9.2 三角形的内角 第2课时 课件 (共31张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共31张PPT)
第九章 三角形
9.2 三角形的内角
第2课时
学习目标
1.了解三角形外角的概念，能在图形中找出外角.
2.掌握三角形外角与内角关系，能按边和角对三角形分类，渗透分类思想.
学习重难点
掌握三角形外角与内角关系，能按边和角对三角形分类，渗透分类思想.
掌握三角形外角与内角关系，能按边和角对三角形分类，渗透分类思想.
难点
重点
复习导入
48 °
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
新知引入
知识点1 三角形外角的概念
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
例题示范
例1
如图，△CEF 的外角为__________________．
图中△CEF 的三边的延长线只有EF 的延长线FA，
CE 的延长线EB，延长线FA 与边FC 构成的角为
∠AFC；延长线EB 与边EF 构成的角为∠BEF.由三
角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF 是△CEF 的外角.
导引：
∠AFC，∠BEF
总结
判定一个角是三角形的外角的三个条件：一
是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角
形的一条边；三是另一边是三角形的另一条边的
延长线．
知识点2 三角形外角的性质
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C 作CE 平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2= ∠A （两直线平行，内错角相等），
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.


图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
想一想
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
A
B
C
D
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
归纳总结
三角形外角的性质
如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°. 求：(1)∠B 的度数；
(2)∠BFD 的度数．
例2
(1)在△ABC 中，
∵ ∠BCD=∠A+∠B (三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和).
∴∠B =∠BCD－∠A = 92°－27°=65°.
(2)在△BEF 中，
∵ ∠BFD=∠A+∠BED (三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和).
∠BED=44°(已知)，∠B=65°(已求).
∴∠BFD=44°+65°=109°.
解：
总结
利用三角形的外角的性质求角的度数常与内角的
度数相结合来应用.
知识点3 三角形的分类
互动探究
填空
（1）一个三角形最多有 个直角，
因为 ；
（2）一个三角形最多有 个钝角，
因为 ；
（3）一个三角形至少有 个锐角，
因为 .
1
1
2
三角形内角和等于180 °
三角形内角和等于180 °
三角形内角和等于180 °
问题：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角都是锐角的三角形
有一个内角是直角的三角形
有一个内角是钝角的三角形
知识要点
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按是否有边相等分
按内角大小分
三角形
三角形的分类
三角形
不等边三角形
等腰
三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
如果一个三角形三个内角度数的比为2 : 3 : 5，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形　　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形　　　　 D．等边三角形
例3
导引：
设三角形三个内角的度数分别为2x，3x，5x，由
三角形的内角和等于180°，可列出方程2x＋3x
＋5x＝180°，解得x＝18°，∴三角形最大的内
角是5x＝90°，故这个三角形是直角三角形.
A
利用方程思想解决问题，用未知数分别表示出三个内角的度数，再利用三角形内角和定理列出方程，
解方程求出未知数的值，进一步求出最大内角，再进
行判断即可．
总结
随堂练习
1.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2.已知，如图，△ABC 中，∠B=∠DAC，则∠BAC 和∠ADC的关系是（　　）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC
C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
B
B
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中 ,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
拓展提升
下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(　　)
C
1
2
如图，在△ABC 中，D 是三角形内一点，
试说明：∠BDC ＞∠A.
如图，延长BD 交AC 于点E.
因为在△ABE 中，∠BEC＞∠A，
在△CDE 中，∠BDC＞∠BEC，
所以∠BDC＞∠A.
解：
如图，在△ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，∠A＝60°，
∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点O，求∠O 的度数．
由题意得∠OBC＝ ∠ABC，
∠DCO＝ ∠ACD，
∴∠O＝∠DCO－∠OBC＝ ∠ACD－ ∠ABC＝
(∠ACD－∠ABC )＝ ∠A＝30°.
解：
3
4
一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，
∠B 和∠C 分别是21°和20°，质量检验员量得∠BDC＝
130°后就断定这个零件不合格．请说明为什么？
如图，连接AD 并延长到点E，
则∠CDE＝∠C＋∠2，
∠BDE＝∠B＋∠1.
所以∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠2＋∠B＋∠1.
即∠BDC＝∠C＋∠B＋∠CAB.
若零件合格，则∠BDC＝20°＋21°＋90°＝131°.
而量得∠BDC＝130°，所以这个零件不合格．
解：
归纳小结
三角形的外角
三角形外角的性质
三角形的分类
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
按边分类
按角分类
等腰三角形
不等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形