人教版九年级数学下册第二十七章《相似》同步教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第二十七章《相似》同步教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-07 10:01:58 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下册第二十七章《相似》同步教学设计
27.1 图形的相似
第1课时 相似图形
教师备课 素材示例
●情景导入 播放一些著名建筑物的图片，欣赏并找出图中哪些图形的形状是相同的．
【教学与建议】教学：让学生留心观察生活中存在的大量形状相同的图形，增强学生的感性认识．让学生体会到数学就在我们身边．建议：让学生直观地感受图片中有很多形状相同的图形，从而引出课题．
●归纳导入 如图，我们常会看到许多形状相同的图形，下图形状相同的图形有哪些？
形状相同的图形有：__①与③，②与 ，④与 ，⑤与⑩，⑥⑦⑧⑨__
【归纳】1.把__形状相同的__图形叫做相似图形．
2．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一图形__放大__或__缩小__得到的．
【教学与建议】教学：找出形状相同的图形，比较它们的异同．归纳相似图形的概念．建议：让学生举例生活中的相似图形，发现相似图形的性质．
*命题角度1 形状相同图形的识别
形状相同指外形和状态相同，大小可以相同也可以不同．
【例1】下列说法中，不正确的是(C)
A．两幅比例不同的中国行政地图是相似图形
B．两个图形相似与形状有关而与位置无关
C．哈哈镜中人的形象与本人是相似的
D．同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的
高效课堂 教学设计
1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形的概念．
2．经历观察和操作的过程，探索图形的相似，掌握相似图形的性质，会用其性质解决有关问题．
3．在探究相似图形的过程中，培养与他人交流、合作的意识和品质．
▲重点
初步认识相似图形．
▲难点
识别相似图形．
◆活动1 新课导入
请同学们观察所给出的几组图形(多媒体展示教材P24四组图片)，说说它们有哪些共同点．
◆活动2 探究新知
1．教材P24.
提出问题：
(1)图27.1－1给我们以什么样的形象？
(2)两个相似图形，可以经过怎样的变换得到？
(3)在日常生活中你还见过哪些相似的图形？
学生完成并交流展示．
2．教材P25 思考．
提出问题：
(1)平面镜得到的人的形象与本人相似吗？
(2)哈哈镜中的人体形象与本人相似吗？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．我们把__形状相同的图形__叫做相似图形．
2．将图形放大、缩小后得到的图形与原图形是__相似图形__．
◆活动4 例题与练习
例1 下列物体中，形状不一定相同的是(B)
A．足球和乒乓球 B．两个长方体木块
C．两个正方体木块 D．两个等边三角形
例2 在平面直角坐标系中描出点A(－1，0)，B(1，0)，C(2，2)，用线段顺次连接起来，得到△ABC.
(1)把A，B，C各点横、纵坐标都减去1，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC相似吗？
(2)把A，B，C各点横、纵坐标都乘以2，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则△A2B2C2与△ABC相似吗？
解：(1)A1(－2，－1)，B1(0，－1)，C1(1，1).(画图略)△A1B1C1与△ABC相似，平移得到，形状没有变化；
(2)A2(－2，0)，B2(2，0)，C2(4，4).(画图略)△A2B2C2与△ABC相似，扩大2倍得到．
练习
1．教材P25 练习第1，2题．
2．下列说法正确的有(D)
①同一底片印出来的不同尺寸的照片是相似的；②放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似的；③放大镜放大后的图形与原来的图形是相似的．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有__①⑤__．(填序号)
4．如图，图形中相似的正方形共有__5__个，相似的三角形共有__16__个．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解相似图形的概念．
2．会识别相似图形．
1．作业布置
(1)教材P27 习题27.1第4题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 相似多边形
教师备课 素材示例
●置疑导入 在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如半径不相同的圆、五角星、放大镜下的图形、中国地图等．请看教材第23页章前图中两张大小不同的万里长城图片，它们的各部分都是按一定比例对应的．在“全等三角形”一章中，我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段(如高、中线和角平分线等)和面积有什么关系？如何按要求放大或缩小一个图形呢？如何判定这两个三角形相似，这节课我们将探索相似多边形的概念及性质．
【教学与建议】教学：章引回顾了“全等三角形”一章研究的主要内容，与此类比提出相似图形要研究的主要问题，简要说明了本章的主要研究方法．建议：给学生展示即将面对的问题，使学生对将要学习的内容有一个整体认识，做到心中有数．
● 情景导入 1.如图，△A1B1C1是由△ABC通过放大镜放大得到的，这两个三角形的对应角有什么关系？对应边呢？它是相似图形吗？
∠A＝__∠A1__，∠B＝__∠B1__，∠C＝__∠C1__，＝____＝____，它们是__相似图形__．
【归纳】相似多边形的对应角__相等__，对应边成__比例__．
2．两个大小不同的正方形，对应角有什么关系？对应边是否成比例？它们是相似图形吗？
3．两个大小不同的矩形、菱形的对应角、对应边关系不明确时，它们是相似图形吗？
学生讨论交流，教师指出：两个正方形是相似图形，两个矩形或菱形不一定是相似图形．今天学习了相似多边形，我们就知道是为什么．
【教学与建议】教学：由相似三角形、正方形得到对应角相等，对应边成比例，再列举不相似图形，激发学生的学习热情．建议：让学生回忆和感受多边形，识别相似多边形．
*命题角度1 识别相似多边形
相似多边形满足边数相等，对应角相等，对应边成比例．
【例1】从下列各组多边形的每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是__②⑥__．(填序号)
①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形．
【例2】下列各组图形中，必定相似的是(D)
A．两个等腰三角形
B．各有一个角是40°的两个等腰三角形
C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形
D．有一个角是100°的两个等腰三角形
*命题角度2 成比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果＝(即ad＝bc)，这四条线段是成比例线段．
【例3】已知2x＝5y(y≠0)，则下列比例式成立的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【例4】已知线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d＝__1，4或9__cm.
*命题角度3 利用相似多边形的性质求解
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例．根据此性质，可以解决一些角度问题或线段的长度问题．
【例5】如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论中正确的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
【例6】如图，在Rt△ABC内画边长分别为9，6，x的三个正方形，则x的值为__4__.
高效课堂 教学设计
1．理解相似多边形和相似比的概念，掌握相似多边形的两个基本性质．
2．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质，并能进行相关的计算．
3．掌握相似多边形的主要特征，能够识别两个多边形是否相似，并能运用其性质进行相关的计算．
▲重点
掌握相似多边形的性质及判别方法，能用性质解决具体问题．
▲难点
判别两个多边形是否相似．
◆活动1 新课导入
1．什么是相似图形？__形状相同的图形__．
2．举几个相似图形的例子．__大小不同的两副三角板，大小不同的两张中国地图等__．
◆活动2 探究新知
1．教材P26.
提出问题：
(1)判定两个多边形相似必须具备的条件是什么？
(2)图形A和图形B的相似比与图形B和图形A的相似比一样吗？
(3)如何寻找对应角、对应边？可从中建立什么数量关系？
(4)如何应用相似多边形的性质求未知的边或角的大小？
学生完成并交流展示．
2．教材P26 右上角(成比例线段的概念)．
提出问题：
(1)理解成比例线段时应注意什么？
(2)对于比例式＝中，a与d，b与c的位置可以互换吗？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两个__边数__相同的多边形，如果它们的__角__分别相等，__边__成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
2．教师根据上述结果得：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P26 例题．
例2 如图，矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？若相似，请加以证明；若不相似，请说明理由．
解：矩形ABCD与矩形EFGH相似．证明如下：∵四边形ABCD与四边形EFGH都为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝90°.∵AD＝BC＝4 cm，DC＝AB＝2 cm，EH＝FG＝2.4 cm，EF＝HG＝1.2 cm，∴＝＝，＝＝，∴＝＝＝＝，∴矩形ABCD与矩形EFGH相似．
练习
1．教材P27 练习第1，2，3题．
2．某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，则图纸的比例尺为(B)
A．1∶20 B．1∶30 C．1∶40 D．1∶50
3．下列各线段的长度成比例的是(D)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)由已知，得MN＝AB，MD＝AD＝BC.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，∴AD2＝AB2.∵AB＝4，∴AD2＝16，∴AD＝4；
(2).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．相似多边形的概念及其应用．
2．成比例线段的概念及其应用．
1．作业布置
(1)教材P27 习题27.1第1，2，3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例定理
教师备课 素材示例
●情景导入 上幼儿园的小朋友有项手工作业是“利用扭扭棒做个等边三角形”，小朋友需要你的帮助，而你的身边只有数学作业本，该如何是好？
【教学与建议】教学：这问题的关键点是如何将扭扭棒三等分，只需将扭扭棒的两端放置在四条等距平行线的第一条和第四条上即可，说明等距平行线可等分线段，由此导入课题．建议：教学时建议备好扭扭棒或替代物，演示三等分的过程，并进行简单的说理．
●复习导入 1.如果两个三角形的形状和大小都相同，那么这两个三角形是__全等__三角形．
2．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做__相似__多边形．
3．如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，这两个三角形有什么关系？
4．类比全等三角形和相似三角形的定义，如何表示相似三角形呢？又如何判定两个三角形相似呢？
【教学与建议】教学：通过对全等三角形的定义和判定方法的回顾，加强新旧知识的联系和延伸．建议：让学生明确可类比全等三角形中寻找对应边、对应角的方法来寻找相似三角形中的对应元素．
*命题角度1 利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行计算或推理
由平行线分线段成比例的基本事实可以得到对应线段间的关系，即＝，＝，＝等．
【例1】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【例2】如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝4，则EF的值是__2__．
*命题角度2 利用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，根据所得的对应线段成比例求线段长度．
【例3】如图，点F在 ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例4】如图，在 ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为__10__.
