2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（陕西专用）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高二下·湖南怀化·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点
B．当样本相关系数时，成对数据正相关
C．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低
【解题思路】A选项，线性回归方程必过；
BC选项，根据相关系数的意义作出判断；
D选项，根据残差分析中残差点所在的水平带状区域的意义判断.
【解答过程】A选项，线性回归直线必过样本数据的中心点，故A说法正确；
B选项，当相关性系数时，两个变量正相关，相关性系数时，两个变量负相关，故B说法正确；
C选项，相关系数，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1，故C说法错误；
D选项，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，D说法正确；
故选：C.
2．（5分）（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【解题思路】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【解答过程】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
3．（5分）（2024·四川广元·一模）2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
【解题思路】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【解答过程】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：B.
4．（5分）（22-23高二下·河北邢台·期末）某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节，物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数，求出、，应用条件概率公式求目标概率.
【解答过程】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.
若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种；
综上，事件A的安排数有种；
事件：化学排第四节.
若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种；
综上，事件B的安排数有种；
5科任意排有种，所以，，
故满足条件的概率是.
故选：B.
5．（5分）（22-23高三上·河南·开学考试）某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：
①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）；
②；
③方程比方程拟合效果好；
④y与x正相关．
以上说法正确的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④
【解题思路】结合样本中心点过回归直线方程，已知数据，散点图等依次判断各命题即可得答案.
【解答过程】解：将代入，得，①正确；
将，代入得，②正确；
由散点图可知，回归方程比的拟合效果更好，③错误；
因为随的增大而增大，所以与正相关，④正确．故①②④正确．
故选：D．
6．（5分）（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.
【解答过程】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
的图象恒过点，的图象也过点，
因为，所以在处的切线方程为，
由图可知当或时，与的图象有2 个交点，
即有两个根，
所以实数m的取值范围为，
故选：D.
7．（5分）（22-23高二下·福建福州·期末）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ）附：
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.
【解答过程】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，
，
设第次抽到优等果的概率（），
恰好抽取次的概率，所以，
设，则，
两式相减得： ，
所以，
由，即，
又
所以的最大值为．
故选：A．
8．（5分）（22-23高二下·浙江台州·期末）已知定义在上的函数，，记
在上的个极值点为，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在单调递减 D．在单调递减
【解题思路】求导后，将极值点个数转化为与的交点个数问题，结合正切函数对称性可求得，代回验证可知满足题意；根据奇偶性定义可知AB正误；结合在区间上的单调性可知CD正误.
【解答过程】，
令，则，
当时，，则无解，此时在上无极值点；
当时，，
在上有三个极值点，与在上有三个不同交点，
，，
与均关于对称，
令，解得：，
的对称中心为，
又在处有意义，，解得：，
，；
当时，，，
令，则，
作出与在上的图象如下图所示，
；
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，；
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，；
当时，，，即；
当时，，，即；
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，是的极大值点，
由正切函数与一次函数对称性可知，满足题意；
综上所述：；
对于A，的定义域为，，
为定义在上的偶函数，A错误；
对于B，，，
，不是偶函数，B错误；
对于C，在上单调递减，，在上单调递减，C正确；
对于D，在上单调递增，，在上单调递增，D错误.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高二下·安徽芜湖·期末）下列说法正确的有（ ）
A．随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大
B．随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为
C．根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（
），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
D．若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关
【解题思路】对A、C、D：根据案例分析相关知识逐项分析判断；对B：根据二项分布结合组合数的性质分析判断.
【解答过程】对于选项A：根据方差的计算公式可知：方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大，故A正确；
对于选项B：随机抛掷质地均匀的硬币100次，设出现正面向上的次数为，则，
则，
根据组合数的性质可知，
即，
所以，即出现50次正面向上的可能性小于，故B错误；
对于选项C：因为，
根据小概率的独立性检验，可判断与无关，故C错误；
对于选项D：由经验回归方程为可知，
所以变量与负相关，故D正确；
故选：AD.
10．（5分）（22-23高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，令和，可判定A正确，B不正确；令，结合，化简得到，可判定C正确；等号两边同除以，化简得到，令，可判定D正确.
【解答过程】由，其中，
对于A中，令，可得，所以A正确；
对于B中，令，可得，所以，所以B不正确；
对于C中，由
，
又由，且，
可得，
令，可得
因为，所以，即，所以C正确；
对于D中，因为，
可得，
因为，其中，
所以 ，
所以可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
11．（5分）（22-23高二下·河南许昌·期末）中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
【解题思路】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断.
