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2023-2024学年八年级数学下册：垂直平分线和角平分线
考点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
考点2 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【题型1：题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023 邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵AB＝4，BC＝7，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+BD+CD
＝AB+BC
＝4+7
＝11，
故选：B．
【变式1-1】（2022秋 防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故选：B．
【变式1-2】（2023春 新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，
∴AD＝BD，
∵△BCD周长为8，AC＝5，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∴BC＝8﹣5＝3，
故选：C．
【变式1-3】（2023春 新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，
∴AD＝BD，
∵△BCD周长为8，AC＝5，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∴BC＝8﹣5＝3，
故选：C．
【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023春 青羊区期末）如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD＝25°，∠C＝35°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∵∠BAD＝25°，
∴∠B＝180°﹣25°﹣35°﹣35°＝85°，
故选：D．
【变式2-1】（2023 西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】A
【解答】解：∵AO平分∠BAC，
∴，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
故选：A．
【变式2-2】（2022秋 曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB＝FA，NC＝NA，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋 青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【答案】A
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；
故选：A．
【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2022秋 东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
【变式3-1】（2022春 于洪区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】C
【解答】解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
【变式3-2】（2022秋 天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【解答】解：基站应该建立在B处，
故选：B．
【变式3-3】（2022秋 平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2022秋 宁乡市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）75°．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C＝2∠B，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝35°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．
【变式4-1】（2022秋 天河区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE＝5cm，求△ABC的周长．
【答案】30cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝20cm，
又∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝2×5＝10（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20+10＝30（cm）．
【变式4-2】（2022春 永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【答案】（1）14cm；
（2）36°．
【解答】解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x+2x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
则∠B＝2x＝36°．
【变式4-3】（2022秋 垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【题型5：线段垂直平分线的作法】
【典例5】（2022秋 杭州期中）如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．
【变式5-1】（2020 宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
【答案】A
【解答】解：如图：
A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，
∴FO＝GO，l⊥FG，
∵EF＝GH，
∴EF+FO＝OG+GH，
即EO＝OH，
∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；
B．∵EO≠OQ，
∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；
C．∵FO≠OH，
∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；
D．∵l为直线，直线没有垂直平分线，
∴EH不能平分直线l，故此选项错误；
故选：A．
【变式5-2】（秋 丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
考点3：角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ；
【题型6：角平分线的作法及应用】
【典例6】（2022秋 林州市校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】A
【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如上图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，
故选：A．
【变式6-1】（2022秋 沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【答案】图见解析．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【变式6-2】（2022秋 大荔县期末）在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ）
A．三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等，
故选：C．
【题型7：角平分线性质的应用】
【典例7】（2023春 保定月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°，
∵PD⊥OA，OP＝6cm，
∴，
过点P作PE'⊥OB于点E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'＝PD＝3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
【变式7-1】（2023春 通道县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝6cm，则点D到AB的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，
∴CD＝DE，
∵CD＝6cm，
∴DE＝6cm，即点D到AB的距离是6cm．
故选：D．
【变式7-2】（2023春 法库县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵CB＝10，BD＝6，
∴CD＝10﹣6＝4．
∵∠1＝∠2．
∴D点到AC和AB的距离相等．
∵CD表示D点到AC的距离，
∴D到AB的距离为4．
故选：A．
【变式7-3】（2023春 禅城区月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝8cm，CD＝6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
【答案】A
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离为6cm．
故选：A．
【典例8】（2022秋 新昌县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】C
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝8：6＝4：3，
∴S△ABD＝S△ABC＝×21＝12，
∵E是AB的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝×12＝6．
故选：C．
【变式8-1】（2023 门头沟区二模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于E，当BC＝4，△BCE的面积为2时，DE的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，如图所示．
∵BE平分∠ABC，且ED⊥AB，
∴DE＝EF．
∵S△BCE＝BC EF，
即2＝×4 EF，
∴EF＝1，
∴DE＝1．
故答案为：1．
【变式8-2】（2022秋 大丰区期末）如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 240 m2．
【答案】240．
【解答】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE＝DF＝＝16（m），
∴△ACD的面积＝AC DF＝×30×16＝240（m2），
故答案为：240．
【变式8-3】（2022秋 雨花区期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 1.5 cm．
【答案】1.5．
【解答】解：过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，
∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠FBC＝∠D，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL），
∴AF＝AE，
∵AD＝10cm，AB＝7cm，
∴AD﹣AB＝（AE+DE）﹣（AF﹣BF）＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3（cm），
解得：DE＝1.5cm，
故答案为：1.5．
【题型8：角平分线的性质与全等】
【典例9】（2023 前郭县二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
①求证：△ACD≌△AED；
②求EB的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（HL）．
（2）解：∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝4cm，
∵AB＝7cm，
∴BE＝AB﹣AE＝3cm，
答：BE的长是3cm．
【变式9-1】（2023春 汨罗市月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．
【答案】DE＝6cm．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵，
∴
即，
解得：DE＝6，
∴DE＝6cm．
【变式9-2】（2022秋 天津期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【答案】（1）∠BDC的度数为130°；
（2）△ADC的面积为4．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°，
∴∠BDC的度数为130°；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积
＝DF AC
＝×2×4
＝4，
∴△ADC的面积为4．
【变式9-3】（2022秋 滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋 新化县期末）如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．AB，AC两边中线的交点处
B．AB，AC两边高线的交点处
C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，
∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
2．（2022秋 莒南县期末）如图，△ABC的周长为19cm，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD，AE＝3cm，则△ABD的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】A
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，AE＝EC，
∵AE＝3cm，
∴AE＝EC＝3cm，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC+AC＝19cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
故选：A．
3．（2023秋 榆树市期末）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AC＝10．
∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，
故选：C．
4．（2022秋 费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：连接AD，
∵点E为边AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∴CD＝AD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝8，
故选：D．
5．（2023秋 南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（ ）
A．12° B．14° C．16° D．18°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣52°﹣30°＝98°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝52°，