【例5】已知三个边长分别为2 cm，3 cm，5 cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为__3.75__cm2__．
高效课堂 教学设计
1．理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比．
2．掌握平行线分线段成比例及其两个推论．
3．掌握判定两个三角形相似的预备定理及其应用．
▲重点
平行线分线段成比例定理及相似三角形的预备定理及应用．
▲难点
两个定理的探索过程．
◆活动1 新课导入
如图，给出的两个四边形是相似图形，具体数据如图所示．求未知边a，b的长度及角α的值．
◆活动2 探究新知
1．教材P29 “探究”以上内容．
提出问题：
(1)如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
(2)当△A′B′C′∽△ABC时，相似比是多少？如何表示？
(3)若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P29～30 “思考”以上内容．
(1)图27.2－2中，当的值为1时，这组平行线有什么特点？
(2)图27.2－3中，除了分线段成比例外，还有其他的比例关系吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P30 思考．
提出问题：
(1)体会过点E作与AB平行的直线EF的作用，为什么要作这条辅助线？
(2)过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
(3)如图，若点D，E分别在AB，AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两个三角形三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似．
强调：(1)用“∽”表示两三角形相似时，一般应将对应点写在对应的位置上；
(2)若△ABC与△A′B′C′的相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____．
2．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
3．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__成比例__．
4．相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形__相似__．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，△ADE∽△ACB，那么下列比例式成立的是(A)
A.＝＝ B．＝
C．＝＝ D．＝＝
例2 如图，在 ABCD中，AE＝EB，AF＝2，求CF的长．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴△AEF∽△CDF，∴＝.∵AE＝EB，∴AE＝AB＝CD，∴CF＝2AF＝4.
练习
1．教材P31 练习第1，2题．
2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝4，则EF的长是(C)
A． B． C．6 D．10
3．如图，AB∥DC，AC交BD于点O，已知＝，BO＝6，则DO＝__10__．
4．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在边AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，求菱形BEDF的边长．
解：设菱形BEDF的边长为x cm，则AE＝(15－x)cm.∵四边形BEDF是菱形，∴DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝.∵AB＝15 cm，BC＝12 cm，AE＝(15－x)cm，∴＝，解得x＝，∴菱形BEDF的边长为 cm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行线分线段成比例定理及其两个推论．
2．相似三角形的预备定理．
1．作业布置
(1)教材P42 习题27.2第4，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教师备课 素材示例
●类比导入
定义 判定方法
全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 斜边与直角边(HL)
相似三角形 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似
能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件？这节课我们来探索三角形相似的条件．
【教学与建议】教学：通过对三角形全等的判定方法的回顾，让学生类比全等三角形的判定方法尝试去判定三角形相似．建议：复习三角形全等的判定方法时，让学生自主归纳，强调三个条件，有利于相似三角形判定条件的确定．
●悬念激趣
如图，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量某工具的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝8，那么AB＝2×8＝16.你知道这是为什么吗？
【教学与建议】教学：用生活中的实例吸引学生的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：让学生写出证明过程再小组讨论，增强学生对数学知识的感性认识．
*命题角度1 由三边关系判定两个三角形相似
判断三边是否成比例，先将三边按大小顺序排列，再分别计算出比值，最后由比值是否相等确定两个三角形是否相似．
【例1】已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是(A)
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【例2】三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形最长边是21 cm，则最短边为__9__cm.
*命题角度2 判定网格图中的三角形相似
判定网格图中的两个三角形相似，一般要把网格中小正方形的边长看作1，再利用勾股定理计算出三角形的边长，最后利用三边成比例进行判定．
【例3】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(B)
【例4】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中的小方格是边长为1的正方形，试判断格点图形△ABC与△DEF是否相似，并说明你的理由．
解：△ABC与△DEF相似．理由如下：
小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理易求得DE＝，DF＝2，EF＝，AB＝，AC＝，BC＝5，∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF.
*命题角度3 利用“相似三角形的三边成比例”解决三角形的边、角问题
已知两个三角形相似，那么可以利用对应边成比例求边长，利用对应角相等求角度．
【例5】如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，＝＝，则∠EAC＝__20°__．
【例6】如图，要使△ABC∽△DEF，则x的值是__40__，△ABC与△DEF的相似比是__3∶5__．
*命题角度4 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似
当条件中有两边时，通常用两边成比例且夹角相等来判定三角形相似．
【例7】
如图，在△ABC中，连接点A与BC上一点 M，点N在AM上，已知CM＝CN，＝，下列结论正确的是(B)
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
【例8】如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，则AC＝＝a，∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA；
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
高效课堂 教学设计
1．掌握相似三角形的判定定理1，2.
2．会用判定定理判定两个三角形相似．
▲重点
相似三角形的判定定理1，2的运用．
▲难点
相似三角形判定定理的证明．
◆活动1 新课导入
1．如图，AB∥CD，AE＝3，DE＝2，则＝____．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．判定两个三角形全等我们有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
◆活动2 探究新知
1．教材P32 探究．
提出问题：
(1)改变任意角或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
(2)体会证明过程中△A′DE的作用．
学生完成并交流展示．
2．教材P33.
提出问题：
(1)尝试证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；
(2)若把图27.2－8中的条件“∠A＝∠A′”换成“∠B＝∠B′”，那么两个三角形一定相似吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．三边__成比例__的两个三角形相似．
2．两边成比例且夹角__相等__的两个三角形相似．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P33 例1.
例2 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DFE相似，需添加的一个条件是__BC＝2EF(或∠A＝∠D)__．(写出一种情况即可)
例3 如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，求AP的长．
解：设AP＝x，则BP＝7－x.
(1)当△APD∽△BCP时，则＝，即＝，解得x＝1或x＝6，符合条件；
(2)当△APD∽△BPC时，则＝，即＝，解得x＝，符合条件．综上所述，AP的长是1或6或.
练习
1．教材P34 练习第1，2，3题．
2．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是(D)
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
3．如图，在正方形网格上画出梯形ABCD，连接BD，则∠BDC的度数是__135°__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC，那么ED与AB垂直吗？请说明理由．
解：ED与AB垂直．理由如下：由AD·AB＝AE·AC，得＝.又∵∠A＝∠A，可证明△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C＝90°，即DE⊥AB.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三边成比例的两个三角形相似．
2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
1．作业布置
(1)教材P42 习题27.2第3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 两角分别相等的两个三角形相似
教师备课 素材示例
●置疑导入 1.判定两个三角形全等的方法有哪些？
2．我们学习过哪些三角形相似的方法？
3．观察两副三角尺，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同．它们相似吗？
4．如果两个三角形有两组角对应相等，那么它们一定相似吗？
【教学与建议】教学：置疑导入相似三角形判定定理3，帮助学生建立新旧知识间的联系．建议：通过观察有同样两个锐角的两个大小不同的三角尺，发现：它们的形状相同．猜想它们相似．
●情景导入
用放大镜放大一个三角尺．
提出问题：在放大镜中看到的三角形与原三角形相比，边长变化了吗？角度变化了吗？两个图形的形状相同吗？
【教学与建议】教学：用放大镜放大实物三角形的情景吸引学生的注意力，激发学习兴趣．建议：引导学生回答，为本节课的学习做好铺垫．
*命题角度1 利用两角相等判定两个三角形相似
由两角分别相等判定三角形相似，需注意公共角、对顶角等明显相等的角．
【例1】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是__△DEF和△HGK__.
【例2】如图，D是△ABC的边AB上的一点，若∠1＝__∠B__，则△ADC∽△ACB；若∠2＝__∠ACB__，则△ADC∽△ACB.
