8.2 幂的乘方与积的乘方 第1课时 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共23张PPT)
第八章 整式的乘法
8.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时
学习目标
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，掌握幂的乘方运算性质并能用数学语言概括运算性质.
2.理解幂的乘方的运算性质，能灵活运用性质进行相关计算.
学习重难点
理解幂的乘方的运算性质，能灵活运用性质进行相关计算.
理解幂的乘方的运算性质，能灵活运用性质进行相关计算.
难点
重点
回顾复习
a n ＝a ·a ·…·a
n 个a
幂的意义
a m·a n＝a m+n (m，n 都是正整数)
同底数幂的乘法
练习
a m·a m=_________.
a 3·a 3·a 3=_________.
思考：怎样计算
(a 4)3 (a 3)5
新知引入
知识点1 幂的乘方法则
1. 依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=______.
根据乘方的意义， 210×210×210可以表示为______.
由此，能得到什么结论？
2. (102)3表示3个102相乘，(102)3=10( )
(a 3)4表示4个a 3相乘，(a 3)4 =a ( )
3. 观察上面各式中幂指数之间的关系，猜想：若m，n是正整数，则(a m)n=______.
事实上，根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质，
对于正整数m，n，有
(am)n
=am·am· … ·am
=a m+m+ …+m
= amn.
n 个am
n 个m
(am)n = amn(m，n 都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
归纳
注意
(1)幂的乘方法则在推导过程中运用了乘方的意义和同
底数幂的乘法法则．
(2)运用此法则时要明白，底数a可以是一个单项式，
也可以是一个多项式．
(3)幂的乘方法则可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m.
(4)幂的乘方与同底数幂的乘法都是底数不变，但容易
出现指数相乘与相加混淆的错误．
例题示范
例1
把下列各式表示成幂的形式：
(1) (103)4； (2) (c 2)3； (3) (a 4)m .
(103)4 = 103×4 = 1012 ；
(2) (c 2)3 = c 2×3 = c 6 ；
(3) (a 4)m = a 4×m = a 4m.
解：
总结
利用幂的乘方法则进行计算时，要紧扣法则的要求，出现负号时特别要注意符号的确定和底数的确定．
例2
计算：
(1) x ·(x 2)3； (2) a ·a 2·a 3 －(a 2)3.
(1) x ·(x2)3 ＝ x ·x 2×3 ＝ x ·x 6 ＝x 7.
(2)a ·a 2·a 3 －(a2)3 ＝ a 6－ a 6 ＝0.
解：
在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按有理数的混合运算顺序进行运算；如果底数互为相反数，就要把底数统一成相同的，然后再进行计算；计算中不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
总结
新知引入
知识点2 幂的乘方的应用
a mn=(a m)n=(a n)m（m、n 均为正整数）.
即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算.
注意：逆用幂的乘方法则的方法是：幂的底数不变，
将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的
乘方的形式，如x 8=(x 4)2=(x 2)4.至于选择哪一个变形
结果，要具体问题具体分析．
例3
若x m·x 2m＝3，求x 9m的值．
利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行灵活
变形，从而使问题得到解决．
导引：
因为x m·x 2m＝3，所以x 3m＝3，
因此x 9m＝(x 3m)3＝33＝27.
解：
本题运用整体思想将x3m 看作一个整体，结合幂的乘方法则的逆向运用使所求式子转化为这个整体的幂.从而运用整体代入求出要求的值使问题获解.
总结
随堂练习
1
下列各式的计算是否正确？如果不正确.请改正过来.
(1) (a 2)3 =a 5； (2) a 2·a 3 =a 6 ；
(3) a 3 +a 3 =a 6； (4) (a m)n＝(a n)m(m，n 都是正整数).
(1)不正确，应为(a 2)3＝a 2×3＝a 6.
(2)不正确，应为a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5.
(3)不正确，应为a 3＋a 3＝2a 3.
(4)正确．
解：
计算(－a3)2的结果是(　　)
A．a 6 B．－a 6
C．－a 5 D．a 5
下列计算正确的是(　　)
A．a 3＋a 3＝a 6 B．3a－a＝3
C．(a3)2＝a 5 D．a·a 2＝a 3
2
A
D
3
(1)(a 3)2·a 2＝a 3×2·a 2＝a 6·a 2＝a 8.
(2)(x m)4·x 3＝x 4m·x 3＝x 4m＋3.
(3)(m 2)n·m n＋1＝m 2n·m n＋1＝m 3n＋1.
(4)X m·(x 2m)3＝x m·x 6m＝x 7m.
解：
4
计算：
(1)(a 3)2·a 2； (2)(x m)4·x 3；
(3)(m 2)n·m n＋1； (4)x m·(x 2m)3.
已知a＝－34，b＝(－3)4，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列a，b，c，d 四者关系的判断，正确的是(　　)
A．a＝b，c＝d
B．a＝b，c≠d
C．a≠b，c＝d
D．a≠b，c≠d
5
C
拓展提升
1
马小虎同学做如下计算题：
①x 5＋x 5＝x 10；②x 5－x 4＝x；③x 5·x 5＝x 10；
④(x 3)2·x 5＝x 30；⑤(x 5)2＝x 25.其中结果正确的是(　　)
A．①②③　　 B．②④　　
C．③　　 D．④⑤
C
计算：
(1)(－a 2)3·a 3＋(－a)2·a 7－5(a 3)3；
(2)x 5·x 7＋x 6·(－x 3)2＋2(x 3)4；
(3)[(a－2b)2]m·[(2b－a)3]n(m，n 是正整数)．
2
(1)原式＝－a 2×3·a 3＋a 2·a 7－5×a 3×3＝－a 6＋3＋a 2＋7－5a 9＝－a 9＋a 9－5a 9＝－5a 9.
(2)原式＝x 5＋7＋x 6·x 3×2＋2x 3×4＝x 12＋x 6＋6＋2x 12＝x 12＋x 12＋2x 12＝4x 12.
(3)原式＝(a－2b)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m＋3n.
解：
3
已知2×8x×16＝223，求x 的值．
因为2×8x×16＝223，
所以23x＋5＝223.所以3x＋5＝23.
所以x＝6.
解：
已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m 的值．
因为3m＋2×92m－1×27m＝98，
所以38m＝316，所以8m＝16，
所以m＝2.
解：
4
归纳小结
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
意义
正向应用：
(a m)n = amn(m，n 都是正整数).
逆向应用：
a mn＝(am)n＝(an)m (m，n 都是正整数).
解决实际问题