6.4 简单的三元一次方程组 课件(共34张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共34张PPT)
第六章 二元一次方程组
6. 3 简单的三元一次方程组*
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
3.会利用简单的三元一次方程组解决实际问题.
学习重难点
能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
会利用简单的三元一次方程组解决实际问题.
难点
重点
回顾复习
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解
有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程的方程组
二元一次方程（组）
二元一次方程
二元一次方程组
概念
解
概念
解
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程
创设情境
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？
提问
这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.
可以设3个未知数吗？
新知引入
知识点1 三元一次方程组
问题： 1．题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
2．根据等量关系你能列出方程组吗？
3.观察列出的三个方程，你有什么发现？
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
一元纸币的数量
两元纸币的数量
五元纸币的数量
每一个未知量都用一个字母表示
x张
y张
z张
三个未知数（张）
问题2：等量关系：
(1)一元纸币的数量+两元纸币的数量+五元纸币的数量=12
(2)一元纸币的数量=4×两元纸币的数量
(3)一元纸币的数量+2×两元纸币的数量+5×五元纸币的数量=22
用方程表示等量关系.
x+y+z=12.

x=4y.

x+2y+5z=22.

问题3：观察列出的三个方程，你有什么发现？
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
x+y+z=12.

x+2y+5z=22.

x=4y.

因一元、两元、五元的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
归纳：在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
例题示范
例 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
A
新知引入
知识点2 三元一次方程组的解法
如何解这个三元一次方程组呢？
解三元一次方程组的基本思路：
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
三元一次方程组
① ② ③
解：将③代入①②，得
即
解这个方程组，得
把 y=2 代入③，得 x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张．
还有其他方法吗？
① ② ③
解：①×5-②，得 4x+3y=38. ④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
① ② ③
① ② ③
把 x=8，y=2 代入①，得 8+2+z=12，解得 z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张．
特别解读：
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起．
例题示范
例1 解方程组
解：①×2+②，得 5x+8y=7. ④
③与④组成方程组
解这个方程组,得
把 x=3，y=-1 代入①得， 3+3×(-1)+2z=2，解得 z=1.
因此，这个三元一次方程组的解为
例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.
分析已知条件，你能得到什么？
问
怎么解？
1. 先消去哪个未知数？为什么？
问
2. 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：
根据题意，得三元一次方程组
②-①，得 a+b=1; ④
③-①，得 4a+b=10; ⑤
① ② ③
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
所以
即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.
把 代入①，得 c=-5.
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①×4，得 6b-3c=3，即 2b-c=1. ④
③-①×25，得 30b-24c=60，即5b-4c=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
① ② ③
消去 a
解这个方程组，得
因此
即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.
把 代入①，得 a=3.
解：根据题意，得三元一次方程组
①×2+②，得 6a+3c=3，即 2a+c=1. ④
①×5+③，得 30a+6c=60，即 5a+c=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
① ② ③
消去 b
解这个方程组，得
因此
即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.
把 代入①，得 b=-2.
随堂练习
1.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
D
2.解方程组 ,则x＝_____，y＝_______，
z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
6
8
3
3.解方程组
解：①+③，得 5x+y=7. ④
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把 x=1，y=2 代入②，得 1+2+z=6，解得 z=3.
因此，这个三元一次方程组的解为
②+③，得 4x-y=2. ⑤
4.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=5时，y=60；当x=0时，y=-5求a2+2ab+c2的值．
解：(1)根据题意，得
解得
所以a2+2ab+c2 =32+2×3×（-2）+（-5）2=22.
拓展提升
1.对于方程组 此二元一次方程的
最优的解法是先消去（ ）转化为二元一
次方程组.
C
2x+3y=5，2x+y+z=6，
3x-2y-z=-2，
D.都一样
2.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组 解得
3.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得答：原三位数是368.
归纳小结
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起．
利用三元一次方程组解决实际问题的步骤：
认真审题，明确等量关系
①审
恰当地设未知数
②设
依据等量关系列出方程组
③列
解方程组，求出未知数的值
④解
写出答
⑥答
检验是否符合题意和实际意义
⑤验