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第一单元 三角形的证明测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设CD＝x，则AD＝7﹣x，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，
即52﹣（7﹣x）2＝42﹣x2，
解得：x＝，
即CD的长为，
故选：B．
2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°
【答案】D
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故选：D．
3．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【答案】C
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）
A．12 B．8 C．24 D．11
【答案】A
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，CD＝3，
∴CD＝DE＝3，
∴
故选：A．
5．如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB＝90°，若△PBC的面积为5，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵∠APB＝90°，
∴∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP＝DP，
∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△CDP，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△DBP+2S△CDP＝2S△PBC＝10．
故选：C．
6．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，
由题意得，AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE，
设AC＝a，
在Rt△ACE中，∠CEA＝30°，
∴AE＝＝BC，即＝a+3，
解得：a＝，
∴AC＝，
∵S△CEF＝﹣＝＝＝＝＝，
∴阴影部分的面积为4S△CEF＝．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：C．
9．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
【答案】B
【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示：
则四边形AOLP是矩形，
∴∠BOF＝∠BAC＝90°，
∵四边形BCGF是正方形，
∴BC＝BF，∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC（AAS），
∴PC＝AB，
∴AB+OB＝PC+AC，
即OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，
故选：B．
10．如图，已知△ABC是等腰三角形，B（1，0），∠ABO＝60°，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】D
【解答】解：如图所示：
当AB＝AC时，符合条件的点有2个；
当BA＝BC时，符合条件的点有2个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有2个．
但有1个是重合，
故符合条件的点C共有5个．
故选：D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
12．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 58° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标 （0，2），（0，0），（0，4﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①当OA＝AP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴此时A（2，0），
∵∠APB＝90°，
∴B（0，2）；
②当AP＝OP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴∠POA＝∠PAO＝45°，
∴∠P＝90°，
∴此时B与O重合，即B（0，0）；
③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：
∵∠APB＝90°，
∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，
∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴BN＝AM＝2﹣2，
∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴B（0，4﹣2），
综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2），
故答案为：（0，2），（0，0），（0，4﹣2）．
14．如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论：
①∠MCD＞∠MAB；
②射线BM是∠EBC的角平分线；
③BM＝CM；
④∠BMC＝90°﹣∠BAC．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【解答】解：∵∠MCD是△ACM的外角，
∴∠MCD＞∠MAC，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAB＝∠MAC，
∴∠MCD＞∠MAB，
因此①正确；
如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，
∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，
∴MN＝MQ，MP＝MQ，
∴MN＝MP，
∴BM平分∠CBE，
因此②正确；
∵AB＜AC，
∴∠ACB＜∠ABC，
∴∠MBC＜∠MCB，
∴MB＞MC，
因此③不正确；
由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB
＝180°﹣（∠BCD+∠CBE）
＝180°﹣（∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠BAC）
＝90°﹣∠BAC，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
15．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 32 cm．
【答案】32．
【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，
∴BC＝7﹣3＝4（cm），
由勾股定理得：AC＝＝5（cm），
∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．
故答案为：32．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，求S1﹣S2+S3＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：设△MAC的面积＝x，△NBC的面积＝y，
∵正三角形ABD、ACE、BCF的面积分别是AB2，AC2，BC2，
∴S1＝AC2﹣x，S3＝BC2﹣y，S2+S4＝AB2﹣（x+y），
∴S1+S3＝（AC2+BC2）﹣（x+y），
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S3＝AB2﹣（x+y），
∴S1+S3＝S2+S4，
∴S1+S3﹣S2＝S4，
∵S4＝AC BC＝×4×3＝6，
∴S1﹣S2+S3＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AC的垂直平分线交CB于点D，连接AD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若△ABD的周长是10，求CE的长．
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；
（2）CE＝5．
【解答】解：（1）△ABD为等腰三角形，
理由：∵AC的垂直平分线交CB于点D，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）∵AE⊥BD，
∴DE＝BE，
∵△ABD的周长是10，
∴AD+DE＝5，
∴CE＝CD+DE＝AD+DE＝5．
18．（8分）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．
【答案】（1）见解析；
（2）60cm．
【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，
，
∴△CMP≌△CNP（SSS），
∴∠MPB＝∠NPB，
∵PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∴PB⊥MN，BM＝BN，
∴PC垂直平分MN；
（2）解：∵CN＝PN＝60cm，
∴当伞收紧时，点P与点A重合，
∴AC＝CN+PN＝120cm，
当∠CPN＝60°时，
∵CN＝PN，
∴△CPN是等边三角形，
∴PC＝PN＝60cm，
∴AP＝AC﹣PC＝60cm
19．（8分）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB＝DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE．
（1）判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）DA＝CE+BC．理由见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）DA＝CE+BC．
理由如下：
∵AC⊥BC，AC⊥AD，
∴∠DAE＝∠ACB＝90°．
又∵AB⊥DE，
∴∠DFA＝∠EFA＝90°．
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
∴AC＝DA，BC＝EA．
又∵AC＝CE+EA，
∴DA＝CE+EA＝CE+BC．
（2）∵，
，
∴，
∴a2+b2＝c2．
20．（8分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）2﹣2．答案见解析．
【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn＝；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA102＝＝10；
∴OA10＝．
故答案为：．
（3）
＝+++
＝+++
＝2×（﹣+﹣+﹣）
＝2×
＝2﹣2．
21．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
22．（10分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF；
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；
②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴C在BD的垂直平分上，
∴AC垂直平分BD；
（2）①证明：设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，
由（1）AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠F＝∠DCE，
∴∠F＝∠BCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
则α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形；
②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH，
理由：
延长AD至A′，使DA′＝AD，
∵CD⊥AD，
∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小，
由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．
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第一单元 三角形的证明测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°
3．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）
A．12 B．8 C．24 D．11
5．如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB＝90°，若△PBC的面积为5，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
10．如图，已知△ABC是等腰三角形，B（1，0），∠ABO＝60°，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
12．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标 ．
14．如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论：
①∠MCD＞∠MAB；
②射线BM是∠EBC的角平分线；
③BM＝CM；
④∠BMC＝90°﹣∠BAC．
其中所有正确结论的序号是 ．
如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 cm．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，求S1﹣S2+S3＝ ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AC的垂直平分线交CB于点D，连接AD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若△ABD的周长是10，求CE的长．
18．（8分）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．
19．（8分）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB＝DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE．
（1）判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用此图证明勾股定理．
20．（8分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出的值．
21．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
22．（10分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF；
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系．
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