【解答过程】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，
其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，
事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，
所以，故A正确；
对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件，
所以，故B错误；
对于C，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以，故C正确；
对于D，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：ACD.
12．（5分）（22-23高三上·河北沧州·期末）定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．
【解题思路】
对A，根据 ，，求出 ，进而可求出导数，根据极值定义进行判断；
对B，根据单调性和零点定义，结合图像判断；
对C，要保证 组成立，即，通过构造函数求其最值，进行判断；
对D，根据单调性，和对数比较大小，进行判断.
【解答过程】
对于A，∵ 且，可得 ，
则有 故（c为常数)，
又，则，得，故,
当，即 解得： , ，此时单调递增，
当，即 解得 ，
当，即 解得： ，此时单调递减，
∴ 取得极大值， 故A错误；
对于B， ， ，
画出草图，如图：
根据图像可知：只有一个零点，故B正确；
对C，要 在上恒成立
即： 在上恒成立，
，可 在上恒成立，
只需，
令， ，
当，；
当时， ；
， ；
则
即： ，故C正确；
对于D，根 单调递增， ，单调递减，
可得
。
故 故D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高二下·江西吉安·期末）近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍科技圈，作为一款生成式人工智能软件，ChatGPT可以就任何议题生成文本，完成包括回答问题，撰写文章，论文，诗歌在内的多种工作，某校科研兴趣小组记录了该软件在一段时间（：分钟）生成的文本数量（：篇），若计算出的关于的经验回归方程为，则第二组数据残差为 （篇）.（其中为第组数据的残差）
组别 1 2 3 4 5
（分钟） 16 17 18 19 20
（篇） 36 40 42 49 55
【解题思路】经验回归直线经过样本中心求解即可；
【解答过程】由题知 ，，
经验回归直线经过样本中心，
代入回归经验方程，解得：，
回归方程为，
第二组数据的残差为.
故答案为：.
14．（5分）（22-23高二下·浙江·期末）为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，
观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为 ．
【解题思路】利用分步乘法原理先求出同学与同学站在一起，同学站在边缘的方法数，再求出其中同学不与同学或相邻的方法数，然后利用古典概型的概率公求解即可.
【解答过程】将同学与同学看成一个整体，与剩下的5人排列，先让同学站在边上，有种方法，然后同学与同学组成的整体与剩下4人排列，有种方法，
所以分步乘法原理可知同学与同学站在一起，同学站在边缘，共有种方法，
其中同学不与同学或相邻的有：先让同学站在边上，有种方法，然后同学与同学组成的整体从与同学不相邻的4个位置中选一个位置，有种方法，再让剩下的4人去站剩下的4个位置，有种方法，
所以由分步乘法原理可得同学不与同学或相邻的共有种方法，
所以所求概率为，
故答案为：.
15．（5分）（23-24高二上·北京·期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ .
【解题思路】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【解答过程】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
16．（5分）（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，设方程的3个实根分别为，且，则的取值范围为 ．
【解题思路】利用导数研究的图象，令根据的图象以及已知条件可知，，且，进而可以求出的取值范围.
【解答过程】由已知可得的定义域为，，令，
得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当趋近于时，趋近于正无穷，当趋近于负无穷时，趋近于，且存在零点，
所以的图象如图所示，
的定义域为，令，则，可知必有两个不相等的实数根，
不妨设，因为，所以，，要使有三个不等的实根，则，，即，
解得，
由于，则，，
，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高二下·广西·期末）已知，N，若的展开式中， ．
(1)求的值；
(2)求的值．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
【解题思路】（1）利用二项式系数的性质分别求解；
（2）利用赋值法求项的系数和.
【解答过程】（1）在二项式的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；
若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；
（2）由（1）知，于是中，取，得；
取，得
∴所求.
18．（12分）（22-23高二下·河北唐山·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；
(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
(3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值.
【解题思路】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；
（2）先求得，则正品概率，然后利用正态分布概率数据即可得解；
（3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，
.
（2）由题意可知，样本方差，故，所以，
该厂生产的产品为正品的概率：
；
（3）X所有可能值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为
数学期望.
19．（12分）（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．
(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过85分的人数 得分超过85的人数
男
女
合计
(2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率
为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解题思路】（1）根据条件概率的有关公式计算出列联表中男女人数，再根据卡方公式计算；
（2）根据超几何分布的思想计算分布列和数学期望.