*命题角度2 直角三角形相似的判定
判定两个直角三角形相似方法：①再找一个锐角相等．②有一条直角边和斜边对应成比例．
【例3】如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4】一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和 cm，这两个直角三角形__是__(选填“是”或“不是”)相似三角形．
*命题角度3 利用相似三角形的判定定理3求线段的长
一般先根据两个角分别相等判定两个三角形相似，再利用对应边成比例求线段的长．
【例5】如图，在△ABC中，D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝3，BD＝9，则边AC的长为(C)
A．2 B．4 C．6 D．8
【例6】如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为__(8，0)__．
*命题角度4 相似三角形的判定与其他知识的综合应用
相似三角形的判定常结合四边形、三角形或圆的一些知识综合考查，做题时需从复杂图形中抽离出简单图形，再根据相关图形的性质解决．
【例7】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，则⊙O的直径AE＝__5__．
【例8】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t s．当t为何值时，DP⊥AC
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ；
(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD，∴＝，∴＝，解得PA＝5.又∵P点以每秒1个单位长度的速度由A点向B点移动，∴t＝5.即当t为5时，DP⊥AC.
高效课堂 教学设计
1．掌握相似三角形的判定方法3和直角三角形相似，并运用它们解决一些实际问题．
2．经历探究相似三角形的判定，体会类比思想在学习数学中的作用．
▲重点
掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法．
▲难点
探究两个判定定理的证明过程．
◆活动1 新课导入
1．展示老师用的大三角板(45°和45°)及学生用的小三角尺(45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？
2．如果一个三角形中的两个角与另一个三角形中的两个角对应相等，这样的两个三角形相似吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P35 例2以上内容．
提出问题：
(1)作△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分别度量这两个三角形的边长，计算，，的值，你有什么发现？由此你能做出一个怎样的猜想？
(2)尝试证明“两角分别相等的两个三角形相似”．
学生完成并交流展示．
2．教材P36 思考．
提出问题：
(1)直角三角形三边存在什么关系？
(2)已知两边成比例，如何判定两直角三角形相似？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两角分别相等的两个三角形相似．
2．两直角三角形相似的判定方法：①一锐角对应相等；②两直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例．
3．思考：同学们总结一下，两等腰三角形相似的判定方法有哪些？两等边三角形，两等腰直角三角形相似的判定方法呢？
两等腰三角形相似的判定方法有：①顶角相等；②底角相等；③腰和底对应成比例．
所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P35 例2.
例2
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.若AB＝6，AD＝5，求AF的长．
解：如图．连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠2＝∠3，∠2＝∠1，∴∠1＝∠3.
∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA，∴＝，∴BD2＝AD·DF，
∴DF＝＝，∴AF＝AD－DF＝5－＝.
例3 如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝10 cm，AB＝8 cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．
解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴当△ABC∽△ADB时，则有＝，即＝，∴AD＝6.4 cm；当△ABC∽△BDA时，则有＝，即＝，∴BD＝6.4 cm，∴AD＝＝4.8(cm).综上所述，AD的长为6.4 cm或4.8 cm.
练习
1．教材P36 练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(D)
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C
C．＝ D．＝
3．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝__10__时，△ABC∽△A′B′C′.
4．如图，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.求证：△ABD∽△AEB.
证明：∵AB＝AC，∴＝，∴∠ADB＝∠ABC.
又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．会用两角对应相等来判定两个三角形相似．
2．直角三角形和等腰三角形相似的判定．
1．作业布置
(1)教材P43～44 习题27.2第7，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2.2 相似三角形的性质
教师备课 素材示例
●置疑导入 在10倍放大镜下看到的三角尺与原三角尺相比，三角尺的边长、角、周长、面积这些量，哪些量没有变？哪些量被放大了10倍？哪些量不止放大了10倍？
【教学与建议】教学：从放大镜里看到的三角尺与原三角尺相似，在由问题导入课题中感悟新知．建议：学生先讨论结果，教师再借助信息技术手段将结果呈现给学生．
●归纳导入 (1)在如图所示的方格纸(每个小方格的边长均为1个单位长度)上，画出一个与已知△ABC相似(点A，B，C均在格点上)，但相似比不为1的格点三角形A1B1C1(每小组至少画两种情况)；
(2)分别计算△ABC与△A1B1C1的相似比、周长比及面积比，然后填表．
相似比 周长比 面积比
△ABC∽△A1B1C1
【归纳】当相似比等于k时，周长比等于__k__，面积比等于__k2__．
相似三角形周长的比等于__相似比__，面积的比等于__相似比的平方__．
【教学与建议】教学：学生动手试验——观察——思考——归纳——发现的学习过程，分别总结相似三角形的周长比与相似比的关系、面积比与相似比的关系．建议：先猜测得到命题：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．再进行证明．
*命题角度1 利用相似三角形对应线段的比等于相似比求线段长
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝4，则＝(A)
A．2 B． C．3 D．
【例2】
如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则点P到AB的距离是__0.9__m.
*命题角度2 利用相似三角形周长的比等于相似比解决周长问题
涉及两个三角形的周长问题，可以先判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比解决．
【例3】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为12和6，且FH＝4，则EA的长为(B)
A．3 B．2 C．4 D．5
【例4】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为__1∶2__．
*命题角度3 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决面积问题
涉及两个三角形的面积问题，可以先根据条件判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决．
【例5】如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于G，则S△EFG∶S△ABG＝(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
【例6】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为__3__．
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握相似三角形的性质．
2．能够运用相似三角形的性质解决相关问题．
▲重点
理解并能运用相似三角形的性质．
▲难点
探索证明相似三角形的性质．
◆活动1 新课导入
1．类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？
2．已经掌握相似三角形有哪些性质？
◆活动2 探究新知
1．教材P37 探究．
(1)在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？
(2)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
(3)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；
(4)请证明：相似三角形周长的比等于相似比．
学生完成并交流展示．
2．教材P38 思考．
请证明：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动3 知识归纳
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于__相似比__.
3．相似三角形周长的比等于__相似比__．
4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动4 例题与练习
例1 已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝，即＝，∴A′B′＝18 cm，同理，BC＝20 cm，∴AC＝60－20－15＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm).
例2 如图，△ABC是一块锐角三角形涂料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB，AC上．该矩形的长QM＝y(mm)，宽MN＝x(mm)，如何用含x的代数式表示y
解：∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y，DE＝MN＝x.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∴＝，即y＝120－x.
例3 如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则＝____．
练习
1．教材P39 练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
解：(1)∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴CP2＝CA2＝×42＝8，∴CP＝2；
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝×(AB＋BC＋AC)＝6，∴CQ＝6－CP.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得CP＝.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比．
2．相似三角形周长的比等于相似比．
3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1．作业布置
(1)教材P42～43 习题27.2第6，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2.3 相似三角形应用举例
教师备课 素材示例
●复习导入 1.相似三角形的判定方法有哪些？
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角分别相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似；
(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质有哪些？
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比；
(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【教学与建议】教学：复习相似三角形的判定和性质，为本课时解决相似三角形的实际问题奠定基础．建议：学生如果出现回答不完整现象，其他同学相互补充．
●悬念激趣 胡夫金字塔是现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10多万人花了约20年时间．大金字塔原高146.59 m，但经过几千年的风吹雨打，顶端风化，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯．他曾测量出大金字塔的高度．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
【教学与建议】教学：通过悬念问题的提出，让学生了解了本节课要探讨的问题方向．建议：对于测量问题，可以让学生小组讨论提出测量方案，作为一个专题完成学习．
*命题角度1 利用影长求物体的高度
在阳光或者路灯的照射下，物、光线、影子构成的三角形相似，利用对应边成比例求线段长度．
【例1】如图，身高为1.5 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3 m，CA＝1 m，则树的高度为(D)
A．3 m B．4 m C．4.5 m D．6 m
【例2】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2.5 m，它的影长BC＝2 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.8 m，MN＝1.2 m，则木杆PQ的长度为__3.45__m.
*命题角度2 利用标杆或三角尺求物高
借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似直角三角形，进而利用对应边成比例解决问题．
【例3】如图，小明同学用自制的直角三角纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__m.
*命题角度3 利用平面镜反射原理测量物高
平面镜反射光线时，入射角等于反射角，由此可构造相似的两个直角三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题．
【例4】如图是小明设计用手电来测量某古城高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测量AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是(B)
A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m
*命题角度4 利用相似测宽度
测量河、湖等宽度时，通常构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求宽度．
【例5】如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E 在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
*命题角度5 多次利用相似三角形测高
根据题意构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出物体的高．
【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，他站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分度恰好遮住电线杆，已知臂长约60 cm，则电线杆的高是__6__m.
高效课堂 教学设计
1．能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题．
2．能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
▲重点
运用相似的判定和性质定理解决实际问题．
▲难点
在实际问题中建立数学模型．
◆活动1 新课导入
你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P39 例4.
提出问题：
(1)本例中是如何构造相似三角形求高的？
(2)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P40 例5.
