7.2 相交线 第2课时 课件 (共36张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共36张PPT)
第七章 相交线与平行线
7. 2 相交线
第2课时
学习目标
1.理解垂线、垂线段的概念，能过一点画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实.
2.通过探究掌握“垂线段最短”这一性质.
学习重难点
理解垂线、垂线段的概念，掌握垂线的基本事实.掌握“垂线段最短”这一性质.
理解垂线、垂线段的概念，掌握垂线的基本事实.掌握“垂线段最短”这一性质.
难点
重点
创设情境
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.
新知引入
知识点1 垂线
1.垂直的定义：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置发生变化时，a、b所成的∠ 也会发生变化.当∠ = 90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b.
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.在下图中，AB⊥CD，垂足为O.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
这个推理过程可以写成下面的形式：
因为∠AOC = 90°，
所以AB⊥CD（垂直的定义）．
反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC 是多少度？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角.
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的直线.你能再举出其他例子吗
窗户的四边
围栏
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.
垂直的表示方法：
如果用 l，m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
A
B
C
D
O
l
m
垂直的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =
∠BOD =90°；
②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
例题示范
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.　
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直的定义)．
因为∠BOE＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝
∠DOE－∠BOE＝90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
知识点2 垂线的画法及基本事实
新知引入
1.落.
2.画.
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
l
O
A
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
一条.
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，过点 A 作 l 的垂线.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
一条.
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂
线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线
所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部
分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长
线上，并记上直角符号“﹁”．
注意：画垂线也可用以下两种方法：
(1)利用量角器画；(2)用折叠法画．
基本事实：经过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.
总结归纳
例题示范
例 如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.
M
N
P
M
N
P
Q
P
M
N
Q
P
M
N
Q
知识点3 垂线段的定义及性质
新知引入
猜一猜：哪条线段是垂线段？
C
D
E
l
B
A
定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
想一想：比较AB,AC,AD,AE 的长短，这些线段中，哪一条最短？
C
D
E
l
B
A
线段AD最短.
想一想：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，圆弧分别与线段AB，AC，AE相交于点B1，C1，E1.线段AB1，AC1，AE1，AD相等吗？由此能进一步验证你的猜想吗？
C
D
E
l
B
A
B1
C1
E1
垂线性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．
总结归纳
注意：
(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
例题示范
例 如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.
张庄
∟
理由：垂线段最短
N
随堂练习
1.如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ）
A. 26°
B. 64°
C. 54°
D. 以上答案都不对
B
2.如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA = 6 cm，PB = 5 cm，PC = 7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm.
5
3.如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？
解：A、B、C 三点在同一直线上.
因为AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B .
所以A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.
4.如图，AO⊥FD，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB = 40°，求∠EOF、∠COE 的度数．
解：因为AO⊥OD且∠AOB=40°，
所以∠BOD=90°-40°=50°，所以∠EOF=50°.
又因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=∠BOD=50°，
所以∠COE=180°-50°-50°=80°．
A
F
D
O
B
C
E
5.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据.
解：（1）如图，连接AD，BC 交于 H ，因为两点之间线段最短，所以 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小.
H
（2）如图，过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G .“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
G
H
1.点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( )
A.等于 2 cm
B.小于 2 cm
C.大于 2cm
D.不大于 2 cm
D
拓展提升
2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )
①线段 CD 的长度是点 C 到 AB 的距离；
②线段 AC 是点 A 到 BC 的距离；
③ AB > AC > CD；
④线段 BC 是点 B 到 AC 的距离；
⑤ CD < BC < AB.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
3.如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，OM⊥AB 于 O .
（1）若∠1 =∠2，求∠NOD；
（2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC 与∠MOD.
解：（1）因为 OM ⊥ AB ，所以∠1 + ∠AOC = 90°.
又∠1 = ∠2，所以∠2 + ∠AOC = 90°，
所以∠NOD = 180°-（∠2 + ∠AOC）= 180°- 90°= 90°.
（2）由已知条件∠BOC =4∠1，即 90°+∠1 = 4∠1，
可得∠1 = 30°，所以∠AOC = 90°- 30° = 60°，
所以由对顶角相等可得∠BOD = 60°，
所以∠MOD = 90°+∠BOD = 150°.
4.如图，火车站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
A
a
B
b
两点之间，线段最短
垂线段最短
垂线段最短
归纳小结
垂线
垂线和垂线段
定义
基本事实
垂线段
定义
点到直线的距离
经过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段最短
性质