【解答过程】（1）由，超过85分的人数为（人），不超过85分的人数为（人），
因为，，，，
所以，即，，，
故200人中男性人数为（人），女性人数为（人），
又，即不超过85分的人中，男性为（人），女性为（人），
故在超过85分的人中，男性=（人），女性（人），
列联表如下：
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过85分的人数 得分超过85的人数
男 20 100 120
女 30 50 80
合计 50 150 200
零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．
经计算得到
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）X可能取0，1，2，3，4．
；
；
；
；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以．
综上，在犯错误的概率不大于0.001的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为.
20．（12分）（22-23高二下·上海·期末）已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)当时，试求函数在上的最值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：.
【解题思路】（1）根据导函数正负得出函数单调性计算求解；
（2）由题意，得恒成立，当时，即恒成立，令，求导并且判断单调性，即可得最小值，得参数的取值范围；当，时，恒成立，时，取，则显然不成立，再取交集即可；
（3）由（2）得，两边取对并且化简累加进而证明不等式.
【解答过程】（1）当时，，，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
易知，则最大值．
（2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立
当时，恒成立．
令，则．
当，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以时，取最小值，所以．
当时，若时，恒成立；
若，取，则显然不满足，所以
综上，
（3）在（2）中，令可知对任意实数x都有，当时，取等号，
两边同量取对数得：，当时，取等号，故：(当时，取等号)，
所以：
则：
即：.
21．（12分）（22-23高二下·湖南怀化·期末）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【解题思路】(1) 根据条件概率事件求解即可；
(2) 分别分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案；
【解答过程】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5
分”为事件B，
则，求得.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，
且，
，
，
所以，，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且
，
，
所以，,
因为，所以小明应选择方案①.
22．（12分）（22-23高二下·浙江·期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有3个不同的零点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
【解题思路】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（2）（i）转化为与有3个不同的交点问题，将写为分段函数的形式，求导，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到的取值范围；
（ii）结合函数单调性，转化为证明，结合，故只需证明，利用，，采用放缩法得到证明.
【解答过程】（1）的定义域为R，
，
令，解得或，
令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）（i）有3个不同的零点，
即与有3个不同的交点，
，
则，
令，解得或，结合，
故解集为，
令，解得，结合，
解集为，
令，解得，结合，解集为，
令，解得或，结合，解集为，
综上：在上单调递增，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，
注意到，，时，，
故要想与有3个不同的交点，则；
（ii）由（i）可知，，要证，只需证，
又，而在上单调递增，故只需证明，
而，故只需证明，
而，
因为，所以，而，
所以
，
结论得证.2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（陕西专用）
【人教A版（2019）】
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册全册；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高二下·湖南怀化·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点
B．当样本相关系数时，成对数据正相关
C．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低
2．（5分）（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
3．（5分）（2024·四川广元·一模）2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
4．（5分）（22-23高二下·河北邢台·期末）某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（22-23高三上·河南·开学考试）某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百
万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：
①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）；
②；
③方程比方程拟合效果好；
④y与x正相关．
以上说法正确的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④
6．（5分）（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（22-23高二下·福建福州·期末）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ）附：
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）（22-23高二下·浙江台州·期末）已知定义在上的函数，，记
在上的个极值点为，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在单调递减 D．在单调递减
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高二下·安徽芜湖·期末）下列说法正确的有（ ）
A．随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大
B．随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为
C．根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
D．若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关
10．（5分）（22-23高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）（22-23高二下·河南许昌·期末）中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
12．（5分）（22-23高三上·河北沧州·期末）定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高二下·江西吉安·期末）近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍科技圈，作为一款生成式人工智能软件，ChatGPT可以就任何议题生成文本，完成包括回答问题，撰写文章，论文，诗歌在内的多种工作，某校科研兴趣小组记录了该软件在一段时间（：分钟）生成的文本数量（：篇），若计算出的关于的经验回归方程为，则第二组数据残差为 （篇）.（其中为第组数据的残差）
组别 1 2 3 4 5
（分钟） 16 17 18 19 20
（篇） 36 40 42 49 55
14．（5分）（22-23高二下·浙江·期末）为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为 ．
15．（5分）（23-24高二上·北京·期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是 .
16．（5分）（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，设方程的3个实根分别为，且，则的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高二下·广西·期末）已知，N，若
的展开式中， ．
(1)求的值；
(2)求的值．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
18．（12分）（22-23高二下·河北唐山·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；
(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
(3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品
进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值.
19．（12分）（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．
(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过85分的人数 得分超过85的人数
男
女
合计
(2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（12分）（22-23高二下·上海·期末）已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)当时，试求函数在上的最值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：.
21．（12分）（22-23高二下·湖南怀化·期末）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
22．（12分）（22-23高二下·浙江·期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有3个不同的零点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
