形的应用
教师备课 素材示例
●情景导入 九(2)班的教室在教学楼的二楼，王明站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形的知识测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以发现视线与水平视线之间各有一个夹角，这两个角怎样命名并区别呢？如图，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？
【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心．建议：学生先观察物体，再根据他观察的视线画出示意图．
●悬念激趣 一棵树AC在地面上的影子BC长为8 m．如图①，在树影一端B处测得树顶A的仰角为 45°，则树高是多少米？如图②，若一只鸽子从树顶A看树影BC的顶端B的俯角为 60°，则树高是多少米？(精确到1 m)
【教学与建议】教学：通过仰角和俯角进一步说明，观察点的位置和方向不同，得到的数据不同．建议：让学生根据上述两个图形求出树高，理解仰角和俯角的概念．
*命题角度1 利用仰角、俯角构造直角三角形直接求值
在根据仰角或者俯角的度数，构造仰角或者俯角所在的直角三角形，然后解直角三角形求解．
【例1】如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5 m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是(C)
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
【例2】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为____m.
*命题角度2 根据仰角、俯角的变化求解
在实际问题中，如果有仰角或者俯角的变化且有一条边的长度不变，一般的解题方法是根据仰角、俯角的三角函数设未知数，根据边的长度列出方程求解．
【例3】如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50 m，则甲楼的高AB是__50__m.(结果保留根号)
【例4】某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图)，已知立杆AB的高度是3 m，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC＝__(3－3)__m.
*命题角度3 根据含特殊角的仰角、俯角构造直角三角形求解
综合利用含30°，45°，60°角构造直角三角形，再利用三角函数值解直角三角形．
【例5】如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°.若BC为240 m，则热气球A的高度为(B)
A．120 m B．120(－1)m
C．240 m D．120(＋1)m
【例6】如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30 m，DE的长为15 m，则树AB的高度是__45__m.
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1．进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形．
2．能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题．
▲重点
学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．
▲难点
将实际问题抽象为数学模型．
◆活动1 新课导入
要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：角α约为61°；这时人能安全使用这个梯子．
◆活动2 探究新知
1．教材P74 例3.
提出问题：
(1)例3中是如何将实际物体抽象为数学模型的？
(2)飞船能直接看到的地球表面的最远点的位置是如何确定的？
(3)最远点Q与点P的距离是弦长还是弧长？
学生完成并交流展示．
2．教材P75 例4.
提出问题：
(1)什么叫俯角？什么叫仰角？
(2)请阅读例4解题过程，你能谈谈其解题思路吗？你还有其他的解题思路吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
如图，当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离点B3 m远的D处测得树的顶端点A的仰角为60°，树的底部点B的俯角为30°，问距离点B8 m远的保护物是否在危险区内？
解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△CBE和Rt△ACE中，AE＝CE·tan 60°＝3(m)，BE＝CE·tan 30°＝(m)，∴AB＝4 m≈6.93 m<8 m．∴距离点B8 m远的保护物不在危险区内．
例2 如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20 m．在Rt△DEF中，EF＝DE·cos 60°＝20×＝10(m).∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF，∴四边形ACDF为平行四边形．又∵∠CAF＝90°，∴四边形ACDF为矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m).
答：C，D两点间的距离为30 m．
练习
1．教材P76 练习第1，2题．
2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再从D处向电视塔方向前进100 m到达F处，测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( C )
A．50 m B．51 m C．(50＋1)m D．101 m
3．如图，在离铁塔(轴线)100 m的A处，用测角仪测得塔顶B的仰角为30°.已知测角仪的高AD＝1.5 m，则铁塔的高BE＝____m.
4．观光塔是潍坊市区的标志性建筑．为了测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房的高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解俯角、仰角的概念．
2．会解决与视角有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78～79 习题28.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，一架外国敌机(以下简称敌机)沿ED方向入侵我国领空，我空军无人机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与敌机在B处的距离为800 m，∠CAB＝30°，这时敌机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，敌机在C处故意撞击我机，则敌机由B到C的速度是多少？
【教学与建议】教学：用学生比较熟悉的军事问题吸引他们的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：引导学生理解方向角的含义，建立方位坐标，选择合适的边角关系.
●置疑导入 为了提前做好防洪准备工作，某市在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图，你能求出DC的长吗？
问题：(1)在Rt△ADE中，已知∠D＝60°，AE＝10 m，则DE＝____m.
(2)在Rt△BCF中，已知∠C＝45°，BF＝10 m，则FC＝__10__m.
(3)DC由线段__DE__，__EF__，__FC__组成，所以DC＝__22＋__m.
【教学与建议】教学： 通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，最后落回到探究坡度、坡角等问题上．
*命题角度1 与方向角有关的实际问题
此类问题一般与航海有关，关键是理解方向角，确定角的大小，再作垂线构造直角三角形，转化为解直角三角形问题．
【例1】上午9时，一条船从A处出发，以40 n mile/h的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为(B)
A．20 n mile B．20 n mile
C．15 n mile D．20 n mile
【例2】在某次海上搜救工作时，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时B船到该漂浮物的距离是__10__km.
*命题角度2 与倾斜角、坡角、坡度有关的实际问题
此类问题一般与堤坝、斜坡、滑梯、电梯等有关，关键是理解倾斜角、坡角或坡度，构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等知识求解．
【例3】如图是河堤横断面，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(A)
A．12 m B．4 m C．5 m D．6 m
【例4】如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡度β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
解：过点A作AF⊥BC于点F.
∵在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，
∴AF＝AB·sin 60°＝20×＝10(m).
∵在Rt△AEF中，∠E＝∠β＝45°，
∴AE＝＝＝10(m).
答：改造后的坡长AE为10 m．
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1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．
2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．
▲重点
运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．
▲难点
灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．
◆活动1 新课导入
如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是__(4＋)__m.(结果保留根号)
◆活动2 探究新知
1．教材P76 例5.
学生完成并交流展示．
2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：AD＝20×2.5＋6＋20＝90.64(m).
答：坝底AD的长度为90.64 m．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．坡度、坡角概念．
如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝＝tan α.
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.由题意，得∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，BC＝20 n mile.在Rt△ABD中，∵tan ∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 55°.在Rt△ACD中，∵tan ∠CAD＝，∴CD＝AD·tan 25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD＝≈20.79(n mile)>10(n mile).答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长．(精确到0.1 m)
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m．
练习
1．教材P77 练习第1，2题．
2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)( D )
A．30.6 m B．32.1 m
C．37.9 m D．39.4 m
3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？
解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝x.又∵AB＝9×＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝x，解得x＝(＋1)<3，∴有触礁危险．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．方向角、坡度的概念．
2．掌握与方向角、坡度有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78 习题28.2第5，9题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思