8.5 乘法公式 第2课时 课件 (共23张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共23张PPT)
第八章 整式的乘法
8.5 乘法公式
第2课时
学习目标
1.会推导完全平方公式，理解其几何意义.
2.掌握完全平方公式，并能灵活应用.
3.体会数形结合，从特殊到一般的数学思想.
学习重难点
掌握完全平方公式，并能灵活应用.
掌握完全平方公式，并能灵活应用.
难点
重点
回顾复方差公式：
结构特点：
等式左边是两个二项式的乘积，等式右边是两个数的平方差
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2.
知识回顾
导入新知
下边的式子如何计算呢？
(1)(a+b)2；(2)(a－b)2
新知引入
知识点 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
方法一：总面积=（a+b)(a+b)
方法二：总面积=a2+2ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
合作探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
(4) (m-2)2=(m-2)(m-2)= .
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
m2-4m+4
归纳
（a+b)2= ；
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个等式分别叫作两数和、两数差的完全平方公式.
完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
例题示范
例1 计算：
解：
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2
+2ab
b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
-2ab
b2
a2
方法一：
方法二：
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
观察与思考
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
几何解释:
a2 ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
(a b)2
ab
b
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
例3 运用乘法公式计算:
解：(1)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
(1) (a+b+c)2
把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
随堂练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ）
（2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ）
（4）a+b+c=a-（ ）
b-c
b-c
b+c
-b-c
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-c=2a-（b-c）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5）
×
×
×
√
能否用去括号法则
检查添括号是否正确
(1) (6a+5b)2；
原式=36a2+60ab+25b2；
(2) (4x-3y)2 ；
原式=16x2-24xy+9y2；
(3) (2m-1)2 ；
原式=4m2-4m+1；
(4)(-2m-1)2 .
原式=4m2+4m+1.
3.运用完全平方公式计算:
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得
4xy=48
∴xy=12.
解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
拓展提升
小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 2－10ab＋□，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(　　)
A．5b
B．5b 2
C．25b 2
D．100b 2
C
1
下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c )2＝b 2－16c 2；
②(a－2bc )2＝a 2＋4abc＋4b 2c 2；
③(x＋y )2＝x 2＋xy＋y 2；
④(4m－n)2＝16m 2－8mn＋n 2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
A
2
(1) 已知a，b 满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，
求a 2＋b 2＋ab 的值；
(2) 已知a＋b＝3，ab＝2，求式子a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．
3
(1)(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，把两式子两边分别相加得
a 2＋b2＝13.把两式子两边分别相减得ab＝－6，所以a 2＋b 2＋ab＝7.
(2)a 3b＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab＋b 2)
＝ab (a＋b)2＝2×32＝18.
解：
归纳小结
完全平方公式
内容
注意
事项
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.