同理∠GAC＝∠C＝30°，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝82°，
∴∠EAG＝98°﹣82°＝16°，故C正确．
故选：C．
6．（2022秋 克东县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°，
∵PD⊥OA，OP＝6cm，
∴，
过点P作PE'⊥OB于点E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'＝PD＝3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
7．（2022秋 柘城县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
【答案】B
【解答】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
×AB×DE+×AC×DF＝28，即×AB×4+×6×4＝28，
解得，AB＝8，
故选：B．
8．（2022秋 莒南县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
【答案】D
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．
故选：D．
9．（2022秋 通河县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故选：D．
10．（2022秋 楚雄州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．4：5：7 D．2：3：4
【答案】C
【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，
在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝14，
∴，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋 长春期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 18 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE＝BE
∵∠C＝90°，∠A＝36°
∴∠EBA＝∠A＝36°
∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．
12．（2022秋 寻甸县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，△BCD的周长是6cm，则BC的长为 2 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DB＝DA，
△BCD的周长＝BC+CD+BD＝6cm，
∴BC+AC＝6cm，
又AC＝4cm，
∴BC＝2cm，
故答案为：2．
13．（2023秋 乾安县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
∵AC＝2，
∴S△ACD＝AC DF
＝×2×1
＝1，
故答案为：1．
14．（2023秋 黑龙江期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到AB的距离为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，连接OB，AO，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE＝OD＝OF，
在Rt△ODB和Rt△OFB中，
，
∴Rt△ODB≌Rt△OFB（AAS），
∴DB＝FB，
同理可证，AE＝AF，
∵∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE＝CD＝OD＝OE，
设OE＝OD＝OF＝x，CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，
∴BF+FA＝AB＝10，即6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2，
∴OF＝2，
故答案为：2．
15．（2022秋 应城市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝8cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 4 cm．
【答案】4．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OP＝8cm，PD⊥OA，
∴，，
当PE⊥OB时，PE取得最小值，
∴，
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
16．（2023秋 和平区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，
∴AD平分∠BAC．
17．（2023秋 景县校级期末）如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC，
∵△APQ的周长为12，
∴BC＝12；
（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．
18．（2023春 银川校级期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
19．（2022秋 朝阳区期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
20．（2022秋 遂宁期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【答案】（1）40°；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
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2023-2024学年八年级数学下册：垂直平分线和角平分线（北师大版）
考点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
考点2 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【题型1：题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023 邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式1-1】（2022秋 防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式1-2】（2023春 新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023春 新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023春 青羊区期末）如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD＝25°，∠C＝35°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【变式2-1】（2023 西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【变式2-2】（2022秋 曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【变式2-3】（2022秋 青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2022秋 东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【变式3-1】（2022春 于洪区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-2】（2022秋 天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-3】（2022秋 平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2022秋 宁乡市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．
【变式4-1】（2022秋 天河区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE＝5cm，求△ABC的周长．
【变式4-2】（2022春 永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【变式4-3】（2022秋 垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【题型5：线段垂直平分线的作法】
【典例5】（2022秋 杭州期中）如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．
【变式5-1】（2020 宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
【变式5-2】（秋 丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
考点3：角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ；
【题型6：角平分线的作法及应用】
【典例6】（2022秋 林州市校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【变式6-1】（2022秋 沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【变式6-2】（2022秋 大荔县期末）在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ）
A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【题型7：角平分线性质的应用】
【典例7】（2023春 保定月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式7-1】（2023春 通道县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝6cm，则点D到AB的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式7-2】（2023春 法库县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式7-3】（2023春 禅城区月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝8cm，CD＝6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
【典例8】（2022秋 新昌县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【变式8-1】（2023 门头沟区二模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于E，当BC＝4，△BCE的面积为2时，DE的长为 ．
【变式8-2】（2022秋 大丰区期末）如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 m2．
【变式8-3】（2022秋 雨花区期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
【题型8：角平分线的性质与全等】
【典例9】（2023 前郭县二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
①求证：△ACD≌△AED；
②求EB的长．
【变式9-1】（2023春 汨罗市月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．
【变式9-2】（2022秋 天津期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【变式9-3】（2022秋 滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋 新化县期末）如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．AB，AC两边中线的交点处
B．AB，AC两边高线的交点处
C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处
2．（2022秋 莒南县期末）如图，△ABC的周长为19cm，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD，AE＝3cm，则△ABD的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
3．（2023秋 榆树市期末）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2022秋 费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023秋 南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（ ）
A．12° B．14° C．16° D．18°
6．（2022秋 克东县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（2022秋 柘城县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
8．（2022秋 莒南县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
9．（2022秋 通河县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
10．（2022秋 楚雄州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．4：5：7 D．2：3：4
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋 长春期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 度．
12．（2022秋 寻甸县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，△BCD的周长是6cm，则BC的长为 cm．
13．（2023秋 乾安县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
14．（2023秋 黑龙江期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到AB的距离为 ．
15．（2022秋 应城市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝8cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
三．解答题（共5小题）
16．（2023秋 和平区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
17．（2023秋 景县校级期末）如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
18．（2023春 银川校级期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
19．（2022秋 朝阳区期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
20．（2021秋 遂宁期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
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