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第八章 整式的乘法
8.1 同底数幂的乘法
学习目标
1.掌握同底数幂的乘法法则,能进行同底数幂乘法运算.
2.发展计算归纳概况能力和整体应用,转化思想.
学习重难点
掌握同底数幂的乘法法则,能进行同底数幂乘法运算.
掌握同底数幂的乘法法则,能进行同底数幂乘法运算.
难点
重点
回顾复习
1. ①什么叫乘方
②乘方的结果叫做什么
(1) 2×2 ×2=2( )
(2) a ·a ·a ·a ·a = a ( )
(3) a ·a ·…·a = a ( )
n个
n
3
5
2. 在an 中a、n、an分别叫做什么 表示的意义是什么?
an
底数
幂
指数
计算机存储容量的基本单位是
字节,用B表示.计算机中一般
用KB(千字节)或MB(兆字
节)或GB(吉字节)作为存
储容量的计量单位,它们之间
的关系为:1KB=210B,
1MB=210KB,1GB=210MB.那
么1MB等于多少字节呢?
新知引入
知识点1 同底数幂的乘法法则
回顾乘方的意义:23=2×2×2, 24=2×2×2×2.
1. 用幂表示下列各式的结果:
(1) 24×23=________;
(2) 210×210=________;
(3) a2·a3= ________;
2. 通过上面的计算.关于两个同底数幂相乘的结果,你发现了什么规律?
3. 若m,n是正整数,根据你发现的规律,用幂的形式表示am·an .
一般地,对于正整数m,n,有
am·an
=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)= a·a· … ·a
=a m+n .
m个a
n个a
(m+n)个a
am·an= am+n(m,n都是正整数).
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
归纳
(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用,
并且底数不变,指数相加,而不是指数相乘.
(2)不同底数要先化成同底数.
(3)单个字母或数可以看作指数为1的幂,参与同底数
幂的运算时,不能忽略了幂指数1.
注意
例题示范
例1
把下列各式表示成幂的形式:
(1) 26×23; (2) a2·a4;
(3) xm·xm+1; (4) a·a2·a3.
(1) 26×23=26+3=29 .
(2) a2·a4= a2+4 =a6 .
(3) xm·xm+1 = xm+(m+1)=x2m+1.
(4) a·a2·a3 = a1+2+3 =a6.
解:
总结
同底数幂相乘,首先确定符号,负因数出现奇
数个就取负号,出现偶数个就取正号,然后按照同
底数幂的乘法法则进行计算.
例2
计算:(1)(x-y )3·(y-x )5;
(2)(x-y )3·(x-y )2·(y-x );
(3)(a-b)3·(b-a)4.
先将不是同底数的幂转化为同底数的幂,再运用法则计算.
导引:
(1)(x-y)3·(y-x )5=(x-y )3·[-(x-y )5]=-(x-y )3+5=-(x-y )8.
(2)(x-y )3·(x-y )2·(y-x )=(x-y )3·(x-y )2·[-(x-y )]=-(x-y )3+2+1=-(x-y )6.
(3)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)3·(a-b)4=(a-b)3+4
=(a-b)7.
解:
底数互为相反数的幂相乘时,可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂,再按法则计算,统一底数时尽可能地改变偶次幂的底数,这样可以减少符号的变化.
总结
新知引入
知识点2 同底数幂的乘法法则的应用
例3
太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘,光通过这个圆盘半径的时间约为2×104 s,光的速度约为3×105 km/s.求太阳系的直径.
2×3×105×2×104
= 12×109(km).
答:太阳系的直径约为12×109 km.
解:
总结
用科学计数法表示的两个数相乘时,常把10n 看作底数相同的幂参与运算,而把其他部分看作常数参与运算,然后把两者再相乘或直接表示为科学计数法的形式.
随堂练习
用幂的形式表示下列问题的结果:
(1)2个棱长为2 cm的正方体的体积的和是_____cm3.
(2)9个棱长为3 cm的正方体的体枳的和是_____cm3.
1
24
35
地球的质量约为5.98×1024kg,太阳质量是地球质量的3. 3×105倍.求太阳的质量.
2
根据题意,得5.98×1024×3.3×105=19.734×1029(kg).
答:太阳的质量约为19.734×1029kg.
解:
计算:
(1)x·x2·x3+x2·x4; (2)x2·x5-x·x2·x4.
3
(1)x·x2·x3+x2·x4=x1+2+3+x2+4=x6+x6=2x6.
(2)x2·x5-x·x2·x4=x2+5-x1+2+4=x7-x7=0.
解:
设n是正整数,计算:
(1)2n+1-2n ; (2)4×5n-5n+1.
4
(1)2n+1-2n=2×2n-2n=2n.
(2)4×5n-5n+1=4×5n-5×5n=-5n.
解:
【中考·大庆】若am=2,an=8,则am+n=________.
计算(a+b)3·(a+b)2m·(a+b)n的结果为( )
A.(a+b)6m+n B.(a+b)2m+n+3
C.(a+b)2mn+3 D.(a+b)6mn
x3m+3可以写成( )
A.3xm+1 B.x3m+x3
C.x3·xm+1 D.x3m·x3
5
6
16
B
7
D
拓展提升
1
计算:
(1)x ·(-x )2·(-x )2n+1-x 2n+2·x 2(n 为正整数);
(2)(y-x )2(x-y )+(x-y )3+2(x-y )2(y-x ).
(1)x ·(-x )2·(-x )2n+1-x 2n+2·x 2=-x 2n+4-x 2n+4=
-2x 2n+4.
(2)(y-x )2(x-y )+(x-y )3+2(x-y )2(y-x )
=(x-y )3+(x-y )3-2(x-y )3=0.
解:
2
(1)已知a 3·a m·a 2m+1=a 25,求m 的值;
(2)若(x+y )m·(y+x )n=(x+y )5,且(x-y )m+5·(x-y )5-n=(x-y )9,求mnnn 的值.
(1)因为a 3·a m·a 2m+1=a 25,所以a 3+m+2m+1=a 25,
所以3+m+2m+1=25,所以m=7.
(2)因为(x+y )m·(y+x )n=(x+y )5,(x-y )m+5·(x-y )5-n
=(x-y )9,
所以m+n=5,m+5+5-n=9,
解得m=2,n=3.
所以mnnn=23×33=216.
解:
3
已知a x=5,a x+y=25,求a x+a y的值.
因为a x+y=25,所以a x·a y=25.又因为a x=5,
所以a y=5,所以a x+a y=10.
解:
已知x m-n·x 2n+1=x 11,y m-1·y 5-n=y 6,求mn2的值.
由题意得m-n+2n+1=11,m-1+5-n=6,
解得m=6,n=4,所以mn 2=6×42=96.
解:
4
归纳小结
1. 运用同底数幂的乘法法则时,注意成立的条件是底
数相同.遇到底数不同的情况可以通过变换转化为
底数相同的,然后运用法则进行计算.
2. 同底数幂的乘法法则对三个或三个以上的同底数幂
的乘法同样适用,底数可以是单项式,也可以是多
项式.
3. 同底数幂的乘法法则可以正用,也可以逆用,am+n
=am·an (m,n都是正整数).