提出问题：
(1)构造相似三角形求河宽，至少需要测量几个数据？
(2)利用全等能求河宽吗？请设计出具体方案．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．同一时刻的太阳光线下，物高与影长成比例．
2．利用相似三角形解决问题的基本方法是：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P40 例6.
例2 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE，∴＝，∴＝，∴AH＝11.9(m)，∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
答：旗杆AB的高度为13.5 m．
例3 如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到点G，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．(精确到0.1 m)
解：根据题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴＝＝ ①.同理，＝ ②.又∵CD＝FG＝1.7 m，由①②可得＝，即＝，解得BD＝7.5 m．将BD＝7.5 m代入①，得AB＝5.95 m≈6.0 m.
答：路灯杆AB的高度约为6.0 m．
练习
1．教材P41 练习第1，2题．
2．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__m.
3．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在点B处立一根高为2 m的标杆，观测者站在点F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C在同一条直线上，若测量得到BD＝6.4 m，FB＝1.6 m，EF＝1.6 m，求树的高度．
解：过点E作EG⊥CD于点G，交AB于点H，则EH⊥AB，∴∠AHE＝∠CGE＝90°.又∵∠AEH＝∠CEG，∴△EAH∽△ECG，∴＝，即＝，解得CG＝2(m)，∴CD＝CG＋GD＝2＋1.6＝3.6(m).
答：树的高度为3.6 m．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．测量不能直接测量的物体的高度：通常用同一时刻物高与影长成比例解决．
2．测量不能直接测量的两点间的距离：通常构造相似三角形求解．
3．把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型．
1．作业布置
(1)教材P43 习题27.2第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.3 位似
第1课时 位似
教师备课 素材示例
●情景导入 1.生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
2．如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2∶1，应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
【教学与建议】教学：从实际生活中具有位似特征的现象引入课题，感受位似的存在．建议：可以让学生寻找身边类似的图形，理解位似是一种特殊的位置关系．
●归纳导入 请观察下列图形，并回答问题．
【归纳】1.每组图形内的两个图形是__相似__图形．
2．对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线__相交于一点__，并且这点与对应顶点所连线段__成比例__，那么这两个多边形就是位似多边形．对应顶点的连线的交点叫做__位似中心__．
【教学与建议】教学：通过几组位似图形的展示及问题的层层深入，对位似图形的概念和性质有初步的了解和认识．建议：强调抓住两个关键点：一是两个图形的对应顶点的连线相交于一点；二是这点与对应顶点所连线段成比例．
*命题角度1 识别位似图形
两个图形位似需满足以下条件：①两个图形相似；②对应边互相平行或在同一条直线上；③两个图形的每对对应点所在直线相交于一点．
【例1】下列各组图中，不是位似图形的是(B)
【例2】已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′存在位似关系的是__①②③__．(填序号)
*命题角度2 利用位似的性质求位似中心
位似中心是位似图形上对应点所在直线的交点，通过作直线找到交点，这个交点就是位似中心．
【例3】如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O C．点M D．点N
【例4】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2.若AB＝2 cm，则A′B′＝__4__cm，并在图中画出位似中心O.
*命题角度3 利用位似的性质计算
位似是一种特殊的相似，故相似图形的一切性质都适用于位似图形．
【例5】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)
A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ D．1∶9
【例6】如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为__1∶2__．
*命题角度4 利用位似将图形放大或缩小
通过作位似图形，可以将一个图形放大或缩小．作位似图形的关键是确定原图形中各顶点的对应点，原理是位似图形上各对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例7】如图，请在8×8的正方形网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.
解：如图，△A′B′C′为所求的三角形．
高效课堂 教学设计
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握画位似图形的方法．
▲重点
理解并掌握位似图形的定义、性质及画法．
▲难点
位似图形的多种画法．
◆活动1 新课导入
在日常生活中，我们经常看到下面这些相似的图形，它们有什么特征呢？
◆活动2 探究新知
1．教材P47.
提出问题：
(1)观察图27.3 1和图27.3 2，两个图形中对应点的连线有什么共同特征？
(2)位似图形和相似图形有什么联系与区别？
(3)如何判断两个图形是否是位似图形？
学生完成并交流展示．
2．教材P47 图27.3 2，P48 第1个探究．
提出问题：
(1)如何利用位似将一个图形放大或缩小？
(2)画位似图形的一般步骤是什么？
(3)画位似图形时需要注意什么问题？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．这时的相似比又称为位似比．
2．位似图的性质：(1)位似图形一定相似，位似比等于__相似比__；(2)位似图形对应点和位似中心在__同一条直线上__；(3)任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比；(4)对应线段__平行__或者在__同一条直线上__．
3．总结画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( B )
A.2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
例2 如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．
解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12.设AB＝x，则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x.∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，∴＝，即＝，解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4.
例3 如图，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.
(1)若AC＝5，求A′C′的长；
(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积．
解：(1)∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，BO∶B′O＝3∶6＝1∶2，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为，∴＝，即＝，∴A′C′＝10；
(2)由(1)，得＝＝，即＝，∴S△A′B′C′＝7×4＝28.
练习
1．教材P48 练习第1，2题．
2．下列说法正确的是( C )
A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B．两位似图形的面积之比等于相似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于相似比
D．位似图形的周长之比等于相似比的平方
3．已知四边形ABCD和位似中心点O，画出它的位似图形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶2.(画一个)
解：如图所示：
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．位似图形的概念．
2．画位似图形的一般步骤．
1．作业布置
(1)教材P51 习题27.3第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平面直角坐标系中的位似
教师备课 素材示例
●复习导入
1．已知点P(x，y).
(1)关于x轴对称点P1坐标为__(x，－y)__；
(2)关于y轴对称点P2坐标为__(－x，y)__；
(3)关于原点对称点P3坐标为__(－x，－y)__；
(4)向右平移a(a＞0)个单位长度，再向下平移b(b＞0)个单位长度，得点P4坐标为__(x＋a，y－b)__.
2．位似图形是特殊的相似形，是一种图形的变换，位似变换是否可以用图形坐标的变化来表示呢？
【教学与建议】教学：引导学生复习坐标点变化规律，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．建议：让学生独立完成复习内容，然后导入新课．
●归纳导入
1．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
探究：(1)在方法一中，点A′的坐标是__(2，1)__，点B′的坐标是__(2，0)__；
(2)在方法二中，点A′的坐标__(－2，－1)__，点B′的坐标是__(－2，0)__．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).以点O为位似中心，相似比为2∶1，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后点A，B，C的对应点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)或A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4).
【归纳】一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为__(kx，ky)或(－kx，－ky)__．
【教学与建议】教学：在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律．建议：学生先动手填写，然后再引导分析归纳坐标的变化规律．
*命题角度1 利用位似的性质求点的坐标
在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k作位似图形时，位似图形上横纵坐标比为k或－k.
【例1】在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
【例2】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为(B)
A．(2，5) B．(2.5，5)
C．(3，5) D．(3，6)
*命题角度2 利用位似图形的坐标变化特点缩小或扩大图形
作图原理：在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，且变换前后的相似比为k，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).
【例3】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点M为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
高效课堂 教学设计
1．理解位似的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．
2．理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出变换后的图形．
▲重点
用图形的坐标变化来表示图形的位似变化．
▲难点
位似图形的多种画法的变化规律．
◆活动1 新课导入
如图，已知点A(0，3)，B(2，0)是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
(1)将线段AB向左平移3个单位长度得到线段A1B1，画出图形，并写出点A1，B1的坐标；
(2)作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出点A2，B2的坐标．
解：(1)如图；A1(－3，3)，B1(－1，0)；(2)如图；A2(0，3)，B2(－2，0).
◆活动2 探究新知
1．教材P48 第2个探究．
提出问题：
(1)在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
(2)所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是什么关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
(3)截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们之间有何异同点？
(4)怎样用坐标变化来表示平移、轴对称、旋转(中心对称)、位似这几种变换？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为__(kx，ky)__或__(－kx，－ky)__．
◆活动4 例题与练习
例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( D )
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
例2 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
解：(1)如图，△A1B1C1就是所求作的三角形；
(2)如图，△A2B2C2就是所求作的三角形．由已知得A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.
练习
1．教材P50 练习第1，2题．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( D )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
3．如图，△ABC与△DOE是位似图形，A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)，E(6，0)，则点D的坐标为__(4，6)__．
4．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，画出图形并写出点B′，C′，D′的坐标．
解：如图．∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.∴C(3，2)，D(1，2).∵以点A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，有两种情况：①B′(2，0)，C′(2，1)，D′(1，1)；②B″(0，0)，C″(0，－1)，D″(1，－1).
活动5 完成附赠手册
活动6 课堂小结
1．会用图形的位似变化求点的坐标．
2．会按要求画出位似变换后的图形．
1．作业布置
(1)教材P51 习题27.3第3，4，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
人教版九年级数学下册第二十七章《相似》同步教学设计
27.1 图形的相似
第1课时 相似图形
教师备课 素材示例
●情景导入 播放一些著名建筑物的图片，欣赏并找出图中哪些图形的形状是相同的．
【教学与建议】教学：让学生留心观察生活中存在的大量形状相同的图形，增强学生的感性认识．让学生体会到数学就在我们身边．建议：让学生直观地感受图片中有很多形状相同的图形，从而引出课题．
●归纳导入 如图，我们常会看到许多形状相同的图形，下图形状相同的图形有哪些？
形状相同的图形有：__①与③，②与 ，④与 ，⑤与⑩，⑥⑦⑧⑨__
【归纳】1.把__形状相同的__图形叫做相似图形．
2．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一图形__放大__或__缩小__得到的．
【教学与建议】教学：找出形状相同的图形，比较它们的异同．归纳相似图形的概念．建议：让学生举例生活中的相似图形，发现相似图形的性质．
*命题角度1 形状相同图形的识别
形状相同指外形和状态相同，大小可以相同也可以不同．
【例1】下列说法中，不正确的是(C)
A．两幅比例不同的中国行政地图是相似图形
B．两个图形相似与形状有关而与位置无关
C．哈哈镜中人的形象与本人是相似的
D．同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的
高效课堂 教学设计
1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形的概念．
2．经历观察和操作的过程，探索图形的相似，掌握相似图形的性质，会用其性质解决有关问题．
3．在探究相似图形的过程中，培养与他人交流、合作的意识和品质．
▲重点
初步认识相似图形．
▲难点
识别相似图形．
◆活动1 新课导入
请同学们观察所给出的几组图形(多媒体展示教材P24四组图片)，说说它们有哪些共同点．
◆活动2 探究新知
1．教材P24.
提出问题：
(1)图27.1－1给我们以什么样的形象？
(2)两个相似图形，可以经过怎样的变换得到？
(3)在日常生活中你还见过哪些相似的图形？
学生完成并交流展示．
2．教材P25 思考．
提出问题：
(1)平面镜得到的人的形象与本人相似吗？
(2)哈哈镜中的人体形象与本人相似吗？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．我们把__形状相同的图形__叫做相似图形．
2．将图形放大、缩小后得到的图形与原图形是__相似图形__．
◆活动4 例题与练习
例1 下列物体中，形状不一定相同的是(B)
A．足球和乒乓球 B．两个长方体木块
C．两个正方体木块 D．两个等边三角形
例2 在平面直角坐标系中描出点A(－1，0)，B(1，0)，C(2，2)，用线段顺次连接起来，得到△ABC.
(1)把A，B，C各点横、纵坐标都减去1，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC相似吗？
(2)把A，B，C各点横、纵坐标都乘以2，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则△A2B2C2与△ABC相似吗？
解：(1)A1(－2，－1)，B1(0，－1)，C1(1，1).(画图略)△A1B1C1与△ABC相似，平移得到，形状没有变化；
(2)A2(－2，0)，B2(2，0)，C2(4，4).(画图略)△A2B2C2与△ABC相似，扩大2倍得到．
练习
1．教材P25 练习第1，2题．
2．下列说法正确的有(D)
①同一底片印出来的不同尺寸的照片是相似的；②放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似的；③放大镜放大后的图形与原来的图形是相似的．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有__①⑤__．(填序号)
4．如图，图形中相似的正方形共有__5__个，相似的三角形共有__16__个．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解相似图形的概念．
2．会识别相似图形．
1．作业布置
(1)教材P27 习题27.1第4题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 相似多边形
教师备课 素材示例
●置疑导入 在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如半径不相同的圆、五角星、放大镜下的图形、中国地图等．请看教材第23页章前图中两张大小不同的万里长城图片，它们的各部分都是按一定比例对应的．在“全等三角形”一章中，我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段(如高、中线和角平分线等)和面积有什么关系？如何按要求放大或缩小一个图形呢？如何判定这两个三角形相似，这节课我们将探索相似多边形的概念及性质．
【教学与建议】教学：章引回顾了“全等三角形”一章研究的主要内容，与此类比提出相似图形要研究的主要问题，简要说明了本章的主要研究方法．建议：给学生展示即将面对的问题，使学生对将要学习的内容有一个整体认识，做到心中有数．
● 情景导入 1.如图，△A1B1C1是由△ABC通过放大镜放大得到的，这两个三角形的对应角有什么关系？对应边呢？它是相似图形吗？
∠A＝__∠A1__，∠B＝__∠B1__，∠C＝__∠C1__，＝____＝____，它们是__相似图形__．
【归纳】相似多边形的对应角__相等__，对应边成__比例__．
2．两个大小不同的正方形，对应角有什么关系？对应边是否成比例？它们是相似图形吗？
3．两个大小不同的矩形、菱形的对应角、对应边关系不明确时，它们是相似图形吗？
学生讨论交流，教师指出：两个正方形是相似图形，两个矩形或菱形不一定是相似图形．今天学习了相似多边形，我们就知道是为什么．
【教学与建议】教学：由相似三角形、正方形得到对应角相等，对应边成比例，再列举不相似图形，激发学生的学习热情．建议：让学生回忆和感受多边形，识别相似多边形．
*命题角度1 识别相似多边形
相似多边形满足边数相等，对应角相等，对应边成比例．
【例1】从下列各组多边形的每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是__②⑥__．(填序号)
①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形．
【例2】下列各组图形中，必定相似的是(D)
A．两个等腰三角形
B．各有一个角是40°的两个等腰三角形
C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形
D．有一个角是100°的两个等腰三角形
*命题角度2 成比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果＝(即ad＝bc)，这四条线段是成比例线段．
【例3】已知2x＝5y(y≠0)，则下列比例式成立的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【例4】已知线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d＝__1，4或9__cm.
*命题角度3 利用相似多边形的性质求解
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例．根据此性质，可以解决一些角度问题或线段的长度问题．
【例5】如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论中正确的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
【例6】如图，在Rt△ABC内画边长分别为9，6，x的三个正方形，则x的值为__4__.
高效课堂 教学设计
1．理解相似多边形和相似比的概念，掌握相似多边形的两个基本性质．
2．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质，并能进行相关的计算．
3．掌握相似多边形的主要特征，能够识别两个多边形是否相似，并能运用其性质进行相关的计算．
▲重点
掌握相似多边形的性质及判别方法，能用性质解决具体问题．
▲难点
判别两个多边形是否相似．
◆活动1 新课导入
1．什么是相似图形？__形状相同的图形__．
2．举几个相似图形的例子．__大小不同的两副三角板，大小不同的两张中国地图等__．
◆活动2 探究新知
1．教材P26.
提出问题：
(1)判定两个多边形相似必须具备的条件是什么？
(2)图形A和图形B的相似比与图形B和图形A的相似比一样吗？
(3)如何寻找对应角、对应边？可从中建立什么数量关系？
(4)如何应用相似多边形的性质求未知的边或角的大小？
学生完成并交流展示．
2．教材P26 右上角(成比例线段的概念)．
提出问题：
(1)理解成比例线段时应注意什么？
(2)对于比例式＝中，a与d，b与c的位置可以互换吗？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两个__边数__相同的多边形，如果它们的__角__分别相等，__边__成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
2．教师根据上述结果得：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P26 例题．
例2 如图，矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？若相似，请加以证明；若不相似，请说明理由．
解：矩形ABCD与矩形EFGH相似．证明如下：∵四边形ABCD与四边形EFGH都为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝90°.∵AD＝BC＝4 cm，DC＝AB＝2 cm，EH＝FG＝2.4 cm，EF＝HG＝1.2 cm，∴＝＝，＝＝，∴＝＝＝＝，∴矩形ABCD与矩形EFGH相似．
练习
1．教材P27 练习第1，2，3题．
2．某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，则图纸的比例尺为(B)
A．1∶20 B．1∶30 C．1∶40 D．1∶50
3．下列各线段的长度成比例的是(D)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)由已知，得MN＝AB，MD＝AD＝BC.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，∴AD2＝AB2.∵AB＝4，∴AD2＝16，∴AD＝4；
(2).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．相似多边形的概念及其应用．
2．成比例线段的概念及其应用．
1．作业布置
(1)教材P27 习题27.1第1，2，3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例定理
教师备课 素材示例
●情景导入 上幼儿园的小朋友有项手工作业是“利用扭扭棒做个等边三角形”，小朋友需要你的帮助，而你的身边只有数学作业本，该如何是好？
【教学与建议】教学：这问题的关键点是如何将扭扭棒三等分，只需将扭扭棒的两端放置在四条等距平行线的第一条和第四条上即可，说明等距平行线可等分线段，由此导入课题．建议：教学时建议备好扭扭棒或替代物，演示三等分的过程，并进行简单的说理．
●复习导入 1.如果两个三角形的形状和大小都相同，那么这两个三角形是__全等__三角形．
2．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做__相似__多边形．
3．如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，这两个三角形有什么关系？
4．类比全等三角形和相似三角形的定义，如何表示相似三角形呢？又如何判定两个三角形相似呢？
【教学与建议】教学：通过对全等三角形的定义和判定方法的回顾，加强新旧知识的联系和延伸．建议：让学生明确可类比全等三角形中寻找对应边、对应角的方法来寻找相似三角形中的对应元素．
*命题角度1 利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行计算或推理
由平行线分线段成比例的基本事实可以得到对应线段间的关系，即＝，＝，＝等．
【例1】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【例2】如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝4，则EF的值是__2__．
*命题角度2 利用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，根据所得的对应线段成比例求线段长度．
【例3】如图，点F在 ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例4】如图，在 ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为__10__.
【例5】已知三个边长分别为2 cm，3 cm，5 cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为__3.75__cm2__．
高效课堂 教学设计
1．理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比．
2．掌握平行线分线段成比例及其两个推论．
3．掌握判定两个三角形相似的预备定理及其应用．
▲重点
平行线分线段成比例定理及相似三角形的预备定理及应用．
▲难点
两个定理的探索过程．
◆活动1 新课导入
如图，给出的两个四边形是相似图形，具体数据如图所示．求未知边a，b的长度及角α的值．
◆活动2 探究新知
1．教材P29 “探究”以上内容．
提出问题：
(1)如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
(2)当△A′B′C′∽△ABC时，相似比是多少？如何表示？
(3)若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P29～30 “思考”以上内容．
(1)图27.2－2中，当的值为1时，这组平行线有什么特点？
(2)图27.2－3中，除了分线段成比例外，还有其他的比例关系吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P30 思考．
提出问题：
(1)体会过点E作与AB平行的直线EF的作用，为什么要作这条辅助线？
(2)过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
(3)如图，若点D，E分别在AB，AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两个三角形三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似．
强调：(1)用“∽”表示两三角形相似时，一般应将对应点写在对应的位置上；
(2)若△ABC与△A′B′C′的相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____．
2．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
3．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__成比例__．
4．相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形__相似__．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，△ADE∽△ACB，那么下列比例式成立的是(A)
A.＝＝ B．＝
C．＝＝ D．＝＝
例2 如图，在 ABCD中，AE＝EB，AF＝2，求CF的长．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴△AEF∽△CDF，∴＝.∵AE＝EB，∴AE＝AB＝CD，∴CF＝2AF＝4.
练习
1．教材P31 练习第1，2题．
2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝4，则EF的长是(C)
A． B． C．6 D．10
3．如图，AB∥DC，AC交BD于点O，已知＝，BO＝6，则DO＝__10__．
4．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在边AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，求菱形BEDF的边长．
解：设菱形BEDF的边长为x cm，则AE＝(15－x)cm.∵四边形BEDF是菱形，∴DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝.∵AB＝15 cm，BC＝12 cm，AE＝(15－x)cm，∴＝，解得x＝，∴菱形BEDF的边长为 cm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行线分线段成比例定理及其两个推论．
2．相似三角形的预备定理．
1．作业布置
(1)教材P42 习题27.2第4，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教师备课 素材示例
●类比导入
定义 判定方法
全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 斜边与直角边(HL)
相似三角形 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似
能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件？这节课我们来探索三角形相似的条件．
【教学与建议】教学：通过对三角形全等的判定方法的回顾，让学生类比全等三角形的判定方法尝试去判定三角形相似．建议：复习三角形全等的判定方法时，让学生自主归纳，强调三个条件，有利于相似三角形判定条件的确定．
●悬念激趣
如图，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量某工具的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝8，那么AB＝2×8＝16.你知道这是为什么吗？
【教学与建议】教学：用生活中的实例吸引学生的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：让学生写出证明过程再小组讨论，增强学生对数学知识的感性认识．
*命题角度1 由三边关系判定两个三角形相似
判断三边是否成比例，先将三边按大小顺序排列，再分别计算出比值，最后由比值是否相等确定两个三角形是否相似．
【例1】已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是(A)
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【例2】三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形最长边是21 cm，则最短边为__9__cm.
*命题角度2 判定网格图中的三角形相似
判定网格图中的两个三角形相似，一般要把网格中小正方形的边长看作1，再利用勾股定理计算出三角形的边长，最后利用三边成比例进行判定．
【例3】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(B)
【例4】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中的小方格是边长为1的正方形，试判断格点图形△ABC与△DEF是否相似，并说明你的理由．
解：△ABC与△DEF相似．理由如下：
小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理易求得DE＝，DF＝2，EF＝，AB＝，AC＝，BC＝5，∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF.
*命题角度3 利用“相似三角形的三边成比例”解决三角形的边、角问题
已知两个三角形相似，那么可以利用对应边成比例求边长，利用对应角相等求角度．
【例5】如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，＝＝，则∠EAC＝__20°__．
【例6】如图，要使△ABC∽△DEF，则x的值是__40__，△ABC与△DEF的相似比是__3∶5__．
*命题角度4 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似
当条件中有两边时，通常用两边成比例且夹角相等来判定三角形相似．
【例7】
如图，在△ABC中，连接点A与BC上一点 M，点N在AM上，已知CM＝CN，＝，下列结论正确的是(B)
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
【例8】如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，则AC＝＝a，∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA；
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
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1．掌握相似三角形的判定定理1，2.
2．会用判定定理判定两个三角形相似．
▲重点
相似三角形的判定定理1，2的运用．
▲难点
相似三角形判定定理的证明．
◆活动1 新课导入
1．如图，AB∥CD，AE＝3，DE＝2，则＝____．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．判定两个三角形全等我们有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
◆活动2 探究新知
1．教材P32 探究．
提出问题：
(1)改变任意角或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
(2)体会证明过程中△A′DE的作用．
学生完成并交流展示．
2．教材P33.
提出问题：
(1)尝试证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；
(2)若把图27.2－8中的条件“∠A＝∠A′”换成“∠B＝∠B′”，那么两个三角形一定相似吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．三边__成比例__的两个三角形相似．
2．两边成比例且夹角__相等__的两个三角形相似．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P33 例1.
例2 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DFE相似，需添加的一个条件是__BC＝2EF(或∠A＝∠D)__．(写出一种情况即可)
例3 如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，求AP的长．
解：设AP＝x，则BP＝7－x.
(1)当△APD∽△BCP时，则＝，即＝，解得x＝1或x＝6，符合条件；
(2)当△APD∽△BPC时，则＝，即＝，解得x＝，符合条件．综上所述，AP的长是1或6或.
练习
1．教材P34 练习第1，2，3题．
2．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是(D)
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
3．如图，在正方形网格上画出梯形ABCD，连接BD，则∠BDC的度数是__135°__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC，那么ED与AB垂直吗？请说明理由．
解：ED与AB垂直．理由如下：由AD·AB＝AE·AC，得＝.又∵∠A＝∠A，可证明△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C＝90°，即DE⊥AB.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三边成比例的两个三角形相似．
2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
1．作业布置
(1)教材P42 习题27.2第3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 两角分别相等的两个三角形相似
教师备课 素材示例
●置疑导入 1.判定两个三角形全等的方法有哪些？
2．我们学习过哪些三角形相似的方法？
3．观察两副三角尺，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同．它们相似吗？
4．如果两个三角形有两组角对应相等，那么它们一定相似吗？
【教学与建议】教学：置疑导入相似三角形判定定理3，帮助学生建立新旧知识间的联系．建议：通过观察有同样两个锐角的两个大小不同的三角尺，发现：它们的形状相同．猜想它们相似．
●情景导入
用放大镜放大一个三角尺．
提出问题：在放大镜中看到的三角形与原三角形相比，边长变化了吗？角度变化了吗？两个图形的形状相同吗？
【教学与建议】教学：用放大镜放大实物三角形的情景吸引学生的注意力，激发学习兴趣．建议：引导学生回答，为本节课的学习做好铺垫．
*命题角度1 利用两角相等判定两个三角形相似
由两角分别相等判定三角形相似，需注意公共角、对顶角等明显相等的角．
【例1】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是__△DEF和△HGK__.
【例2】如图，D是△ABC的边AB上的一点，若∠1＝__∠B__，则△ADC∽△ACB；若∠2＝__∠ACB__，则△ADC∽△ACB.
*命题角度2 直角三角形相似的判定
判定两个直角三角形相似方法：①再找一个锐角相等．②有一条直角边和斜边对应成比例．
【例3】如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4】一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和 cm，这两个直角三角形__是__(选填“是”或“不是”)相似三角形．
*命题角度3 利用相似三角形的判定定理3求线段的长
一般先根据两个角分别相等判定两个三角形相似，再利用对应边成比例求线段的长．
【例5】如图，在△ABC中，D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝3，BD＝9，则边AC的长为(C)
A．2 B．4 C．6 D．8
【例6】如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为__(8，0)__．
*命题角度4 相似三角形的判定与其他知识的综合应用
相似三角形的判定常结合四边形、三角形或圆的一些知识综合考查，做题时需从复杂图形中抽离出简单图形，再根据相关图形的性质解决．
【例7】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，则⊙O的直径AE＝__5__．
【例8】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t s．当t为何值时，DP⊥AC
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ；
(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD，∴＝，∴＝，解得PA＝5.又∵P点以每秒1个单位长度的速度由A点向B点移动，∴t＝5.即当t为5时，DP⊥AC.
高效课堂 教学设计
1．掌握相似三角形的判定方法3和直角三角形相似，并运用它们解决一些实际问题．
2．经历探究相似三角形的判定，体会类比思想在学习数学中的作用．
▲重点
掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法．
▲难点
探究两个判定定理的证明过程．
◆活动1 新课导入
1．展示老师用的大三角板(45°和45°)及学生用的小三角尺(45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？
2．如果一个三角形中的两个角与另一个三角形中的两个角对应相等，这样的两个三角形相似吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P35 例2以上内容．
提出问题：
(1)作△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分别度量这两个三角形的边长，计算，，的值，你有什么发现？由此你能做出一个怎样的猜想？
(2)尝试证明“两角分别相等的两个三角形相似”．
学生完成并交流展示．
2．教材P36 思考．
提出问题：
(1)直角三角形三边存在什么关系？
(2)已知两边成比例，如何判定两直角三角形相似？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两角分别相等的两个三角形相似．
2．两直角三角形相似的判定方法：①一锐角对应相等；②两直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例．
3．思考：同学们总结一下，两等腰三角形相似的判定方法有哪些？两等边三角形，两等腰直角三角形相似的判定方法呢？
两等腰三角形相似的判定方法有：①顶角相等；②底角相等；③腰和底对应成比例．
所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P35 例2.
例2
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.若AB＝6，AD＝5，求AF的长．
解：如图．连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠2＝∠3，∠2＝∠1，∴∠1＝∠3.
∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA，∴＝，∴BD2＝AD·DF，
∴DF＝＝，∴AF＝AD－DF＝5－＝.
例3 如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝10 cm，AB＝8 cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．
解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴当△ABC∽△ADB时，则有＝，即＝，∴AD＝6.4 cm；当△ABC∽△BDA时，则有＝，即＝，∴BD＝6.4 cm，∴AD＝＝4.8(cm).综上所述，AD的长为6.4 cm或4.8 cm.
练习
1．教材P36 练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(D)
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C
C．＝ D．＝
3．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝__10__时，△ABC∽△A′B′C′.
4．如图，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.求证：△ABD∽△AEB.
证明：∵AB＝AC，∴＝，∴∠ADB＝∠ABC.
又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．会用两角对应相等来判定两个三角形相似．
2．直角三角形和等腰三角形相似的判定．
1．作业布置
(1)教材P43～44 习题27.2第7，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2.2 相似三角形的性质
教师备课 素材示例
●置疑导入 在10倍放大镜下看到的三角尺与原三角尺相比，三角尺的边长、角、周长、面积这些量，哪些量没有变？哪些量被放大了10倍？哪些量不止放大了10倍？
【教学与建议】教学：从放大镜里看到的三角尺与原三角尺相似，在由问题导入课题中感悟新知．建议：学生先讨论结果，教师再借助信息技术手段将结果呈现给学生．
●归纳导入 (1)在如图所示的方格纸(每个小方格的边长均为1个单位长度)上，画出一个与已知△ABC相似(点A，B，C均在格点上)，但相似比不为1的格点三角形A1B1C1(每小组至少画两种情况)；
(2)分别计算△ABC与△A1B1C1的相似比、周长比及面积比，然后填表．
相似比 周长比 面积比
△ABC∽△A1B1C1
【归纳】当相似比等于k时，周长比等于__k__，面积比等于__k2__．
相似三角形周长的比等于__相似比__，面积的比等于__相似比的平方__．
【教学与建议】教学：学生动手试验——观察——思考——归纳——发现的学习过程，分别总结相似三角形的周长比与相似比的关系、面积比与相似比的关系．建议：先猜测得到命题：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．再进行证明．
*命题角度1 利用相似三角形对应线段的比等于相似比求线段长
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝4，则＝(A)
A．2 B． C．3 D．
【例2】
如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则点P到AB的距离是__0.9__m.
*命题角度2 利用相似三角形周长的比等于相似比解决周长问题
涉及两个三角形的周长问题，可以先判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比解决．
【例3】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为12和6，且FH＝4，则EA的长为(B)
A．3 B．2 C．4 D．5
【例4】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为__1∶2__．
*命题角度3 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决面积问题
涉及两个三角形的面积问题，可以先根据条件判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决．
【例5】如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于G，则S△EFG∶S△ABG＝(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
【例6】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为__3__．
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握相似三角形的性质．
2．能够运用相似三角形的性质解决相关问题．
▲重点
理解并能运用相似三角形的性质．
▲难点
探索证明相似三角形的性质．
◆活动1 新课导入
1．类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？
2．已经掌握相似三角形有哪些性质？
◆活动2 探究新知
1．教材P37 探究．
(1)在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？
(2)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
(3)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；
(4)请证明：相似三角形周长的比等于相似比．
学生完成并交流展示．
2．教材P38 思考．
请证明：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动3 知识归纳
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于__相似比__.
3．相似三角形周长的比等于__相似比__．
4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动4 例题与练习
例1 已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝，即＝，∴A′B′＝18 cm，同理，BC＝20 cm，∴AC＝60－20－15＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm).
例2 如图，△ABC是一块锐角三角形涂料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB，AC上．该矩形的长QM＝y(mm)，宽MN＝x(mm)，如何用含x的代数式表示y
解：∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y，DE＝MN＝x.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∴＝，即y＝120－x.
例3 如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则＝____．
练习
1．教材P39 练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
解：(1)∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴CP2＝CA2＝×42＝8，∴CP＝2；
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝×(AB＋BC＋AC)＝6，∴CQ＝6－CP.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得CP＝.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比．
2．相似三角形周长的比等于相似比．
3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1．作业布置
(1)教材P42～43 习题27.2第6，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.2.3 相似三角形应用举例
教师备课 素材示例
●复习导入 1.相似三角形的判定方法有哪些？
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角分别相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似；
(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质有哪些？
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比；
(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【教学与建议】教学：复习相似三角形的判定和性质，为本课时解决相似三角形的实际问题奠定基础．建议：学生如果出现回答不完整现象，其他同学相互补充．
●悬念激趣 胡夫金字塔是现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10多万人花了约20年时间．大金字塔原高146.59 m，但经过几千年的风吹雨打，顶端风化，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯．他曾测量出大金字塔的高度．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
【教学与建议】教学：通过悬念问题的提出，让学生了解了本节课要探讨的问题方向．建议：对于测量问题，可以让学生小组讨论提出测量方案，作为一个专题完成学习．
*命题角度1 利用影长求物体的高度
在阳光或者路灯的照射下，物、光线、影子构成的三角形相似，利用对应边成比例求线段长度．
【例1】如图，身高为1.5 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3 m，CA＝1 m，则树的高度为(D)
A．3 m B．4 m C．4.5 m D．6 m
【例2】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2.5 m，它的影长BC＝2 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.8 m，MN＝1.2 m，则木杆PQ的长度为__3.45__m.
*命题角度2 利用标杆或三角尺求物高
借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似直角三角形，进而利用对应边成比例解决问题．
【例3】如图，小明同学用自制的直角三角纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__m.
*命题角度3 利用平面镜反射原理测量物高
平面镜反射光线时，入射角等于反射角，由此可构造相似的两个直角三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题．
【例4】如图是小明设计用手电来测量某古城高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测量AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是(B)
A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m
*命题角度4 利用相似测宽度
测量河、湖等宽度时，通常构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求宽度．
【例5】如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E 在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
*命题角度5 多次利用相似三角形测高
根据题意构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出物体的高．
【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，他站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分度恰好遮住电线杆，已知臂长约60 cm，则电线杆的高是__6__m.
高效课堂 教学设计
1．能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题．
2．能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
▲重点
运用相似的判定和性质定理解决实际问题．
▲难点
在实际问题中建立数学模型．
◆活动1 新课导入
你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P39 例4.
提出问题：
(1)本例中是如何构造相似三角形求高的？
(2)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P40 例5.
提出问题：
(1)构造相似三角形求河宽，至少需要测量几个数据？
(2)利用全等能求河宽吗？请设计出具体方案．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．同一时刻的太阳光线下，物高与影长成比例．
2．利用相似三角形解决问题的基本方法是：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P40 例6.
例2 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE，∴＝，∴＝，∴AH＝11.9(m)，∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
答：旗杆AB的高度为13.5 m．
例3 如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到点G，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．(精确到0.1 m)
解：根据题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴＝＝ ①.同理，＝ ②.又∵CD＝FG＝1.7 m，由①②可得＝，即＝，解得BD＝7.5 m．将BD＝7.5 m代入①，得AB＝5.95 m≈6.0 m.
答：路灯杆AB的高度约为6.0 m．
练习
1．教材P41 练习第1，2题．
2．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__m.
3．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在点B处立一根高为2 m的标杆，观测者站在点F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C在同一条直线上，若测量得到BD＝6.4 m，FB＝1.6 m，EF＝1.6 m，求树的高度．
解：过点E作EG⊥CD于点G，交AB于点H，则EH⊥AB，∴∠AHE＝∠CGE＝90°.又∵∠AEH＝∠CEG，∴△EAH∽△ECG，∴＝，即＝，解得CG＝2(m)，∴CD＝CG＋GD＝2＋1.6＝3.6(m).
答：树的高度为3.6 m．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．测量不能直接测量的物体的高度：通常用同一时刻物高与影长成比例解决．
2．测量不能直接测量的两点间的距离：通常构造相似三角形求解．
3．把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型．
1．作业布置
(1)教材P43 习题27.2第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
27.3 位似
第1课时 位似
教师备课 素材示例
●情景导入 1.生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
2．如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2∶1，应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
【教学与建议】教学：从实际生活中具有位似特征的现象引入课题，感受位似的存在．建议：可以让学生寻找身边类似的图形，理解位似是一种特殊的位置关系．
●归纳导入 请观察下列图形，并回答问题．
【归纳】1.每组图形内的两个图形是__相似__图形．
2．对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线__相交于一点__，并且这点与对应顶点所连线段__成比例__，那么这两个多边形就是位似多边形．对应顶点的连线的交点叫做__位似中心__．
【教学与建议】教学：通过几组位似图形的展示及问题的层层深入，对位似图形的概念和性质有初步的了解和认识．建议：强调抓住两个关键点：一是两个图形的对应顶点的连线相交于一点；二是这点与对应顶点所连线段成比例．
*命题角度1 识别位似图形
两个图形位似需满足以下条件：①两个图形相似；②对应边互相平行或在同一条直线上；③两个图形的每对对应点所在直线相交于一点．
【例1】下列各组图中，不是位似图形的是(B)
【例2】已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′存在位似关系的是__①②③__．(填序号)
*命题角度2 利用位似的性质求位似中心
位似中心是位似图形上对应点所在直线的交点，通过作直线找到交点，这个交点就是位似中心．
【例3】如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O C．点M D．点N
【例4】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2.若AB＝2 cm，则A′B′＝__4__cm，并在图中画出位似中心O.
*命题角度3 利用位似的性质计算
位似是一种特殊的相似，故相似图形的一切性质都适用于位似图形．
【例5】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)
A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ D．1∶9
【例6】如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为__1∶2__．
*命题角度4 利用位似将图形放大或缩小
通过作位似图形，可以将一个图形放大或缩小．作位似图形的关键是确定原图形中各顶点的对应点，原理是位似图形上各对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例7】如图，请在8×8的正方形网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.
解：如图，△A′B′C′为所求的三角形．
高效课堂 教学设计
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握画位似图形的方法．
▲重点
理解并掌握位似图形的定义、性质及画法．
▲难点
位似图形的多种画法．
◆活动1 新课导入
在日常生活中，我们经常看到下面这些相似的图形，它们有什么特征呢？
◆活动2 探究新知
1．教材P47.
提出问题：
(1)观察图27.3 1和图27.3 2，两个图形中对应点的连线有什么共同特征？
(2)位似图形和相似图形有什么联系与区别？
(3)如何判断两个图形是否是位似图形？
学生完成并交流展示．
2．教材P47 图27.3 2，P48 第1个探究．
提出问题：
(1)如何利用位似将一个图形放大或缩小？
(2)画位似图形的一般步骤是什么？
(3)画位似图形时需要注意什么问题？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．这时的相似比又称为位似比．
2．位似图的性质：(1)位似图形一定相似，位似比等于__相似比__；(2)位似图形对应点和位似中心在__同一条直线上__；(3)任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比；(4)对应线段__平行__或者在__同一条直线上__．
3．总结画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( B )
A.2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
例2 如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．
解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12.设AB＝x，则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x.∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，∴＝，即＝，解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4.
例3 如图，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.
(1)若AC＝5，求A′C′的长；
(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积．
解：(1)∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，BO∶B′O＝3∶6＝1∶2，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为，∴＝，即＝，∴A′C′＝10；
(2)由(1)，得＝＝，即＝，∴S△A′B′C′＝7×4＝28.
练习
1．教材P48 练习第1，2题．
2．下列说法正确的是( C )
A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B．两位似图形的面积之比等于相似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于相似比
D．位似图形的周长之比等于相似比的平方
3．已知四边形ABCD和位似中心点O，画出它的位似图形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶2.(画一个)
解：如图所示：
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．位似图形的概念．
2．画位似图形的一般步骤．
1．作业布置
(1)教材P51 习题27.3第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平面直角坐标系中的位似
教师备课 素材示例
●复习导入
1．已知点P(x，y).
(1)关于x轴对称点P1坐标为__(x，－y)__；
(2)关于y轴对称点P2坐标为__(－x，y)__；
(3)关于原点对称点P3坐标为__(－x，－y)__；
(4)向右平移a(a＞0)个单位长度，再向下平移b(b＞0)个单位长度，得点P4坐标为__(x＋a，y－b)__.
2．位似图形是特殊的相似形，是一种图形的变换，位似变换是否可以用图形坐标的变化来表示呢？
【教学与建议】教学：引导学生复习坐标点变化规律，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．建议：让学生独立完成复习内容，然后导入新课．
●归纳导入
1．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
探究：(1)在方法一中，点A′的坐标是__(2，1)__，点B′的坐标是__(2，0)__；
(2)在方法二中，点A′的坐标__(－2，－1)__，点B′的坐标是__(－2，0)__．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).以点O为位似中心，相似比为2∶1，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后点A，B，C的对应点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)或A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4).
【归纳】一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为__(kx，ky)或(－kx，－ky)__．
【教学与建议】教学：在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律．建议：学生先动手填写，然后再引导分析归纳坐标的变化规律．
*命题角度1 利用位似的性质求点的坐标
在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k作位似图形时，位似图形上横纵坐标比为k或－k.
【例1】在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
【例2】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为(B)
A．(2，5) B．(2.5，5)
C．(3，5) D．(3，6)
*命题角度2 利用位似图形的坐标变化特点缩小或扩大图形
作图原理：在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，且变换前后的相似比为k，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).
【例3】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点M为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
高效课堂 教学设计
1．理解位似的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．
2．理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出变换后的图形．
▲重点
用图形的坐标变化来表示图形的位似变化．
▲难点
位似图形的多种画法的变化规律．
◆活动1 新课导入
如图，已知点A(0，3)，B(2，0)是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
(1)将线段AB向左平移3个单位长度得到线段A1B1，画出图形，并写出点A1，B1的坐标；
(2)作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出点A2，B2的坐标．
解：(1)如图；A1(－3，3)，B1(－1，0)；(2)如图；A2(0，3)，B2(－2，0).
◆活动2 探究新知
1．教材P48 第2个探究．
提出问题：
(1)在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
(2)所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是什么关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
(3)截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们之间有何异同点？
(4)怎样用坐标变化来表示平移、轴对称、旋转(中心对称)、位似这几种变换？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为__(kx，ky)__或__(－kx，－ky)__．
◆活动4 例题与练习
例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( D )
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
例2 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
解：(1)如图，△A1B1C1就是所求作的三角形；
(2)如图，△A2B2C2就是所求作的三角形．由已知得A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.
练习
1．教材P50 练习第1，2题．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( D )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
3．如图，△ABC与△DOE是位似图形，A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)，E(6，0)，则点D的坐标为__(4，6)__．
4．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，画出图形并写出点B′，C′，D′的坐标．
解：如图．∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.∴C(3，2)，D(1，2).∵以点A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，有两种情况：①B′(2，0)，C′(2，1)，D′(1，1)；②B″(0，0)，C″(0，－1)，D″(1，－1).
活动5 完成附赠手册
活动6 课堂小结
1．会用图形的位似变化求点的坐标．
2．会按要求画出位似变换后的图形．
1．作业布置
(1)教材P51 习题27.3第3，4，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思